牛頓的正弦級數推導

考慮圖1-3中以原點為圓心和半徑等于1的圓的四分之一。同以前一樣，令，。牛頓的第一個目標是求圓弧αD的長度的表達式。

從D引出圓弧的切線DT，并且令BK為“基底AB的增量”。在一種表示法中，我們令，這成為牛頓之后的一種標準記號。這樣就建立了一個“無限小的”直角三角形DGH，牛頓把它的斜邊DH視為圓弧αD的增量。我們用表示，其中代表圓弧αD的長度。由于這一切都是發生在單位圓內，所以的弧度也是z。

在這種情況下，無限小的三角形DGH與三角形DBT相似，所以有。此外，半徑AD與切線DT垂直，所以高線BD將直角三角形ADT分成兩個相似三角形DBT和ABD。由此推出，。從這兩個比例關系，我們可以推出。采用上面的微分記號，可得。因此，。

在下一步推導中牛頓利用圓的關系，得到。像式（3）那樣展開，導出

所以

對這些單獨的乘方項求面積，并用法則3對結果求和，牛頓得到圓弧αD的弧長為

再度審視圖1-3，我們看到z不僅僅是的弧度，也是的弧度。由三角形ABD可知，，所以

因此，從代數表達式開始，牛頓利用他的廣義二項展開式和基本的積分推導出反正弦的級數，這是本質上更為復雜的一個關系式。

然而，牛頓還有一個錦囊妙計。他不去求用橫坐標（x）表示的弧長（z）的級數，而是尋找相反的過程。他寫道：“如果需要從已知弧長αD求AB的正弦，那么我對上面導出的表達式求根。”就是說，牛頓利用他的逆過程，將的級數轉換成的級數。

按照前面描述的方法，我們從把作為第一項開始。為把級數展開推進到下一步，將代入式（10），并且解出

我們僅從這個解中保留。這樣就將級數擴展成。下一步引進，繼續這個逆過程，解出

或者化簡為。到這一步，級數變成，并且，也許像牛頓所說的那樣，我們“繼續隨意地”推導下去，直至發現級數項的通用模式，然后書寫下分析學中最重要的一個級數：

為了獲得更準確的曲線弧長，牛頓又推導了余弦級數。按照Derek Whiteside的說法，“關于正弦和余弦的這些級數第一次出現在歐洲人的手稿中”。

牛頓的正弦級數和余弦級數（1669）

對我們來說，這種推導所兜的圈子看起來是不可思議的。我們現在把正弦級數視為不過是泰勒公式和微分學的一個微不足道的推論而已。所以我們自然而然地以為它一直就是這樣簡單的。但是，正如我們所見，牛頓克服了重重困難才得到這個結果。他運用了積分法則而不是微分法則；他從（我們認為）偶然的反正弦級數產生正弦級數；同時，他需要運用他所提出的復雜的逆過程方案來完成全部推導。

這個歷史片段提醒我們，數學并不是按照現在教科書中的方式發展的。相反，它是通過斷斷續續地在出乎意料的驚喜中發展起來的。事實上，那是相當有趣的，因為歷史在一下子變得有意義、美好和出乎意料的時候，它是極具吸引力的。

談到出乎意料這個話題，我們就Derek Whiteside在上面那段話中的評判補充一句。看起來牛頓并不是第一個發現正弦級數的人。印度數學家尼拉坎塔（1445—1545)在公元1545年描述過這個級數，并且把它歸功于更久遠的前輩馬達維（生活在公元1400年前后)。關于這些發現和印度數學中的優良傳統的敘述可以從文獻和中查到。但是，這些成果在牛頓活躍的時代的歐洲自然不為人們所知。

我們以兩點評論作為本章的結束語。第一，牛頓的《分析學》是一本真正的數學經典，是任何一位對微積分的歷程感興趣的人都應擁有的讀物。從中可以瞥見這位歷史上最具創造力的思想家在其才智發展的早期階段的情況。

第二，用現在的眼光看來，一場轟轟烈烈的革命開始了。年輕的牛頓以其超越時代的專業才能和洞察力把無窮級數和流數法結合起來，將數學的前沿推向若干新的發展方向。與他同時代的詹姆斯·格雷戈里（1638—1675）評論過去的初等方法對于產生同樣關聯的這些新方法，就如同“黎明的晨曦對于正午的陽光”。正如我們在后面幾章將要多次看到的，格雷戈里這種令人陶醉的描述是恰如其分的。同時，第一個走向這條激動人心的道路的人是牛頓，他確實不愧為“一位具有非凡天賦和卓越才能的人物”。