第一節(jié) 現(xiàn)代資產(chǎn)組合理論

資產(chǎn)組合理論也稱投資組合選擇理論，是繼凱恩斯理論之后在西方主流經(jīng)濟(jì)學(xué)界出現(xiàn)的一種核心投資理論。1952年，馬柯維茨（Harry M. Markowitz）發(fā)表《資產(chǎn)組合的選擇》論文，開創(chuàng)了現(xiàn)代投資理論的先河。1959年，出版了同名專著。由于其在投資理論的特殊貢獻(xiàn)和歷史地位，于1990年獲得諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎。

資產(chǎn)組合理論大致包括收益度量、風(fēng)險(xiǎn)度量、非系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)分散、投資組合選擇等。

一 資產(chǎn)收益及其數(shù)理統(tǒng)計(jì)量

在均衡市場中，不存在高風(fēng)險(xiǎn)、低收益的資產(chǎn)，也不存在低風(fēng)險(xiǎn)、高收益的資產(chǎn)，換言之，均衡市場不會出現(xiàn)一種資產(chǎn)明顯優(yōu)于另一種資產(chǎn)的情形。

（一）資產(chǎn)收益

資產(chǎn)收益（return, R）是財(cái)務(wù)學(xué)尤其是風(fēng)險(xiǎn)管理理論研究的隨機(jī)變量。當(dāng)其他因素不變時(shí)，資產(chǎn)收益用資產(chǎn)價(jià)格表示。衡量資產(chǎn)收益的形式有：一是絕對數(shù)，即資產(chǎn)賣出價(jià)格減去買入價(jià)格，或資產(chǎn)期末價(jià)值與期初價(jià)值之差，ΔP=P1-P0。二是相對數(shù)，即資產(chǎn)買賣價(jià)格差額與買入價(jià)格之比，R=ΔP÷P0=P1÷P0-1。

一般來說，資產(chǎn)收益用相對數(shù)表示，即資產(chǎn)收益率。

1．資產(chǎn)收益形式及關(guān)系

（1）必要收益率。是指人們愿意投資所要求的最低報(bào)酬，能夠準(zhǔn)確反映未來現(xiàn)金流量風(fēng)險(xiǎn)的報(bào)酬，精確表達(dá)了投資風(fēng)險(xiǎn)的大小。必要收益率建立在機(jī)會成本的基礎(chǔ)上，是在同等風(fēng)險(xiǎn)下選擇這個方案而放棄其他方案的最大報(bào)酬率。

資產(chǎn)的內(nèi)在價(jià)值評價(jià)以必要收益率作為折現(xiàn)率。

（2）期望收益率。是指人們從事投資所預(yù)計(jì)的報(bào)酬大小，是使凈現(xiàn)值等于0的內(nèi)含報(bào)酬率。當(dāng)凈現(xiàn)值等于零（NPV=0）時(shí)，投資者能夠賺取與其風(fēng)險(xiǎn)水平相應(yīng)的收益水平。投資可行性的基本條件是期望收益率大于或等于必要收益率。

資產(chǎn)的買價(jià)估算以期望收益率作為折現(xiàn)率。

（3）實(shí)際收益率。是指人們投資后所獲得的真實(shí)報(bào)酬，反映投資決策的現(xiàn)實(shí)回報(bào)情況，是無法改變的。投資經(jīng)過一段時(shí)間后有了最終結(jié)果，若實(shí)際收益率與期望收益率有差異，則可以說這是風(fēng)險(xiǎn)造成的或發(fā)生了風(fēng)險(xiǎn)。總不能讓時(shí)光倒流，去改變實(shí)際報(bào)酬率，只能根據(jù)以往的實(shí)際收益率做出新的投資決策。由于風(fēng)險(xiǎn)的存在，實(shí)際報(bào)酬率與期望報(bào)酬率并無必然的聯(lián)系。

值得一提的是，必要收益率是機(jī)會成本；期望收益率不小于必要收益率是投資決策的基本依據(jù)；實(shí)際收益率與期望收益率的差異正是風(fēng)險(xiǎn)的本質(zhì)內(nèi)容。在有效資本市場中，期望收益率與必要收益率應(yīng)當(dāng)趨于一致，且均與實(shí)際收益率走向統(tǒng)一。

