2-1 計算罹患癌癥的概率

本講是通過一些容易獲取客觀數據的案例，對于貝葉斯推理進行說明。需要了解的重點是，理解“如果從客觀的數據來考慮的話，反而會容易陷入誤解之中”的問題。在這里，你會發現概率的不可思議。

下面，用醫療診查來舉例進行說明。

在醫療發達的當今社會，我們能夠獲得多數病癥的統計數據。另外，在發覺自己出現了一定癥狀之前，就能夠發現病情的技術也在不斷發展進步。但是，依然存在一個問題：如何判斷通過檢查得出的“是/不是X病情”這一結果的準確性呢？

假設，你接受了一項“如果患了特定的癌癥的話，結果有95%的概率為陽性的檢查”，并且在之后收到了結果為陽性的報告。此時，你會判斷自己患該癌癥的概率為95%嗎？

答案是“不會”。

如果“自己患癌癥的概率真的為95%”的話，你肯定會對這個結果感到非常悲觀。實際上，對此做出錯誤判斷的人大概有很多吧。但是，從“陽性”這個結果來推斷“你患了癌癥的概率”，這也并不是一個特別高的數字。

在該推算中，由于是從“陽性”這一“結果”追溯到“患癌癥”這一“原因”，因此可看作貝葉斯推理的典型案例。

在本講中，我們首先進行問題的設定。以下數據是為了簡化計算而假設的虛構數值，并非真實的數據。

2-2 根據醫療數據，設定“先驗概率”

該推算的順序，與第一講中進行的推算順序完全相同。因為具體事例有所區別，帶給各位讀者的印象可能會不太一樣，因此，下文將沿襲第一講的方式，對推算的順序進行詳細說明。

這個例子的特殊性在于，先驗概率是一項客觀存在的流行病學數據。第一講中已經解釋過，先驗概率，是“在獲得信息之前，各個類別的存在概率”。在這個案例中共有兩種類別：一種是“罹患癌癥的人”，另一種是“健康的人”。

正如問題設定中所述，這種癌癥的罹患率為0.001，因此流行病學認為，1000人中有1人會罹患這種癌癥。因此，如果要在檢查前推測自己是否罹患這種癌癥的話，如下面的圖表2-1所示。

下面，重新解釋一遍該圖。

該圖表示的是：在接受簡易檢查診斷之前，判斷你是否罹患了癌癥的可能性。你所在的世界分為左側表示“罹患癌癥”和右側表示“身體健康”的兩個“可能世界”，而你一定處在這兩個可能世界中的一個當中。所以并不知道到底屬于哪一個世界，僅僅是作為推測而已。也就是說，世界分為了兩個互不相同的部分（可能性分為了兩種）。

但是，并非完全沒有辦法來推測你究竟處在哪個“可能世界”。通過流行病學數據我們知道，這種癌癥的罹患率為0.001。也就是說，統計顯示，1000人中有1人罹患這種癌癥，所以，這可以作為判斷你是否罹患該種癌癥的參考。如果直接套用的話，可以推算罹患該種癌癥的概率為0.001。也就是說，“你究竟屬于兩個可能世界中的哪一個”的問題，在沒有任何個人信息的情況下，屬于左側世界的概率可被推算為0.001，屬于右側世界的概率可被推算為0.999。