1.3 正態模型下的均值-方差效用分析

此節將從理論上來討論“提高保額是否能提高農戶效用”的問題。這個比較模型的初始提出者是中國農業科學院農業信息研究所的王克副研究員。過去10年，我國農業保險快速發展，但保障水平不足一直是其最大的短板之一。業內提出的一種常見方案是通過提高單位面積保額來提升農業保險保障水平(黃延信和李偉毅，2013；吳焰，2015)。而王克(2014)和王克等(2018)認為農業保險保障水平并不是保險人提供的最大風險保障程度，而是購買農業保險后農業保險為農民提供的實際保障程度，可以用農民購買保險后的福利效用變動程度來衡量。他們利用蒙特卡羅數值模擬技術對農業保險合約變化的效果進行了仿真模擬，結果顯示保額只是影響農民購買保險后的福利效用提升的一個因素，在我國農業保險現有方案下，保額的提高并不必然導致其福利效用的提升。

此節，我們將在產量服從正態分布的假設下，使用均值-方差效用函數給出一些理論結果，一是驗證提高保額是否一定能提高效用，二是比較兩種提高保額的方式的效果。

1.3.1 模型假設

模型假設包括以下幾個方面。

(1)考慮以下兩種保險賠付方式：

①M1=θp·max(μY-Y,0)，其中θ是一個價格比例參數，0＜θ≤1, μY=E(Y)。

②M2=p·max(λμ Y-Y,0)。

這兩種方式都可以看作是式(1.3)的特例，第一種方式實質上對應我國的“成本保險”, θ控制了保額的大小，本書將這種方式稱為中國模式；第二種對應于通常的美國模式(Goodwin&Mahul,2004)。若要提高保額，就意味著第一種方式要增加θ，第二種方式要增加λ。

(2)設購買保險后農戶的收入為π，則

π=L[pY+pI-(1+a)pE(I)-c+s]

其中，a＞0為保費的風險附加系數；s為單位面積的保費補貼；c為單位面積的種植成本；L為種植面積。

(3)我們采用均值-方差效用函數來度量農戶收入的福利效用，即

其中，ρ為風險厭惡系數。

1.3.2 主要理論結果

這里將在產量服從正態分布的假設下，給出兩種模式在保額增加時，均值-方差效用函數也增加的條件。

令(r-Y)+=max(0, r-Y)。

引理1.1 若隨機變量Y服從正態分布，對任意的r，有

其中，;Z為標準正態隨機變量；?(t)和Φ(t)為標準正態分布的密度函數和分布函數。

證明：(1)首先對標準正態隨機變量 Z，計算E[(Z-t)+]、和。根據Kaas等(2009)例3.10.1知E[(Z-t)+]=?(t)-t[1-Φ(t)]。因為?′(z)=-z?(z)，所以

又因為(Z-t)+-(t-Z)+=Z-t，有

所以

所以

(2)利用(1)中的證明結果，可得

證畢。

由引理1.1可以得到一個特例，即當r=μY時，E[(μY-Y)+]=, , , Cov(Y, 。

定理1.3 在均值-方差效用函數下，若單產Y服從正態分布，又假設其他參數不變的情況下，1.3.1小節中的兩種保險賠付方式給農戶帶來如下結果。

(1)對中國方式增加θ(0＜θ≤1)，則農戶收入的方差單調遞減，而農戶的效用只在時單調遞增。

(2)對美國方式增加λ，則農戶收入的方差單調遞減，而農戶的效用只在λ滿足條件0＜a≤ρμYσYLp{?(η)-η[1-Φ(η)]}時單調遞增，其中。

證明：(1)根據引理1.1的特例，直接可得第一種方式農戶收入π1的方差為

所以

因此當0＜θ≤1時，Var(π1)關于θ單調遞減。

同樣可以直接計算得到第一種方式農戶的均值-方差效用U1為

所以

當時，U1(π1)關于θ單調遞增。

(2)根據引理1.1直接計算，可得第二種方式農戶收入π2的方差為

Var(π2)=L2σ2{1+[η?(η)+(η2+1)Φ(η)]-[?(η)+ηΦ(η)]2-2Φ(η)}

直接計算，可知

所以，當λ≤1時，d , Var(π2)關于λ單調遞減。

同樣，可以直接計算得到第二種方式農戶的均值-方差效用U2為

所以

當λ滿足條件0＜a≤ρσYLp{?(η)-η[1-Φ(η)]}時，U2(π2)關于λ單調遞增。

定理1.3說明在其他情況不變的條件下，增加保額(增加θ或λ)，農戶收入的波動會減小，但由于增加保額，使得期望賠付和附加保費也相應增加，兩者會有一個交換關系，這使得農戶的效用不是必然遞增的，需要在一定的條件下才能成立。出現這樣的結果是很自然的，因為增加保額，保費增多，農戶投保后風險減小，那么農戶用增加的保費換取風險減小的最終效用取決于多個條件，包括保費增加的程度、風險減小的程度和風險厭惡的程度等。只有在增加保額同時不增加保費(如由財政來負責增加的保費)的情況下，農戶的效用才會是遞增的。

1.3.3 數值分析

下面將設置參數，并展示數值結果。

根據Shen和Odening(2013)文中第7頁中將風險厭惡系數ρ取為1.4×10-5，它對應的相對風險厭惡系數為0.4，而Leblois等(2014)將相對風險厭惡系數取為1～4，作為參照，我們把最大的風險厭惡系數ρ取為1.4×10-4。

我們粗略地將單位面積的保費補貼設為0，單位面積的種植成本為單位產量的55%。根據Shen和Odening(2013)文中第6～7頁，將種植面積取一個均值設為2公頃，每公頃水稻產量均值取為8噸/公頃，標準差取為1噸/公頃，價格取為2560元/噸。具體的參數設置如表1.3所示。

從圖1.2中可以看出，當風險厭惡程度較小時(ρ=1.4× 10-5)，少量的附加保費(a=0.05)也會使效用隨保額先遞增后遞減，如果附加保費稍多一些，則效用隨保額遞減得更快。從圖1.3中可以看出，當風險厭惡程度變大后(ρ=1.4×10-4)，附加保費相對較小時(a=0.05)，效用隨保額遞增，但附加保費變大(a=0.25)，效用仍隨保額遞增但增速減慢。這個結果說明當農戶非常厭惡風險時，他們愿意支付保費換取風險減小，但農戶不那么厭惡風險時，提高保額(增加保費，減小風險)沒有提高他們的效用。也就是說，是否提高效用還取決于農戶的風險厭惡程度和費用增加的程度。

圖1.4和圖1.5也有類似于圖1.2和圖1.3的結果，也就是說無論是對中國方式還是美國方式，僅僅增加保額并不能保證提高農戶效用。

最后，從圖1.6中可以看到，當除了保額參數之外的其他參數都相同時，如果兩種方式的最大保額也相同，即λμYp=θμYp 或λ=θ，則中國方式比美國方式有更大的均值-方差效用。也可以說，中國方式只需要較小的保額就可以達到美國方式很大保額的效用。當然這不是說中國方式比美國方式好，而是說保額只是一個參數而已，好的合約設計應該有精確的定義，有相對全面的比較。