2．資產(chǎn)收益概率分布

在現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)中，一些在相同條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件稱為隨機(jī)事件。隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小稱為概率。概率分布是隨機(jī)事件可能出現(xiàn)的所有結(jié)果的概率集合，需要滿足兩個條件：所有可能結(jié)果發(fā)生的概率（Pi）介于0—1之間，即0≤Pi≤1；所有可能結(jié)果的概率之和等于1，即{L-End} = 1。概率分布分為離散型分布和連續(xù)型分布。

（1）離散型分布。有些隨機(jī)變量的所有可能取值是有限個（可列），這種變量稱為離散型隨機(jī)變量。對應(yīng)于有限個取值，有確定的概率，則稱這種變量服從離散型分布。

現(xiàn)有兩個投資機(jī)會X和Y。X是高科技項(xiàng)目，市場競爭激烈，若做得好，利潤很大，否則，會出現(xiàn)較大虧損；Y是傳統(tǒng)項(xiàng)目，銷售前景能夠較準(zhǔn)確地預(yù)測。兩個項(xiàng)目在未來經(jīng)濟(jì)狀況好、中、差三種情況下，其預(yù)期收益率R及概率分布見表2-1。

離散型分布是一種非連續(xù)概率分布，如圖2-1所示。

（2）連續(xù)型分布。實(shí)際上，未來經(jīng)濟(jì)狀況的出現(xiàn)遠(yuǎn)不止上述好、中、差三種情況，從好到中，從中到差，會有無數(shù)種小的情況出現(xiàn)。若對每種小的情況都賦予一個概率，并仍然滿足{L-End} = 1，然后分別測定其對應(yīng)的投資收益率，則稱這種變量服從連續(xù)型分布。

連續(xù)型概率分布描述的是概率與資產(chǎn)收益率的關(guān)系為函數(shù)關(guān)系，表達(dá)式為P=f（R）。圖2-1中，若假定隨機(jī)變量可以連續(xù)取值，且有對應(yīng)概率，X和Y項(xiàng)目的概率分布如圖2-2所示。可見，概率分布越集中，概率曲線的峰度越大，實(shí)際收益率偏離期望收益率的可能性越小，投資風(fēng)險(xiǎn)越低。從圖2-1和圖2-2可以看出，X方案與Y方案相比，其投資風(fēng)險(xiǎn)要大。

需要說明的是，無論是連續(xù)型分布，還是離散型分布，給出的例子通常是假定隨機(jī)變量服從正態(tài)分布。事實(shí)上，并非所有的隨機(jī)變量都呈正態(tài)分布。但是，根據(jù)統(tǒng)計(jì)學(xué)理論，無論總體是否服從正態(tài)分布，其樣本平均數(shù)均呈正態(tài)分布。

根據(jù)概率分布，對投資項(xiàng)目，不僅要分析其期望收益，而且要研究收益風(fēng)險(xiǎn)程度。

（二）資產(chǎn)收益的數(shù)理統(tǒng)計(jì)量

根據(jù)數(shù)理統(tǒng)計(jì)原理，反映隨機(jī)變量集中趨勢或穩(wěn)定程度的基本指標(biāo)是期望值，反映隨機(jī)變量離散趨勢或波動程度的主要指標(biāo)是標(biāo)準(zhǔn)差。

1．資產(chǎn)收益期望值

期望值也稱均值，是資產(chǎn)收益率的所有可能取值，以各自相應(yīng)的概率作為權(quán)數(shù)計(jì)算的加權(quán)算術(shù)平均數(shù)，用μ或E（R）表示。

