大家常說，數學是科學的語言，或至少是物理科學的語言。顯而易見的，想要確切描述物理定律，只能使用數學方程式，無法訴諸日常書寫或口語的文字。但是只把數學當成一門語言，對這個學科全然不公平，因為語言這個字眼讓人有錯誤的印象，以為數學除了挑挑敘述的毛病并稍微改正之外，就清清楚楚、了無新意。

但這其實謬誤之極。雖然數學家在數千年的歷史過程中，為數學打造了堅實的基礎，但今天的數學仍然興盛與活躍如昔。數學并不是靜止穩定的知識體系，而是充滿活力、不斷在演變中的科學，和其他科學一樣，每天都有嶄新的洞識與發現。只是，除非解決幾個世紀的難題，數學的發展鮮少能登上頭條新聞，不像其他科學，經常有發現新基本粒子、新星體，或新抗癌療程等熱門議題。

但是對于能品賞數學真諦的人，數學絕不只是一種語言而已，而是通往真理最確定的道路，是整座物理科學大廈所依憑的堅實磐石。這個學科的力量，并不僅止于解釋或彰顯實在的物理世界，因為對數學家來說，數學就是實在的世界。我們證明的幾何形體與空間，其真實性絕不亞于構成所有物質的基本粒子。不過我們認為數學結構比起大自然的粒子更為基本，因為除了厘清粒子行為之外，數學還能解釋形形色色的日常生活現象，從臉部輪廓到花朵的對稱性等。面對現實世界的熟悉模式與形體，或許最能令幾何學家興奮的，正是其背后抽象原理的力量與美感。

對我而言，研究數學——尤其是我的專長幾何學，真的就像探險家去勘探未知之地一樣。我仍然清楚記得，當我讀研究所一年級，作為初牛之犢的二十歲新手，初接觸到愛因斯坦引力論時，所感受到的震撼與悸動。我非常驚訝引力和曲率這兩個概念，竟可視為一體的兩面，畢竟我在香港的大學時代，早已著迷于曲面的理論。這些形體就這樣沁入胸臆深處，我不清楚原因，卻無法將它們逐出腦海。聽到曲率位于愛因斯坦廣義相對論的核心，不禁讓我期盼某天，也能以某種方式對宇宙知識做出貢獻。

《大宇之形》這本書描述我在數學領域的探索，并特別聚焦于一項協助物理學家建立宇宙模型的發現。沒有人能斷言這些模型最終是否正確，但是作為這些模型基礎的幾何理論，卻無疑蘊含著我無從抗拒的美感。

我研究幾何學與偏微分方程，顯然比用非母語的英文寫作更在行，因此寫這樣一本書無疑是一項挑戰。數學方程的清晰與優雅，經常難以用口語表述（甚至有人說這不可能），這點頗令人感到挫折，就像沒有任何實景照片，卻嘗試描述珠穆朗瑪峰，或尼加拉瀑布的壯闊氣勢一樣。

幸運的是，在這方面我獲得了絕佳的臂助。盡管這整個故事是通過我的雙眼，以我的口說來陳述，但我的合作者卻幫我將抽象與深奧的數學，試著轉譯成流利的文字。

當我證明了卡拉比猜想（本書的中心主題）后，我將該篇證明的論文獻給我的父親丘鎮英先生，他是一位教育家與哲學家，教導我抽象思考的力量。現在我將這本書，獻給他與我的母親梁若琳女士，他們兩人深刻影響了我智識上的成長。此外，我特別要感謝我的妻子友云，她的氣度與容忍，使我在甚為繁忙糾纏的研究與訪問行程中，還有余裕來寫這本書。另外也感謝我頗以為傲的兩個兒子，丘明誠與丘正熙。

我也要把這本書獻給卡拉比（Euggenio Calabi），他是前述猜想的提出者，我們相識將近四十年。卡拉比是一位很有原創性的數學家，我和他通過某些幾何空間彼此相系，已逾四分之一世紀，那就是卡拉比—丘流形（Calabi-Yau manifolds），也是本書的主題。Calabi-Yau這個詞自從1984年出現之后，使用者極多，我幾乎都快覺得卡拉比是我的名字了。而如果這真的是我的名字，或至少在公眾的心里如此，我將引以為榮。

我的研究工作，大部分往來于數學與理論物理交匯的領域。我很少孤立完成這些研究，經常大量地受益于與朋友或同僚的互動。在這許多人里，我底下將只提到與我直接合作，或曾予我啟發的少數人。

