《分析學》中求面積的法則

牛頓在1669年所寫的《分析學》一書中，承諾要論述求面積的方法，“我在很早以前已經發明了通過無窮項級數來計算曲線之下面積的方法”。這不是牛頓第一次提到他的流數發明，他在1666年10月撰寫的一本小冊子《流數簡論》中就說過同樣的話。《分析學》對那本小書做了修訂，展示了這位正在走向成熟的思想家的超人智慧。當代學者發現了一個奇特的現象：除了幾位幸運的同事外，神秘的牛頓沒有對公眾公開這份手稿。直到1711年，其中的許多結果已經由其他人發表之后，這份手稿才印制成書。雖然如此，更早的寫作年代和杰出的作者身份表明有理由把本書描繪為“也許是牛頓所有數學著作中最值得稱贊的”。

該書以求“簡單曲線的面積”的三條法則的一個命題開始。在17世紀，英語中積分（quadrature）的含義是求面積，所以，這三條法則就是積分法則。

法則1 簡單曲線的面積：如果是曲線AD的函數，其中a是常數，m和n是正整數，那么，區域ABD的面積為（見圖1-1）。

這條法則的一種現代表述形式是，指定A為原點，B為（x, 0），曲線為。于是，牛頓的命題變成，這正好是積分學中指數法則的一個特例。

僅僅到了《分析學》一書的最后，牛頓幾乎像事后反思一樣才注意到“留心的讀者”會想看到法則1的證明。留心的讀者總是不乏其人的，所以我們在下面給出他的論證。

如圖1-2所示，再次令曲線為AD以及和。牛頓假設曲線下的面積 ABD由z通過x的項的表達式給出。目標是求出y通過x表示的對應公式。按照一種現代的居高臨下的觀點，牛頓是從開始求解。在以幾個戲劇性的步驟結束之前，牛頓的推導過程綜合了幾何、代數和流數的方法。

首先，牛頓令β是橫坐標軸上同B相隔一小段距離o的點。因此線段Aβ的長度為。他令z為面積ABD，不過為強調函數關系，我們有權用表示。因此，是曲線下的面積Aβδ。下一步，他引進高為v＝BK＝βH的矩形BβHK，他限定其面積恰好等于曲線下面的區域BβδD的面積。換句話說，BβδD的面積等于ov。

此時，牛頓指定并繼續求z的瞬時變化率。為此，他考察了當x變小時x的變化對z的變化的影響。為書寫方便，他暫時令和，于是，且

現在，就是面積Aβδ。這個面積可以分解成面積ABD和BβδD。請注意，后者是矩形ov的面積，所以，牛頓斷定。代入式（7），得到

將等式左邊的二項式和右邊的二項式展開，得到

利用式（7）消去等式兩邊最左邊的項，并除以o，牛頓得到

到這一步，他寫道：“如果我們假定Bβ為無限減小并消失的量，或者o為零，那么，v和y在這種情況下相等，并且那些乘以o的項將消失”。他斷言，當o變成零時，式（8）中所有包含o的項也變成零。與此同時，v同y相等，這就是說，圖1-2中矩形的高BK將等于原曲線的縱坐標BD。通過這種方式，式（8）變換成

現代讀者的反應很可能是，“別那么快，艾薩克！”當牛頓用o作除數的時候，o無疑不等于零。但是過了一會，o就變成零了。一言以蔽之，這里埋伏了隱患。這種零與非零的對應在隨后的一個多世紀一直困擾著分析學家們。本書后面將更多地討論這個問題。

不過，牛頓的推導仍然繼續進行。在式（9）中，他代換了，c和p并且解出

于是，牛頓從他的假設“ABD的面積為”出發，推出曲線AD必定滿足方程。從本質上說，他微分了積分。然后，在沒有進一步證明的情況下，他指出：“與此相反，如果，那么就有。”這就完成了他對法則1的證明。

這是一種特別扭曲的邏輯。從曲線之下的面積積分z導出y的方程之后，牛頓斷言這種關系在相反的方向也存在，并且曲線之下的面積就是。這樣的論證給我們留下雜亂無章的感覺，因為其中包含很大的邏輯漏洞。牛頓數學論文集的編輯Derek Whiteside把這個求面積的證明恰當地描寫成“流數術的一種簡潔的難以理解的形式”。另一方面，記住這個起源是很重要的。牛頓在微積分漫長的創建過程的開頭就給出了法則1的證明。在他那個時代，這個證明是開山之作，并且他的結論是正確的。Richard Westfall在其評論中說，“然而概括地說，《分析學》確實展示了流數方法的整體范圍和威力”，看起來這是真實的。

無論如今的評判如何，牛頓當初是感到滿意的。牛頓在《分析學》中沒有給出證明的另外兩條法則如下：

法則2 由簡單曲線構成的復雜曲線的面積：若y的值由若干項構成，那么它的面積等于其中每一項的面積之和。

法則3 所有其他曲線的面積：如果y的值或者它的任何項比上述曲線更復雜，那么必須把它分解成更簡單的項……，然后應用前面兩條法則，就可以獲得欲求曲線的面積。

牛頓的第二條法則斷定有限項和的積分等于各項積分的和。他用了兩個例子來說明這條法則。第三條法則斷言，當遇到更復雜的表達式時，首先需要將其“化簡”成無窮級數，再通過第一條法則對級數的每一項求積分，然后再對結果求和。

最后這條法則是一個富有吸引力的主張。更恰當地說，這是最后一個前提條件，牛頓需要用它導出數學上的一個重大結果：一個角的正弦的無窮級數。出自《分析學》的這個重要定理是這一章最有意義的主題。