（1）概率未知。若資產(chǎn)收益情況出現(xiàn)的概率未知，則通常假定各情況概率相同，均為1/n，資產(chǎn)收益期望值的計(jì)算式為：

式中：Ri為第i種情況的資產(chǎn)收益率；n為所有可能出現(xiàn)的情況數(shù)。

【例2-1】 兩種股票在4個年度的收益率見表2-2。求A、B的收益期望值。

解

A股票收益期望值為：

B股票收益期望值為：

（2）概率已知。當(dāng)資產(chǎn)收益情況出現(xiàn)的概率已知，資產(chǎn)收益期望值的計(jì)算式為：

式中：Pi為第i種情況的資產(chǎn)收益率發(fā)生的概率。

【例2-2】 三種股票在三種可能情況下的收益率見表2-3。求A、B、C的收益期望值。

解

A股票收益期望值為：

μA=0.3×90% +0.4×40% +0.3×（-10%）=40%

B股票收益期望值為：

μB=0.3×70% +0.4×40% +0.3×10% =40%

C股票收益期望值為：

μC=0.3×80% +0.4×50% +0.3×20% =50%

2．資產(chǎn)收益標(biāo)準(zhǔn)差

標(biāo)準(zhǔn)差也稱均方差，通常用σ 表示，是方差的平方根。方差是資產(chǎn)收益率的所有可能取值與其期望收益率之差平方的期望值，通常用σ2或D（R）表示。

（1）概率未知。當(dāng)資產(chǎn)收益情況出現(xiàn)的概率未知，資產(chǎn)收益標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算式為：

【例2-3】 承例2-1，計(jì)算A、B兩種股票的收益標(biāo)準(zhǔn)差。

解

A股票收益標(biāo)準(zhǔn)差為：

B股票收益標(biāo)準(zhǔn)差為：

（2）概率已知。當(dāng)資產(chǎn)收益出現(xiàn)概率已知，標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算式為：

【例2-4】 承例2-2，計(jì)算A、B、C三種股票的收益標(biāo)準(zhǔn)差。

解

A股票收益標(biāo)準(zhǔn)差為：

B股票收益標(biāo)準(zhǔn)差為：σB= 0.3×（70% -40%）2+0.4×（40% -40%）2+0.3×（10% -40%）2= 0.3×70%2+0.4×40%2+0.3×10%2-40%2= 5.4%=23.24%

C股票收益標(biāo)準(zhǔn)差為：

標(biāo)準(zhǔn)差是用絕對數(shù)形式來衡量風(fēng)險(xiǎn)的。當(dāng)兩個方案的收益期望值相同，標(biāo)準(zhǔn)差越大，風(fēng)險(xiǎn)越大；反之亦然。當(dāng)兩個方案的收益標(biāo)準(zhǔn)差相同，期望值越大，風(fēng)險(xiǎn)越??；反之亦然。例2-2和例2-4中，A、B股票的收益期望值相同，但A股票的收益標(biāo)準(zhǔn)差較大，風(fēng)險(xiǎn)較大；B、C股票的收益標(biāo)準(zhǔn)差相同，但C股票的收益期望值較大，風(fēng)險(xiǎn)較小。

標(biāo)準(zhǔn)差只能用來比較收益期望值相同投資方案的風(fēng)險(xiǎn)大小。當(dāng)收益期望值不同，標(biāo)準(zhǔn)差的判斷功能失效。例2-2和例2-4中，A與B能比較，B與C能比較，A與C不能比較。為了解決這一問題，引入一個用相對數(shù)形式來衡量風(fēng)險(xiǎn)的變異系數(shù)。

3．資產(chǎn)收益變異系數(shù)

變異系數(shù)也稱標(biāo)準(zhǔn)離差率，是標(biāo)準(zhǔn)差與期望值之比，通常用 VC 表示，其計(jì)算式為：

【例2-5】 承例2-2和例2-4，計(jì)算各方案的資產(chǎn)收益變異系數(shù)。

解

A、B、C股票的收益變異系數(shù)分別為：

VCA=38.72%÷40% =0.968

VCB=23.24%÷40% =0.581

VCC=23.24%÷50% =0.4648

可知，A、B、C三種股票相比，A的風(fēng)險(xiǎn)最大，B次之，C最小。

二 現(xiàn)代資產(chǎn)組合理論的先驅(qū)：σ-μ理論

馬柯維茨的資產(chǎn)組合理論之所以被稱為σ-μ理論，是因?yàn)樵摾碚撝饕懻摰氖窃诓淮_定條件下投資組合選擇的均值—離差法。

（一）σ-μ理論的基本假設(shè)

