變換定理

在17世紀中期，計算曲線之下的面積是一個熱門話題，這也是萊布尼茨變換定理的主題。在圖2-1中，假定我們要計算曲線AB下面的面積。萊布尼茨將這個區域的面積想象成是由無限多個無限小的矩形構成的。每個矩形的寬度為，長度為y，其中y隨曲線AB的形狀變化而改變。

在我們看來，萊布尼茨的的性質是不明確的。在17世紀，被看作是最小的可能長度，一個無限小的不可能再分的長度。但是怎么可能有這樣的事情呢？很明顯，任意長度，即使是刀刃一樣薄的長度，也可以分為兩半。萊布尼茨關于這一點的解釋無助于概念的澄清，他對問題的說明是難以理解的。下面是萊布尼茨在1684年之后的一份手稿中的一段文字：

關于……無限小，我們理解為……某種無限的小，所以每次分割本身都成為一個級別，只不過不是一個最后的級別。如果有誰希望將這些[無限小]理解為最終的事物……，那么，這也是可以的，而且也不會陷入關于延伸范圍或者一般而論的無限連續統或者無限小的真實性的爭論中，即使他認為這樣的事是完全不可能的。

讀者不必尋找這種概念的澄清，更無需自己去澄清。萊布尼茨看來選擇了邏輯上的權宜之計，他作出補充，即使這些不可分量的性質尚不確定，它們依然可以作為“用于計算的有力工具”。我們再次看到了令后來的分析學家們進退維谷的數學泥潭。但是在1673年，萊布尼茨急切地向前推進，將這個邏輯上的問題留給下一代人解決。

回到圖2-1，我們看到無限小矩形的面積為。為計算曲線AB下面的面積，萊布尼茨對這無窮多個面積求和。他選用伸長的“S”——代表“summa”（求和）——作為表示這個過程的記號。因此，這個面積表示成。從此以后，他的積分符號成了微積分的“標志”，向所有見到它的人宣告高等數學來臨了。

提出一個表示面積的記號是一回事，而掌握怎么計算面積完全是另一回事。萊布尼茨的變換定理就是以解決這個計算問題作為目標。

圖2-2說明了他的思想，其中再次顯示曲線AB，求它下面的面積是我們的目標。P是曲線上任意一點，其坐標為。萊布尼茨在P點畫出切線t，與縱坐標軸相交于點T(0, z)。萊布尼茨解釋這個構造時說明“求一條切線意味著畫一條直線連接曲線上距離無限小的兩個點”。令為x的無限小的增量，他建立一個無限小的直角三角形，以切線上的線段PQ為斜邊，邊長分別為,,的三角形放大后的圖形顯現在圖2-3中。令α為切線的傾角。

萊布尼茨強調,“雖然這個三角形是不確定的（無限小），但是……總可能找到一個相似于它的確定的三角形”。當然，有人會疑惑一個無限小三角形怎么可能同任何東西相似，但是這不是糾纏于細枝末節的時候。萊布尼茨把圖2-2中的看成與圖2-3中的無限小三角形相似。于是有，求解得到

下一步，萊布尼茨向左延長切線PT，并且從原點引出同這條延長線垂直的長度為h的線段OW（見圖2-2）。由于的值是α，可知的值為，所以的值也是α。這使得相似于無限小的那個三角形，于是得到另一個比例關系，我們由此推出

萊布尼茨然后畫出從原點輻射出的，以無限小三角形的斜邊PQ為底邊。為避免使圖2-2變得更為雜亂，我們將這個特別的三角形重新畫在圖2-4中。

到這一步讀者也許會想，萊布尼茨已經隨波逐流地迷失在毫無目標的三角形的汪洋大海之中。然而，事實上，這個無限小斜三角形OPQ卻成為他的變換定理的核心。由于三角形的底邊為，高為，由此看出它的面積為，由上面的式（2）可知，這個面積恰好是。

萊布尼茨畫了無數個這樣的無限小三角形，如圖2-5所示，所有的三角形都是從原點輻射出來并終止于曲線AB。幾年以后，萊布尼茨回憶起，他“偶然有機會用若干條通過同一點的直線將面積分成多個三角形，并且……察覺可以很容易從中獲得某些結果”。

這種極透視三角形是非常關鍵的，因為萊布尼茨認識到圖2-5中的楔形的面積就是那些無窮小三角形的面積之和，它們的面積的解析表達式已經在上面確定。就是說

面積（楔形）＝三角形面積之和＝ （3）

事實上，萊布尼茨的初衷并不是求這個楔形的面積。相反，他要尋求的是圖2-1中曲線AB之下的面積，即。幸好，只需要簡單地修修補補就可以將討論中的兩個面積聯系起來。圖2-6中的幾何圖形表明：

曲線AB下的面積＝面積(楔形)＋面積()－面積()

根據式（3），這個關系式從符號上等價于

這就是最終的變換定理。定理的名稱表示原來的積分已經變換（或“轉換”）成新積分與常數之和。如今，我們添加積分限（一個萊布尼茨沒有用過的符號表示法）使得公式更稱心如意，并且重寫成

公式（5）由于至少以下兩個原因而值得注意。

首先，“新的”對z的積分很可能比原來對y的積分更容易求值。如果是這樣，z就在求原來的面積中扮演了一個輔助的角色。對17世紀的數學家來說，一種稱為割圓曲線的曲線就扮演這樣的角色，也就是說，割圓曲線是一個求面積的助推器。如果從公式（5）能夠產生一個更簡單的積分，那么，這整個冗長的推導過程將獲得補償。正如我們立刻就會看到的，這種情況恰好出現在萊布尼茨級數的推導過程中。

其次，公式（5）中的關系具有理論意義。回想一下，是曲線AB在點（x, y）處的切線在y軸的截距。因此z的值與切線的斜率有關，所以在這個復合的積分中注入了導數。這不禁使人意識到其中隱藏著重要的聯系。

為更清楚地看到這一點，回想式（1），可得。代入式（4）得到

求解得。

再加入積分限，給出

在圖2-7中，式（6）在幾何上的正確性是顯而易見的，因為是所有縱向條形區域的面積，而是所有橫向條形區域的面積。這兩部分面積的和顯然是外圍矩形和左下方小矩形面積之差。就是說，

整理后即得式（6）。

關于式（6）還要作一點說明：它看起來是大家熟悉的。這是理所當然的，因為它很容易地從著名的分部積分法公式

推出，只要在其中指定和。在這種條件下，，代入后就把分部積分公式轉變成變換定理。萊布尼茨在使用無限小三角形、切線、相似三角形和楔形面積進行復雜推理以后，總之，在經過極其曲折的數學探索之旅以后，獲得一個分部積分的實例，一位微積分的超級明星捷足先登，出人意料地走上舞臺。

這是令人興奮的，但是萊布尼茨并沒有停下腳步。在把他的變換定理應用于一條著名的曲線后，萊布尼茨發現了一個一直以他的名字命名的無窮級數。