1.1 費(fèi)率厘定的基礎(chǔ)公式

1.1.1 補(bǔ)償產(chǎn)量和費(fèi)率的定義

這里先給出投保農(nóng)戶可以獲得的補(bǔ)償產(chǎn)量和費(fèi)率的定義。

定義1.1 購買了產(chǎn)量保險的農(nóng)戶在作物收割時所能獲得的補(bǔ)償產(chǎn)量表示為

其中，隨機(jī)變量Y為作物單位面積的產(chǎn)量，即單產(chǎn)；λ為單產(chǎn)的保障水平參數(shù)。如果約定的單位價格為p，則相應(yīng)的賠付金額為M=p·I。如果將賠付金額的期望與保額[最大的賠付金額，即p·λ·E(Y)]之比稱為費(fèi)率，則費(fèi)率表示為(分子和分母對農(nóng)作物單價進(jìn)行了約分處理)

特別的，當(dāng)隨機(jī)變量Y服從某些特殊分布時，補(bǔ)償產(chǎn)量的期望E(I)有解析式，本書將其列于表1.1以方便查找和應(yīng)用，這些結(jié)果是根據(jù)Klugman等(2008)附錄A簡單計(jì)算后得到的。

早期的研究中使用正態(tài)分布來擬合隨機(jī)波動產(chǎn)量數(shù)據(jù)，但后來的研究表明，正態(tài)分布假設(shè)在多數(shù)情況下是不成立的。之后使用較多的分布有Gamma分布、Lognormal分布、Weibull分布、Logistic分布和Beta分布等，各種分布都有其優(yōu)勢和缺陷。另外，Goodwin和Ker(1998)與Tolhurst和Ker(2015)也采用混合正態(tài)分布來刻畫單產(chǎn)常帶有的雙峰特征。

需要注意的是定義1.1只是一個最簡化的賠付形式，而實(shí)務(wù)中的合約通常還可能會包含絕對免賠率、相對免賠率或分階段賠付系數(shù)。例如，王克等(2018)根據(jù)我國農(nóng)產(chǎn)品成本保險的實(shí)踐操作辦法，給出了一個不同于定義1.1的保險賠付函數(shù)：

其中，X為作物實(shí)際損失率；λ為單產(chǎn)的保障水平參數(shù)，0＜λ≤1; α為絕對免賠率,0≤α＜1; β為相對免賠率，0≤β＜1; m為災(zāi)害發(fā)生時作物所處的生長期，m=1,2,3; γ為分階段賠付系數(shù)函數(shù)，即根據(jù)自然災(zāi)害發(fā)生時間對單位保額而進(jìn)行調(diào)整的函數(shù)(表1.2)。此外，為一個取值為0和1的示性函數(shù)。關(guān)于實(shí)務(wù)中如何設(shè)置這些參數(shù)可以參考王克等(2018)和王俊等(2012)。

1.1.2 補(bǔ)償產(chǎn)量期望的計(jì)算

補(bǔ)償產(chǎn)量是截?cái)嘈偷碾S機(jī)變量，它的期望除了通過模擬方法計(jì)算外，還可以有幾種不同的表示方式，這些表達(dá)式可以用來簡化推導(dǎo)。為此，這里給出它們的相互關(guān)系。

定義1.2 設(shè)d為一個常數(shù)，則隨機(jī)變量X的限額期望值定義為E[min(X, d)], X的尾部條件期望定義為E(X|X＞d)。

定理1.1 設(shè)d為一個常數(shù)，則隨機(jī)變量X滿足如下等式：

證明：式(1.4)～式(1.6)是顯然的，式(1.7)為全期望公式的直接結(jié)果，式(1.8)是式(1.7)的特例。

下面給出式(1.9)的證明：由式(1.8)、式(1.6)和式(1.5)知

E(X|X＞d)P(X＞d)=E[XI(X＞d)]

=E[max(X, d)]-dE[I(X≤d)]

=E[max(X-d,0)]+d-dP(X≤d)

=E[max(X-d,0)]+dP(X＞d)

下面給出式(1.10)的證明：由式(1.5)、式(1.9)和式(1.7)知

E[max(d-X,0)]

=E[max(X-d,0)]+d-E(X)

=[E(X|X＞d)P(X＞d)-dP(X＞d)]+d-E(X)

=[E(X)-E(X|X≤d)P(X≤d)]-dP(X＞d)+d-E(X)

=dP(X≤d)-E(X|X≤d)P(X≤d)

證畢。

式(1.10)經(jīng)常被文獻(xiàn)采用。實(shí)際上由定理1.1可知，若已知X的期望和概率P(X≤d)，則E[max(d-X,0)]與E[min(X, d)]、E[max(X-d,0)]和E(X|X＞d)可以相互表達(dá)，而Klugman等(2008)附錄A又給出了常見分布的限額期望值E[min(X, d)]，因此如果已知產(chǎn)量分布的參數(shù)形式，我們可以得到對應(yīng)的解析表達(dá)。

例1.1 假設(shè)已知隨機(jī)變量X的限額期望值E[min(X, d)]，計(jì)算E[max(d-X,0)]、E[max(X-d,0)]和E[X|X＞d]。

解：由式(1.4)知

E[max(d-X,0)]=d-E[min(X, d)]

由式(1.5)知

E[max(X-d,0)]=E[max(d-X,0)]+E(X)-d

由式(1.9)知