σ-μ理論的基本思想是在資產(chǎn)組合的收益期望值和收益標(biāo)準(zhǔn)差之間進(jìn)行權(quán)衡，目的是風(fēng)險(xiǎn)一定收益最大，或收益一定風(fēng)險(xiǎn)最小，或風(fēng)險(xiǎn)最小且收益最大。

資產(chǎn)組合理論建立在一系列假設(shè)基礎(chǔ)上：

（1）單期投資，即投資者期初投資，期末取得投資回報(bào)。單期模型分析雖然是對現(xiàn)實(shí)的一種近似描述，如對零息債券、歐式期權(quán)等投資，但作為一種簡化形式，成為多期模型分析的基礎(chǔ)。

（2）投資者事先知悉資產(chǎn)收益率的概率分布，并呈正態(tài)分布。

（3）證券市場是有效的，不存在稅收和交易成本，投資者是價(jià)格的接受者，證券是無限可分的。

（4）投資者用期望收益率（收益率均值）來衡量未來實(shí)際收益率的總體水平，用收益率離差（標(biāo)準(zhǔn)差或方差）來衡量投資收益率的風(fēng)險(xiǎn)，因此，均值—離差（σ-μ）成為投資者關(guān)注的主要決策變量。

（5）投資者是風(fēng)險(xiǎn)厭惡者，總是根據(jù)占優(yōu)原則，在同一風(fēng)險(xiǎn)下選擇收益較高的資產(chǎn)，或者在同一收益率下選擇風(fēng)險(xiǎn)較低的資產(chǎn)。

（6）市場資產(chǎn)收益率的正態(tài)分布決定了資產(chǎn)由其均值和離差唯一確定。

（7）不允許買空，wi＞0。

（8）投資者的效用函數(shù)是二次的，U（w）=a+bw+cw2。

由于投資者是風(fēng)險(xiǎn)回避者，σ-μ等效用曲線都是正斜率，但由于不同投資者的風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度有所差異，斜率也有一定差異。投資者的σ-μ無差異曲線越陡峭，說明投資者的風(fēng)險(xiǎn)厭惡度越高；反之，σ-μ無差異曲線越平坦，說明投資者的風(fēng)險(xiǎn)厭惡度越低。對于同一投資者，面臨許多σ-μ無差異曲線，在同一σ-μ無差異曲線上，任何一點(diǎn)所代表的資產(chǎn)組合對投資者的滿足程度都是相同的，在不同σ-μ無差異曲線上，點(diǎn)所代表的資產(chǎn)組合對投資者的滿足程度是不同的，σ-μ無差異曲線越靠近坐標(biāo)的左上部分，對投資者的滿足程度越大；反之，越靠近坐標(biāo)右下部分，對投資者的滿足程度越小。

最優(yōu)資產(chǎn)組合μp=f（σp）：

資產(chǎn)組合通過多元化分散化投資來對沖一部分風(fēng)險(xiǎn)。

（二）兩項(xiàng)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合的σ-μ指標(biāo)

在財(cái)務(wù)活動中，投資者很少投資于單一資產(chǎn)，而往往投資兩項(xiàng)或兩項(xiàng)以上資產(chǎn)，構(gòu)成資產(chǎn)組合，減少資產(chǎn)收益的波動性，降低整體風(fēng)險(xiǎn)。計(jì)量資產(chǎn)組合風(fēng)險(xiǎn)時(shí)，同樣離不開期望值和標(biāo)準(zhǔn)差兩個變量。

1．兩項(xiàng)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合的收益期望值

兩項(xiàng)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合的收益期望值是組合中各資產(chǎn)的收益期望值，以其投資比例作為權(quán)數(shù)的加權(quán)算術(shù)平均數(shù)。設(shè)兩項(xiàng)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)分別為A和B，收益期望值分別為E（RA）或μA、E（RB）或μB，投資比例分別為wA和wB，則兩項(xiàng)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合的收益期望值計(jì)算式為：

