1.2 費率與產量變異系數的單調性研究

雖然大家都知道產量的變異系數是風險的一個測度，但大家并不清楚產量的變異系數與費率的精確關系。

例如，如果產量服從Gamma分布G(y; α, β)，根據產量保險的定價公式(1.2)和表1.1有

其中，。而產量的變異系數為，我們無法判斷其與費率P的關系。

本節證明了對于正態分布、Lognormal分布和Gamma分布，費率P與產量變異系數的關系是單調遞增的函數關系。圖1.1顯示了單產服從正態分布時，費率與變異系數的關系。定理1.2給出了這個結果的具體證明。

這個結果的意義是：它解釋了實證中逆向選擇與產量變異系數的關系，它為費率確定找到了一個合適的簡單代理，我們可以明確地使用產量變異系數來作為費率分區的依據。

定理1.2 假設單產隨機變量Y 服從表1.1中的正態分布、Lognormal分布或Gamma分布。若Y 有均值 E(Y)＞0，標準差和變異系數，則式(1.2)中的費率為變異系數cv的單調增函數。

證明：(1)Y若服從正態分布N(μ, σ2)，則由表1.1知費率滿足如下方程：

其中，。對P(x)求導數，可得

即P(x)關于x單調遞增。

(2)Lognormal分布LN(μ, σ2), σ＞0。因為σ=[ln(cv2+1)]1/2，所以參數σ是cv的單調增函數。另外可以證明費率P(σ)是參數σ的單調增函數，所以費率也是cv的單調增函數。事實上，根據

即費率P(σ)是參數σ的單調增函數。

(3)兩參數Gamma分布G(y; α, β), α＞0, β＞0。由表1.1知費率滿足如下方程：

其中，。令u=βs，經過變量代換，P(α, β)可以重寫為

因為α=1/cv2，如果費率P(α)是參數α的單調減函數，則P(α)是cv的單調增函數。事實上，令-，則

令fα(u)=0, u≤0, , u＞0，則fα+1(λα)=λfα(λα)，可得

根據Letac和Paine(1992)469頁知

其中，，交換積分次序可得

費率P(α)是參數α的單調減函數，定理得證。