首先，我要感謝我的老師與長輩們，這一長串名單中包括了陳省身、莫瑞（Charles Morrey）、勞森（Blaine Lawson）、辛格（Isadore Singer）、尼倫柏格（Louis Nirenberg），以及卡拉比。我也很感謝1973年時，辛格在一次斯坦福大學的學術會議邀請格羅赫（Robert Geroch）來演講，這促成我和孫理察（Richard Schoen）在正質量猜想方向的研究工作。我后續與物理相關的數學研究，辛格都經常予我鼓勵。

我十分感謝在訪問劍橋大學時，和霍金與吉朋士（Gary Gibbons）討論相對論的談話。我的量子場論是從這個領域的大師大衛·格羅斯學來的。記得1981年當我還是高等研究院的研究員時，戴森（Freeman Dyson）帶了一位新任物理組研究員到我辦公室，這位剛到普林斯頓的新人就是威滕，他告訴我他有一個簡潔的正質量猜想的證明，這個結果我和孫理察已經用非常不同的方法證明過了。我非常驚訝于威滕的數學能力，而且這絕非唯一的一次。

在這段研究歲月里，我十分享受和一些人的緊密合作，除了前述的孫理察，還有鄭紹遠、漢米爾頓（Richard Hamilton）、李偉光、密克斯（William Meeks）、賽門（Leon Simon），以及烏蘭貝克（Karen Uhlenbeck）。其他以各種方式參與這段旅程的朋友，還包括多納森（Simon Donaldson）、羅勃·格林恩（Robert Greene）、奧瑟曼（Robert Osserman）、楊宏風（Duong Hong Phong），以及伍鴻熙。

我覺得自己很幸運，過去二十余年能在哈佛大學研究講學，這是能讓數學和物理產生互動的理想環境。在這期間，我從與哈佛數學系同事的交談中，獲得許多數學上的看法，其中包括伯恩斯坦（Joseph Bernstein）、艾爾基斯（Noam Elkies）、蓋茨郭利（Dennis Gaitsgory）、迪克·格羅斯（Dick Gross）、哈里斯（Joe Harris）、廣中平祐（Heisuke Hironaka）、杰菲（Arthur Jaffe，他也是物理學家）、卡茲當（David Kazdhan）、克農海默（Peter Kronheimer）、梅哲（Barry Mazur）、馬克穆藍（Curtis McMullen）、曼弗德（David Mumford），史密德（Wilfried Schmid）、蕭蔭堂、史滕伯格（Shlomo Sternberg）、泰特（John Tate）、陶布思（Cliff Taubes）、泰勒（Richard Taylor）、姚鴻澤，以及2005年過世的波特（Raoul Bott）與馬凱（George Mackey）。當然，我與麻省理工學院數學系的教授們也有許多值得回憶的交談。另外在物理方面，我和史聰閔格（Andy Strominger）與瓦法（Cumrun Vafa）則有著數不盡的豐饒對話。

在過去十年，我曾經兩度榮任哥倫比亞大學的愛林伯格訪問教授，和數學系的教授有許多令人興奮的討論，尤其是哥費德（Dorian Goldfeld）、漢米爾頓、楊宏風以及張壽武。我也曾任加州理工學院的費爾柴客座教授與莫爾客座教授，從索恩（Kip S. Thorne）和史瓦茲（John Schwarz）那里學到許多物理知識。

在過去二十余年，我曾獲得美國政府的大力補助（通過國科會、能源部以及國防高等計劃局）。我大部分的博士后研究人員都是物理博士，這在數學領域中殊屬異類。但這樣的安排讓雙方都受益，他們跟我學數學，我則從他們身上學到一些物理知識。我很高興許多這些有物理背景的博士后，日后成為大學數學系的杰出教授，包括布朗戴斯大學、哥倫比亞大學、西北大學、牛津大學、東京大學等。我的一些博士后在卡拉比—丘流形上有重要貢獻，其中許多人協助完成這本書，包括愛梭耳（Mboyo Esole）、布萊恩·格林恩（Brian Greene）、赫羅維茲（Gary Horowitz）、細野忍（Shinobu Hosono）、賀布胥（Tristan Hubsch）、克雷姆（Albrecht Klemm）、連文豪、史巴克斯（James Sparks）、曾立生，山口哲（Satoshi Yamaguchi），以及札斯洛（Eric Zaslow）。最后，我之前的一些研究生也在這個領域里有杰出的貢獻，包括來自中國大陸的李駿、劉克峰，以及來自中國臺灣的王慕道、王金龍、劉秋菊，其中一些成就將在書中敘述。