μp=wA×E（RA）+wB×E（RB）=wA×μA+wB×μB

式中：μp為資產(chǎn)組合的收益期望值。

【例2-6】 設(shè)兩種股票A、B形成組合，投資比例分別占60%和40%，在三種可能情況下的投資收益率見表2-4。計(jì)算兩項(xiàng)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合的收益期望值。

解

μA=E（RA）=0.25×90%+0.50×30% +0.25×（-20%）=32.5%

μB=E（RB）=0.25×30% +0.50×20% +0.25×0=17.5%

μp=E（Rp）=0.6×32.5% +0.4×19.5% =29.5%

2．兩項(xiàng)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合的收益標(biāo)準(zhǔn)差

兩項(xiàng)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合的收益期望值等于組合中各風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)收益期望值的加權(quán)算術(shù)平均數(shù)，但其收益標(biāo)準(zhǔn)差并不一定等于組合中各風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)收益標(biāo)準(zhǔn)差的加權(quán)算術(shù)平均數(shù)。設(shè)兩種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)A和B的收益方差分別為 D（RA）、D（RB），兩者之間的收益協(xié)方差為Cov（RA, RB）或σAB，則風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合的收益標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算式為：

式中：σp為資產(chǎn)組合的收益標(biāo)準(zhǔn)差，D（RA, RB）為收益方差。

可見，兩項(xiàng)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合的收益標(biāo)準(zhǔn)差取決于三個因素：一是兩項(xiàng)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)本身的收益標(biāo)準(zhǔn)差；二是兩項(xiàng)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)投資比例；三是兩項(xiàng)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)之間的收益協(xié)方差。而風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)A、B之間的收益協(xié)方差計(jì)算式為：

【例2-7】 承例2-6，計(jì)算兩項(xiàng)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)A、B組合的收益標(biāo)準(zhǔn)差。

解

此例證實(shí)了兩項(xiàng)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合的收益標(biāo)準(zhǔn)差小于兩項(xiàng)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)收益標(biāo)準(zhǔn)差的加權(quán)算術(shù)平均數(shù)，說明資產(chǎn)組合可以起到風(fēng)險(xiǎn)分散的作用。

wA·σA+wB·σB=0.6×38.97% +0.4×10.91% =27.75% ＞σp=27.59%

此例同樣證實(shí)了兩項(xiàng)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合收益方差小于兩項(xiàng)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)收益方差的加權(quán)算術(shù)平均數(shù)，說明資產(chǎn)組合具有風(fēng)險(xiǎn)分散效應(yīng)。

3．兩項(xiàng)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)之間的收益相關(guān)系數(shù)

引入相關(guān)系數(shù)后，則風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合的收益標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算式為：

式中：相關(guān)系數(shù)ρAB或Corr（RA, RB），取值介于1和-1之間，計(jì)算式為：

【例2-8】 承例2-7，計(jì)算A、B資產(chǎn)之間的收益相關(guān)系數(shù)。

解

（三）兩項(xiàng)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合“σp-μp”投資機(jī)會線

引入相關(guān)系數(shù)后，影響兩項(xiàng)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合收益標(biāo)準(zhǔn)差的三個因素改變?yōu)椋簝身?xiàng)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)本身的收益標(biāo)準(zhǔn)差 σA和σB、兩者的投資比例 wA和wB、兩者之間的收益相關(guān)系數(shù)ρAB（原來是兩者之間的收益協(xié)方差σAB）。下面用一個綜合性例題說明相關(guān)系數(shù)、投資比例對資產(chǎn)組合風(fēng)險(xiǎn)產(chǎn)生的影響以及如何做出投資選擇。

