萊布尼茨級數

萊布尼茨從一段圓弧開始。他特別考察半徑為1和中心在點（1, 0）的圓，如圖2-8所示。他把這個圓的四分之一作為他的一般變換定理里的曲線AB。下面馬上就會看到，這是一個富有靈感的選擇。

圓的方程為，或者取另一種形式。由幾何圖形可知這段四分之一圓弧下的面積是，所以由式（1）和式（5）可得

菜布尼茨利用他新創建的積分，對圓的方程求微分，得到，于是。這使式（1）簡化成

萊布尼茨的目標是求得由割圓曲線z的項來表示x的表達式，因此他將上式平方并利用圓的方程，得到，從中解出

挑戰在于計算圖2-9中陰影區域的面積。考慮割圓曲線的圖形，并按上述推導過程，證實

＝面積（陰影區域）

＝面積（正方形）－面積（上方區域）＝ （8）

回到變換定理，萊布尼茨把式（7）和式（8）結合起來，得到

他將最后的被積函數重寫成

其中方括號內出現了一個等比級數。據此，萊布尼茨推斷

化簡成

這就是萊布尼茨級數。

這是一個奇妙的級數。它的項遵循一個極為普通的模式：帶有交替正負號的奇數的倒數。然而最重要的是，這個看似不起眼的表達式的和為。萊布尼茨回憶當他第一次將這個結果同惠更斯交流時，他得到熱烈的贊揚，因為“惠更斯給予了極高的評價，并且在退回這篇論文的附信中說，這在數學家中是一個值得永遠記住的發現”。

按照萊布尼茨的說法，這個發現的意義在于“第一次證明了圓的面積恰好等于有理數的一個級數”。也許有人會對他用“恰好”一詞挑毛病，但是很難同他的熱情爭辯。

他追加了一個離奇的補遺。通過對式（9）兩端除2，并組合其中的項，萊布尼茨發現

就是說，這個等式表明，如果我們從2開始對每個相間的偶數的平方減1的倒數求和，結果為。多么神奇！這提醒人們，分析學家手中的公式近乎魔術一般。

萊布尼茨級數在形式上是著名的，但如果用它計算π的近似值則毫無價值。這個級數是收斂的，不過收斂極為緩慢。如果對萊布尼茨級數的前300項求和，僅能得到π的精確到一位小數的近似值。這么糟糕的精度是不值得費力地去求和的。但是，我們將會看到，在歐拉手中，一個相關的無窮級數將產生一個高效的計算π的近似值的方法。

毫無疑問，萊布尼茨級數是一個微積分學的杰作。然而，按照慣例，當討論這些早期的結果時，我們必須提出一些注意事項。值得一提的第一件事，是變換定理使用了無窮小推理。另一件事，是萊布尼茨在求其級數的值時需要用無限多積分項之和代替無限多項之和的積分，這樣一個步驟，它的微妙性將成為未來幾個世紀面對的問題。

同時，還有另外一個問題：萊布尼茨并不是第一個發現這個級數的人。英國數學家詹姆斯·格雷戈里在其幾年前已經發現一個非常相似的級數。事實上，格雷戈里得到了反正切函數的展開式，即

當時，這就是萊布尼茨級數（雖然格雷戈里也許實際上并未作過代換，沒有將這個函數級數轉換成數值級數）。

在1674年，作為數學新手的萊布尼茨并不知道格雷戈里的成果，并相信他自己找到了新東西。這反過來讓他的英國對手對他投以懷疑的目光。對他們來說，萊布尼茨具有攫取他人成果的傾向。這些懷疑在18世紀初期自然會被進一步放大，因為那時在牛頓親自指揮下，整個英國都在指責萊布尼茨剽竊微積分的抄襲行為。級數中的這筆糊涂賬被當作是萊布尼茨背信棄義的最初例證。

但是，即使是格雷戈里也不是第一個涉足這條道路的人。我們在前一章中提到的印度數學家尼拉坎塔在一本名為Tantrasangraha的書中描述了這個級數，還是用韻文的形式。雖然這一成果在萊布尼茨時代的歐洲尚不為人知，但這件事提醒世人，數學是全人類的事業。

盡管有格雷戈里和尼拉坎塔的成果，但是我們知道萊布尼茨的級數推導不是剽竊行為。后來他在1674年寫道，不論是他還是惠更斯“或者任何一個在巴黎的其他人，完全沒有聽說過任何關于通過有理數的無窮級數表示圓面積的報道”。像發明通常的微積分一樣，萊布尼茨級數是一項屬于個人的成就。

在接下來的20多年里，當萊布尼茨完善、整理并且發表了他關于微分學和積分學的思想后，這個新手變成為一位大師。在這樣的起點上，這門學科將在未來的一個世紀發展起來——事實上將迅猛地成長s。我們將繼續講述這個故事，談談他在瑞士的兩位最著名的追隨者，即伯努利兄弟二人。