丘成桐，麻省劍橋，2010年3月

人的運氣就是這樣，當初如果不是康奈爾大學的物理學家戴自海（Henry Tye，丘成桐的朋友）介紹，我根本不可能知道這個著作計劃。他當時給我建議，說我未來的合著者或許能指點我一兩個有趣的故事。戴自海說得對，他一向都對。我很感謝他，讓我踏上這段意料之外的旅程，并且在沿途許多岔口提供協助。

就像丘成桐經常說的，在數學上選定一條路，根本無法預料最后會通往哪里。其實寫書也一樣，當我們第一次見面時，就十分同意要合寫一本書，然后花了很長一段時間，才確定這本書的主題。就某種意義而言，你也可以說，直到這本書完成了，我們才真正知道這本書的主旨。

對于這項合作的結晶，我想先說明幾點，以免造成閱讀時的混淆。我的合作者是一位數學家，他的研究和本書的多數故事緊密相關，書中凡是他身為主要參與者的章節，經常采用第一人稱行文，其中的“我”指的一定是丘成桐。不過盡管這本書相當程度涉及個人敘事，卻不適合歸類為丘成桐的自傳或傳記，因為他并不全認識書中討論所牽涉的人物，有些人更早在他出生前就已過世。而且有些描述的內容，例如實驗物理與宇宙學，也超出他的專業領域，在這樣的章節，我采用的多半是第三人稱觀點，內容的來源大部分是訪談，以及我曾做過的一些資料研究。

本書稱得上是一項特殊的產物，結合了我們不同的背景與觀點。最好的合作方式，似乎就是說出一個雙方都認為值得一談的故事。而將故事落實成書的工作，相當依賴于我的合作者對數字的非凡掌握，同時希望我的文字能力也能不辱使命。

關于本書是否應該視為一本自傳，還有一點要談。雖然本書的確繞著丘成桐的研究打轉，我仍然要提醒讀者，本書的主角并不是丘成桐自己，而是他參與發明的幾何空間，也就是卡拉比—丘流形。

廣泛來說，本書的主旨是如何通過幾何學理解宇宙。20世紀以幾何學描述引力而獲得驚人成功的廣義相對論，即是此中典范。弦論則是另一個更具野心、走得更深遠的嘗試，不但幾何學活躍其中，六維的卡拉比—丘流形尤其占有特定的地位。本書試圖呈現一些幾何與物理的必要概念，以理解卡拉比—丘流形的淵源，以及數學家和物理學家認為這些流形重要的原因。本書將聚焦于這類流形的不同面向：作為定義的特色、導致發現的數學理論、弦論學者迷上它的理由，以及這些形體是否真的掌握了通往我們的宇宙（乃至于其他宇宙）的鑰匙。

至少，這就是《大宇之形》這本書想要闡述的，至于是否真的達成這項使命，只能由讀者來決定。

但我心中很明白，如果沒有許多人提供專業、編輯或者情感上的支持，這本書絕對無法完成。這份名單實在太長了，恐怕不可能全部列出來，不過我會盡量試試。

丘成桐前述名單中的人物，給我提供了許多協助。其中包括卡拉比、多納森、布萊恩·格林恩、賀布胥、史聰閔格、瓦法、威滕以及最重要的羅勃·格林恩、連文豪、曾立生。后面三位朋友在寫作過程中，教導我相關的數學和物理課程，他們精辟的解說與非凡的耐性，讓我由衷感激。尤其是羅勃·格林恩，他在百忙中仍然一周數天引領我穿越微分幾何的荊棘道路，沒有他，我早不知道溺斃幾回了。連文豪幫我踏上思考幾何分析的起點；在我們改不勝改的書稿定稿的最后時刻，曾立生提供了大量的協助。

物理學家Allan Adams, Chris Beasley, Shamit Kachru, Liam McAllister和Burt Ovrut常常不分晝夜地為我解答問題，引導我度過許多思考瓶頸。其他慷慨撥冗相助的還有Paul Aspinwall, Melanie Becker, Lydia Bieri, Volker Braun, David Cox, Frederik Denef, Robbert Dijkgraaf, Ron Donagi, Mike Douglas, Steve Giddings, Mark Gross, Arthur Hebecker, Petr Horava, Matt Kleban, Igor Klebanov, Albion Lawrence, Andrei Linde, Juan Maldacena, Dave Morrison, Lubos Motl, Hirosi Ooguri, Tony Pantev, Ronen Plesser, Joe Polchinski, Gary Shiu（蕭文禮）, Aaron Simons, Raman Sundrum, Wati Taylor, Bret Underwood, Deane Yang和Xi Yin（尹希）。