【例2-9】 投資于A、B股票，收益期望值分別為15%和10%，標(biāo)準(zhǔn)差分別為12%和8%，當(dāng)投資比例出現(xiàn)為以下十一種情況：10∶0、9∶1、8∶2、7∶3、6∶4、5∶5、4∶6、3∶7、2∶8、1∶9、0∶10，相關(guān)系數(shù)出現(xiàn)為以下九種情況：1、0.8、0.5、0.2、0、-0.2、-0.5、-0.8、-1，計(jì)算資產(chǎn)組合的收益期望值與標(biāo)準(zhǔn)差。

解

當(dāng)投資比例為6∶4，即wA=0.6時(shí)：

μp=0.6×15% +0.4×10% =13%（收益期望值與相關(guān)系數(shù)無關(guān)）

將wA=0.6的1個期望值和9個標(biāo)準(zhǔn)差數(shù)據(jù)分別填入表2-5的“6∶4”縱欄。

同理，分別計(jì)算其他十種情況wA=1、wA=0.9、wA=0.8、wA=0.7、wA=0.5、wA=0.4、wA=0.3、wA=0.2、wA=0.1、wA=0的1個期望值和9個標(biāo)準(zhǔn)差，對應(yīng)填入表2-5。

1．相關(guān)系數(shù)對σp-μp的影響

從表2-5縱欄（除“10∶0”、“0∶10”外的中間9列）可以看出，從上到下，隨著相關(guān)系數(shù)逐次減小，風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合標(biāo)準(zhǔn)差也隨之減小。具體表現(xiàn)為：當(dāng)ρAB=1，風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合的標(biāo)準(zhǔn)差最大。隨著ρAB逐漸下降，風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合的標(biāo)準(zhǔn)差也隨之下降。當(dāng)ρAB=-1，風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合的標(biāo)準(zhǔn)差最小。

（1）ρAB=1，兩種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)收益之間呈完全正相關(guān)。此時(shí)，兩項(xiàng)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)收益的變動方向和變動幅度完全一致，其期望值和標(biāo)準(zhǔn)差滿足：

在現(xiàn)實(shí)財(cái)務(wù)活動中，完全正相關(guān)較罕見。當(dāng)兩種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)收益之間呈完全正相關(guān)，期望值和標(biāo)準(zhǔn)差同時(shí)隨著wA的增加而增加，由風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合收益的期望值和標(biāo)準(zhǔn)差構(gòu)成的機(jī)會集是一條直線AB，如圖2-3（左）所示。將例2-9中ρAB=1在不同投資比例下各項(xiàng)數(shù)據(jù)連接起來的σp-μp線就是直線AB。可以看出，機(jī)會線AB不存在無效集，機(jī)會集與有效集完全重合，即機(jī)會集全部是非劣集。風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)收益之間完全正相關(guān)，資產(chǎn)組合的收益和風(fēng)險(xiǎn)，比收益和風(fēng)險(xiǎn)較大的A資產(chǎn)要小，比收益和風(fēng)險(xiǎn)較小的B資產(chǎn)要大。

（2）ρAB=-1，兩種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)收益之間呈完全負(fù)相關(guān)。此時(shí)，兩項(xiàng)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)收益的變動方向和變動幅度完全相反，其期望值和標(biāo)準(zhǔn)差滿足：

在均衡市場中，完全負(fù)相關(guān)幾乎不存在。當(dāng)兩種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)收益之間呈完全負(fù)相關(guān)，期望值隨著wA的增加而增加，但標(biāo)準(zhǔn)差一開始隨著wA的增加而逐漸減小，直到C處為0，然后又逐漸增加，由風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合收益的期望值與標(biāo)準(zhǔn)差構(gòu)成的機(jī)會集是一條折線 ACB，折點(diǎn)為 C，如圖2-3（右）所示。將例2-9中ρAB=-1在不同投資比例下的各項(xiàng)數(shù)據(jù)連接起來的σp-μp線就是折線ACB。由于C的組合標(biāo)準(zhǔn)差σp=0，此時(shí)投資比例為wA=σB÷（σA+σB）或者wB=σA÷（σA+σB），為無風(fēng)險(xiǎn)的投資組合。因此，在完全負(fù)相關(guān)情況下，若投資比例滿足wA=σB÷（σA+σB），則具有完全分散風(fēng)險(xiǎn)效應(yīng)。可以看出，機(jī)會集上既存在有效集，也存在無效集。當(dāng)σB÷（σA+σB）≤wA≤1，有效；當(dāng)0≤wA＜σB÷（σA+σB），無效。當(dāng)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)收益之間呈完全負(fù)相關(guān)，組合具有最大的風(fēng)險(xiǎn)分散效果，能夠消除大部分非系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)。

