賣房子的時機

只需修改經典秘書問題的兩個特征，就可以從浪漫的愛情跳進不浪漫的房地產領域。在前文中，我們說過租公寓的過程屬于最優停止問題，但是真的擁有房產之后，你仍然難免要與最優停止問題打交道。

假設你想賣房子。在咨詢了幾個房地產中介之后，你將粉刷一新、帶有園林景觀的房子推向市場，然后靜等有意者上門。每個看房人提出有意購買時，你基本上都要做出決定，要么接受，要么拒絕。但是，拒絕是有代價的，因為在下一個有意購買者上門之前，你需要再支付一周（甚至一個月）的抵押貸款，而且下一個購買者的報價未必更高。

賣房子與全信息博弈比較相似。我們知道有意者愿意付出的具體金額，不僅可以看出誰報出的價格更高，而且可以看出彼此之間的具體差額。此外，我們還掌握有關房地產市場行情的更多信息，至少可以對預計的報價變化幅度做一個大致的預測。（有了這樣的預測，就相當于掌握了上述打字測試中的信息。）兩者之間的差別在于目標不同。賣房子時，我們的目標其實不是得到最有利的報價，而是通過整個過程最終獲取盡可能多的錢。由于等待是有代價的，是要付出真金白銀的，因此當前的有利報價比幾個月之后略高一點兒的報價更有吸引力。

掌握了這些信息之后，我們就可以省略確定閾值所需的觀望階段，直接確定一個閾值。然后，我們可以忽略所有低于這個閾值的報價，直接接受第一個高于閾值的報價。誠然，如果在某個時間之前不把房子出手，我們有限的積蓄就會消耗殆盡，或者我們只想考慮數量有限的幾個報價，對隨后的報價不感興趣，那么在快要達到極限時，我們當然應該降低標準。（購房者喜歡找“積極的”賣主，原因就在這里。）但是，如果沒有被這兩種情況逼到墻角，那么我們就可以通過成本效益分析，確定是否應該繼續觀望。

接下來，我們分析一種非常簡單的情況：假設我們清楚報價金額的變化幅度，并且在這個變化范圍內各種報價出現的可能性是相同的。只要報價不會中斷（我們的積蓄也不會花完），我們就可以單純地考慮我們對收獲或損失的期望值，以決定是否繼續等待更有利的交易。如果拒絕當前的報價，預計出現更有利報價的可能性是多少？該報價與當前報價之間的差，乘以該報價出現的可能性，乘積是否大于繼續等待的成本呢？數學計算的結果清楚地表明，停止價格是等待成本的一個顯函數。

無論你出售的是價值高達數百萬美元的豪宅，還是搖搖欲墜的棚屋，對這個數學結果都不會有任何影響。你唯一需要關心的是你可能接收到的最高報價與最低報價之間的差值。輸入幾個具體數字，就可以看出這個算法可以提供給我們大量清楚明了的指導意見。例如，假設我們預計報價金額在400000~500000美元之間。首先，如果等待成本非常低，那么在挑選買主時我們幾乎無須有任何顧忌。如果等待下一個報價的成本僅為1美元，那么為了賺取盡可能多的錢，我們可以一直等到有人愿意支付499552.79美元時才出手。少一分錢，我們都不會賣給他。如果每次等待需要付出2000美元的代價，那我們就應該等待480000美元這個報價。如果面對的是一個不景氣的市場，每次等待需要耗費10000美元時，那么只要報價高于455279美元，我們就應該立刻出手。最后，假設等待成本為預計報價范圍的一半（在本例中，報價變化幅度的一半就是50000美元）或更高時，那么觀望對我們來說不會有任何好處，最有利的做法是直接接受第一個報價，然后立刻成交。人在屋檐下，不得不低頭。

在這個問題中，閾值完全取決于搜尋成本，這也是這類問題需要注意的關鍵要點。下一個報價令人心動的可能性（以及搜尋成本）都不會發生任何變化，因此，無論運氣如何，我們在搜尋過程中都無須降低最優停止價格。一旦確定最優停止價格之后（即使這是我們在將房子推向市場之前做出的決定），我們就再也不要有任何動搖。

賣房子問題的最優停止閾值

威斯康星大學麥迪遜分校的優化專家勞拉·阿爾伯特·麥克萊回憶說，她在賣房子時，就用到了最優停止問題的相關知識。她說：“我們收到的第一個報價就非常高，但是他們希望我們比預計的搬離日期早一個月搬走。這個代價太大了。這時候，又有人報出了一個有競爭性的報價……但是我們一直不為所動，直到最后有人報出了令我們滿意的報價為止?！睂芏噘u家而言，建議他們拒絕一兩個優厚的報價都會讓他們神經緊張，如果隨后的報價比不上前者，那么他們就會更加緊張。但是，麥克萊很冷靜，堅守立場沒有動搖。她承認：“如果我不知道數學計算的結果，就很難堅持下來?！?/p>

在任何情況下，只要你可以得到一系列報價，而尋找或等待下一個報價需要付出一定成本時，就可以應用上述準則。因此，除了賣房子，在很多情況下我們都可以考慮這條準則。例如，經濟學家利用這個算法構建的找工作模型，可以輕而易舉地解釋失業工人與空缺崗位并存這個看似矛盾的事實。

事實上，最優停止問題的這些變種還有一個更令人吃驚的特性。前面說過，在開普勒尋覓愛情的過程中，可以“復活”之前被自己拒絕的機會是一個非常重要的條件。但是，在賣房子或者找工作時，即使我們可以重新考慮之前的報價或工作邀請，即使我們可以肯定那個報價或工作邀請仍然有效，我們也絕不應該重新考慮它。如果之前它沒有達到閾值的要求，那么現在它也不會高于閾值。在拒絕那個報價或工作邀請之后，我們的付出已經成為已支付成本。因此，不要妥協，不要試圖亡羊補牢。堅持住，不要回頭！