第3章 伯努利兄弟

雅各布·伯努利（1654—1705）

約翰·伯努利（1667—1748）

通常，一場科學革命不單是需要一位奠基的天才。它往往也需要一位組織天才，去確立科學中的核心思想，對它的產(chǎn)物去粗取精，去偽存真，并使之能為大眾理解。一位卓越的建筑設(shè)計師可以設(shè)計出一幅宏偉的藍圖，但是這份藍圖終究需要一支建筑隊伍將其變成一座大廈。

如果說牛頓和萊布尼茨是微積分的建筑設(shè)計師，那么正是雅各布·伯努利和約翰·伯努利所做的大量工作，才把微積分建立成今天我們所知的這門學科。這兄弟二人閱讀了萊布尼茨從1684年到1686年發(fā)表的最早論文，他們發(fā)現(xiàn)自己如臨決斗前那樣興奮。他們抓住云山霧罩般的闡述，充實它的細節(jié)，然后通過與萊布尼茨的交流以及兄弟彼此之間的交流，完善了統(tǒng)一性、條理性和術(shù)語。例如，“積分”一詞正是雅各布給出的。在他們手中，微積分變成當今學生易于接受的形式，即具有基本的求導(dǎo)法則、積分方法和初等微分方程的解法。

雖然同屬優(yōu)秀的數(shù)學家，但是伯努利兄弟二人的個人表現(xiàn)完全可以用“不得體”來形容。尤其是約翰，在萊布尼茨與牛頓關(guān)于微積分發(fā)明權(quán)之爭中充當了好斗的角色，像萊布尼茨的牛頭犬一樣，忠實地站在他所尊奉為英雄的“大名鼎鼎的萊布尼茨”一邊，甚至聲稱牛頓不僅沒有發(fā)明微積分，而且從來沒有完全理解它。這當然是對歷史上最杰出的一個數(shù)學家的粗野無端的攻擊。

非常不幸，由于家庭不和睦，雅各布和約翰也以相互爭斗為樂。例如，哥哥雅各布稱弟弟約翰為“我的學生”，即使是在這個學生的才干已經(jīng)明顯和他相當?shù)臅r候也是這樣。同樣，約翰在事隔多年后還在津津樂道地談?wù)撊绾卧谝粋€晚上解決了困擾雅各布將近一年的一個問題。

盡管他們具有難以相處的執(zhí)拗天性，但是，伯努利兄弟還是在數(shù)學史上寫下了濃墨重彩的篇章。雅各布除了在微積分上的貢獻以外，還著有《猜度術(shù)》一書，在1713年（他去世后）出版。這本書是概率論的經(jīng)典之作，書中給出大數(shù)定律的證明，為了紀念他，人們往往把這個基本結(jié)果稱為“伯努利定理”。4至于約翰，他是世界上第一本微積分教科書的捉刀人。這件事情起于一項協(xié)議，按照協(xié)議約翰給法國貴族馬奎斯·德·洛必達（1661—1704）提供微積分課材料，獲取報酬。洛必達隨后在1696年整理出版了這些材料，書名為《用于了解曲線的無窮小分析》。在這本書里首次出現(xiàn)“洛必達法則”，雖然同這本書一樣，這個法則實際上是約翰·伯努利發(fā)現(xiàn)的，但是這個名稱在微分學中從此就固定下來。在書的前言里，洛必達表達了對伯努利和萊布尼茨的感謝，他寫道：“我無償?shù)厥褂昧怂麄兊陌l(fā)現(xiàn)，所以只要他們愿意，我真誠地把他們要求擁有的任何東西歸還他們。”

性情暴躁的約翰當然不滿足于這種表示，他確實聲明這個法則是他發(fā)明的，而在幾年后，他抱怨洛必達用金錢換取他人的才智。當然正如數(shù)學史家Dirk Struik所說，是伯努利自己（實際）促成了這起交易。他給我們的簡單的勸告是“就讓善良的馬奎斯持有他的典雅的法則吧，他支付費用了”。為避免再次失去榮譽，約翰寫了一篇關(guān)于積分學的內(nèi)容廣泛的論文，在1742年用自己的署名發(fā)表。

為更清楚了解伯努利兄弟二人在數(shù)學上的成就，我們有選擇地介紹他們的成果。首先從雅各布的調(diào)和級數(shù)的發(fā)散證明開始，然后考察他對一些奇異收斂級數(shù)的處理，最后介紹約翰對他所謂“指數(shù)微積分”的貢獻。