（3）ρAB=0，兩種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)收益之間呈完全不相關(guān)。此時(shí)，兩項(xiàng)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)收益的變動方向和變動幅度完全相互獨(dú)立，其期望值和標(biāo)準(zhǔn)差滿足：

這種情況在現(xiàn)實(shí)生活中也較少見。當(dāng)兩種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)收益之間呈完全不相關(guān)，由風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合收益的期望值與標(biāo)準(zhǔn)差構(gòu)成的機(jī)會集是一條向左彎曲度中等的曲線AB，如圖2-4（A和B）所示。將例2-9中ρAB =0在不同投資比例下的各項(xiàng)數(shù)據(jù)連接起來的σp -μp 線就是曲線AB?？梢钥闯?，機(jī)會集上大多是有效集，也存在少量無效集。當(dāng){L-End} ≤wA≤1，有效；當(dāng){L-End} ，無效。當(dāng)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)收益之間完全不相關(guān)，組合具有一定風(fēng)險(xiǎn)分散效果，能夠消除一定的非系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)。

（4）0＜ρAB＜1，兩種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)收益之間呈不完全正相關(guān)。此時(shí)，兩項(xiàng)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)收益的變動方向相同，但變動幅度和頻率不同，其期望值和標(biāo)準(zhǔn)差滿足：

在現(xiàn)實(shí)財(cái)務(wù)活動中，許多資產(chǎn)收益之間的相關(guān)系數(shù)通常為0.5—0.7。當(dāng)兩種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)收益之間呈不完全正相關(guān)，由風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合的收益期望值與標(biāo)準(zhǔn)差構(gòu)成的機(jī)會集是一條向左彎曲度較?。ㄝ^ρAB =0）的曲線AB，如圖2-4（A）所示。將例2-9中ρAB=0.8、ρAB=0.5、ρAB=0.2在不同投資比例下的各項(xiàng)數(shù)據(jù)連接起來的σp-μp線就是彎曲度較小的曲線AB?？梢钥闯?，相關(guān)系數(shù)越小，彎曲度越大，但要小于ρAB =0情況的彎曲度。值得一提的是，當(dāng)ρAB=0.8時(shí)，彎曲度最小，這時(shí)有效邊界與機(jī)會集重合。當(dāng)ρAB=0.5、ρAB=0.2時(shí)，均能找到無效集。更具體、更普遍來說，當(dāng)ρAB＜σB ÷σA，且{L-End} ≤wA≤1，風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合有效；而當(dāng){L-End} ，風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合無效。當(dāng)σB ÷σA＜ρAB＜1，風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合全部是有效的。

當(dāng)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)收益之間不完全正相關(guān)，組合具有的風(fēng)險(xiǎn)分散效果小于ρAB=0情況，而且可以推斷：ρAB越小，機(jī)會集曲線越彎曲，風(fēng)險(xiǎn)分散效果越大；反之亦然。

（5）-1＜ρAB＜0，兩種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)收益之間呈不完全負(fù)相關(guān)。此時(shí)，兩項(xiàng)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)收益的變動方向相反，但變動幅度和頻率不同，其期望值和標(biāo)準(zhǔn)差滿足：

這種情況在現(xiàn)實(shí)財(cái)務(wù)活動中也較常見。當(dāng)兩種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)收益之間呈不完全負(fù)相關(guān)，由風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合的收益期望值與標(biāo)準(zhǔn)差構(gòu)成的機(jī)會集是一條向左彎曲度較大（較ρAB=0）的曲線，如圖2-4（B）所示。將例2-9中ρAB=-0.2、ρAB=-0.5和ρAB=-0.8在不同投資比例下的各項(xiàng)數(shù)據(jù)連接起來的σp-μp線就是彎曲度較大的曲線AB。可以看出，相關(guān)系數(shù)越大（絕對值越?。?，彎曲度越小，且無論如何要大于ρAB=0情況的彎曲度。無論哪種情況，機(jī)會集上既存在有效集，也存在較多的無效集。