以上所舉還只是一小部分，除此之外，協助我的還有Eric Adelberger, Saleem Ali, Bruce Allen, Nima Arkani-Hamed, Michael Atiyah, John Baez, Thomas Banchoff, Katrin Becker, George Bergman, Vincent Bouchard, Philip Candelas, John Coates, Andrea Cross, Lance Dixon, David Durlach, Dirk Ferus, Felix Finster, Dan Freed, Ben Freivogel, Andrew Frey, Andreas Gathmann, Doron Gepner, Robert Geroch, Susan Gilbert, Cameron Gordon, Michael Green, Paul Green, Arthur Greenspoon, Marcus Grisaru, Dick Gross, Monica Guica, Sergei Gukov, Alan Guth, Robert S. Harris, Matt Headrick, Jonathan Heckman, Dan Hooper, Gary Horowitz, Stanislaw Janeczko, Lizhen Ji（季理真）, Sheldon Katz, Steve Kleiman, Max Kreuzer, Peter Kronheimer, Mary Levin, Avi Loeb, Feng Luo（羅鋒）, Erwin Lutwak, Joe Lykken, Barry Mazur, William McCallum, John McGreevy, Stephen Miller, Cliff Moore, Steve Nahn, Gail Oskin, Rahul Pandharipande, Joaquín Pérez, Roger Penrose, Miles Reid, Nicolai Reshetikhin, Kirill Saraikin, Karen Schaffner, Michael Schulz, John Schwarz, Ashoke Sen, Kris Snibbe, Paul Shellard, Eva Silverstein, Joel Smoller, Steve Strogatz, Leonard Susskind, Yan Soibelman, Erik Swanson, Max Tegmark, Ravi Vakil, Fernando Rodriguez Villegas, Dwight Vincent, Dan Waldram, Devin Walker、Brian Wecht, Toby Wiseman, Jeff Wu（吳建福）, Chen NingYang（楊振寧）, Donald Zeyl等人。

本書中的許多概念是很難描繪的，我們很幸運能在繪圖方面得到石溪大學計算機科學系Xiaotian（Tim）Yin和Xianfeng（David）Gu卓越的電腦幫助，而他們又得到Huayong Li和Wei Zeng的協助。繪圖方面大力幫忙的還有Andrew Hanson（卡拉比—丘流形最重要的視覺呈現者）, John Oprea和Richard Palais等人。

我要感謝我的親友，包括Will Blanchard, John De Lancey, Ross Eatman, Evan Hadingham, Harris McCarter和John Tibbetts，他們或者讀過本書的撰述計劃、章節草稿，或者在寫作過程中提供建議和鼓勵。

此外，丘成桐和我還要感謝Maureen Armstrong, Lily Chan, Hao Xu和Gena Bursan等人寶貴的行政支援。

有幾本書提供了很有價值的參考，其中包括布萊恩·格林恩的《宇宙的琴弦》（The Elegant Universe）、曼羅迪諾（Leonard Mlodinow）的《歐幾里得之窗》（Euclid's Window）、奧瑟曼的《宇宙的詩篇》（Poetry of the Universe）以及薩斯金的《宇宙的景觀》（The Cosmic Landscape）。

而若不是有Brockman, Inc．文學經紀公司的John Brockman, Katinka Matson. Michael Healey, Max Brockman和Russell Weinberger等人的大力協助，《大宇之形》根本不可能成書。Basic Books的T. J. Kelleher對我們書稿一直保持信心，還有他與同事Whitney Casser努力讓書能夠成形付梓。Basic Books的專案編輯Kay Mariea指揮了從草稿到出版的各個階段，還有Patricia Boyd精湛的文字編輯造詣，使我明白“the same”和“exactly the same”原來是完全同義的詞語。

最后，我特別要感謝我家人的支持——Melissa, Juliet和Pauline，以及我的雙親Lorraine和Marty，我的兄弟Fred和姊妹Sue。他們猶如六維卡拉比—丘流形，是世上最迷人之物，但卻不自知這些流形其實超出塵世之外。

納迪斯，麻省劍橋，2010年3月