在偉大的前科學時代，

柏拉圖就指出，

我們所見的世界，

只是這個不可見幾何形體的反映罷了。

這個觀念深得我心，

也和我最知名的數學證明緊密相關。

 

神以幾何造世。

——柏拉圖

大約公元前360年，柏拉圖（Plato）完成了《蒂邁歐斯篇》,（Timaeus），這是一篇以對話形式呈現的創世故事，對話者包括他的老師蘇格拉底（Socrates）以及其他三位賢者：蒂邁歐斯、赫謨克拉提（Hermocrates）、克里底亞斯（Critias）。蒂邁歐斯應該是個虛構的角色，據說他從南意大利的洛克利城來到雅典，是一個“天文學專家，志在理解大自然的本質。”[1]通過蒂邁歐斯之口，柏拉圖陳述了自己的萬有引力理論（theory of everything），其中的核心角色是幾何學。

柏拉圖尤其著迷于一組幾何形體，這組特別的多面體也從此被稱為“柏拉圖立體”。這些多面體的各面是全等的正多邊形，例如正四面體的四個面是全等的正三角形；正六面體（俗稱的正方體）是六個全等的正方形；正八面體是八個正三角形；正十二面體是正五邊形；正二十面體則又是由二十個正三角形構成。

柏拉圖并不是這些以他為名的立體的發明者，事實上沒有人確實知道發明者是誰。不過一般相信是柏拉圖的當代學者泰阿泰德（Teaetetus）證明了這五種“正多面體”的存在，并且就只有五種。歐幾里得在《原本》（The Elements）一書中，為這些幾何形體給出詳細的數學描述。

柏拉圖立體有許多迷人的性質。檢視任一種正多面體可以發現，與每一頂點（尖角的點）相鄰的多邊形數目都一樣多；每個多邊形的各角都一樣大；可以找到一個圓球通過所有的頂點（一般多面體并沒有這個性質）；而且，頂點的數目加面的數目等于邊的數目加2。

柏拉圖賦予這些立體形而上學的意義，這也是他的名字與這些立體永遠牽連的原因。事實上，根據《蒂邁歐斯篇》的內容細節，正多面體是柏拉圖宇宙論的根本要素。在他宏偉的萬物架構里，宇宙有四種基本元素：土、氣、火、水。如果檢視這些元素的微小細節，就會發現它們是由微小的柏拉圖立體構成的：“土”由小正方體構成；“氣”由正八面體構成；“火”是正四面體；“水”是正二十面體。關于正十二面體，在《蒂邁歐斯篇》中柏拉圖寫道：“還剩下一種構造，第五種元素，上帝用于整個宇宙，編織各種物象于其上。”[2]

受益于兩千多年來的科學發展，現在看來柏拉圖的猜想當然很可疑。雖然，今日我們對于宇宙的基本構造元素并沒有絕對一致的結論，最后被證明為正確的，或許是輕子與夸克，也許是理論上的次夸克粒子“先子”（preon），又或者是還在理論階段卻更微小的“弦”，不過我們很確定，并不是把土、氣、火、水編織在巨大的正十二面體上而已。我們也不相信，僅僅由柏拉圖立體的形狀就能決定這些基本元素的性質。

話說回來，柏拉圖從未宣稱他完成了大自然的確定理論，他認為《蒂邁歐斯篇》只是“可能的解釋”，是當時所能得到的最佳見解，并且承認他之后的學者，盡可以去改良他的理論，甚至是大幅修改。就像蒂邁歐斯在他的對話中說的：“如果有人測試我的宣告，發現并非事實，我們將恭賀他獲得榮耀。”[3]

柏拉圖的想法無疑有許多錯誤，但從寬廣的角度審視他的思想，柏拉圖顯然也有正確的地方。這位卓絕的哲學家在承認他可能犯錯，但以他的觀念為本的理論卻可能成真時，展露了或許是最高的智慧。舉例來說，正多面體具有高度對稱性，正十二面體和正二十面體有60種不改變其呈現的旋轉方式（60恰巧是其面、體邊數的兩倍的事實，并非偶然）。當柏拉圖以這些形體作為宇宙論的基礎時，他正確地指出了：任何企圖描述大自然的可行理論中，對稱性必須是它的核心性質。如果想要構筑萬有理論，統一所有的作用力，而且所有構成要素只需遵守一兩組法則，我們就必須發現潛藏其中的對稱性，因為這是足以生發萬物、以簡馭繁的法則。

顯然地，這些形體的對稱性質直接源自其幾何形狀。這是柏拉圖的第二個重要貢獻：除了理解數學是測度宇宙的關鍵之外，他提出了今日所謂物理幾何化（geometrization of physics）的思考理路，就像愛因斯坦所促成的大飛躍一樣。在偉大的前科學時代，柏拉圖就指出大自然的元素與其性質，還有作用其上的力，可能都可歸源于某個潛藏于幕后的幾何結構，它主導了這一切。換句話說，我們所見的世界，只是這個不可見幾何形體的反映罷了。這個觀念深得我心，也和我最知名的數學證明緊密相關（對于曾聽說過我名字的人而言）。雖然有些人可能覺得這太牽強，只是大張旗鼓為幾何宣傳罷了，但是，這個想法或有真意，各位不妨拭目以待，靜心閱讀下去。