當(dāng)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)收益之間不完全負(fù)相關(guān)，組合具有的風(fēng)險(xiǎn)分散效果要大于ρAB=0情況，而且可以推斷：ρAB越大，機(jī)會集曲線越彎曲，風(fēng)險(xiǎn)分散效果越大；反之亦然。

可見，相關(guān)系數(shù)與資產(chǎn)組合選擇曲線彎曲度的關(guān)系是：相關(guān)系數(shù)越小，彎曲度越大。當(dāng)ρAB=1，彎曲度最小，等于0，為直線；當(dāng)0＜ρAB＜1，彎曲度逐漸加大；當(dāng)ρAB=0，彎曲度趨于中等；當(dāng)-1＜ρAB＜0，彎曲度進(jìn)一步加大；當(dāng)ρAB= -1，彎曲度最大，等于1，為折線。因此，要使資產(chǎn)組合的風(fēng)險(xiǎn)趨于最小化，除實(shí)行多樣化投資外，還要挑選相關(guān)系數(shù)較低的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)。

2．投資比例對σp-μp的影響

從表2-5橫欄（除“1”、“0.8”外的后面7行）可以看出，從左到右，隨著風(fēng)險(xiǎn)較大的A資產(chǎn)投資比例的下降（風(fēng)險(xiǎn)較小的B資產(chǎn)投資比例的上升），風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合的標(biāo)準(zhǔn)差也隨之減小。具體表現(xiàn)為：當(dāng)wA=1（wB=0），不是資產(chǎn)組合，而是風(fēng)險(xiǎn)較大的A資產(chǎn)，“組合”標(biāo)準(zhǔn)差最大，等于σA；隨著風(fēng)險(xiǎn)較大的A資產(chǎn)投資比例的下降，風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合標(biāo)準(zhǔn)差隨之下降。當(dāng)wA=0（wB=1），也不是資產(chǎn)組合，而是風(fēng)險(xiǎn)較小的B資產(chǎn)，“組合”標(biāo)準(zhǔn)差最小，等于σB。

下面僅以ρAB=0為例說明投資比例的影響，將圖2-4放大，并將例2-9中ρAB=0時(shí)的11種資產(chǎn)組合繪制成圖，如圖2-5所示。

從圖2-5可以看出，資產(chǎn)組合機(jī)會集曲線具有以下特征：

（1）揭示了風(fēng)險(xiǎn)分散效應(yīng)。以虛線表示的直線代表ρAB=1的機(jī)會集，以虛線表示的折線代表ρAB=-1的機(jī)會集，以實(shí)線表示的曲線代表ρAB=0的機(jī)會集，在同一μp水平上，直線的σp最大，曲線的σp居中，折線的σp最小，更重要的是，直線的σp雖然比σA小，卻比σB要大，曲線和折線的σp不僅小于σA，而且在許多情況下也小于σB，說明曲線特別是折線的風(fēng)險(xiǎn)分散效果最顯著。

（2）指出了最小風(fēng)險(xiǎn)組合。曲線最左端的L點(diǎn)是最小方差組合，稱為最小風(fēng)險(xiǎn)組合。圖2-5中，最小風(fēng)險(xiǎn)組合是wA=0.3，即30%投資于A資產(chǎn)，70%投資于B資產(chǎn)。離開此點(diǎn)，無論是增加A資產(chǎn)還是B資產(chǎn)的投資，都會引起風(fēng)險(xiǎn)的增加。當(dāng)然，機(jī)會集向左彎曲并不是資產(chǎn)組合中的必然現(xiàn)象，取決于相關(guān)系數(shù)的大小。在例2-9中，ρAB=0.8特別是ρAB=0.9就不會出現(xiàn)這種向左彎曲現(xiàn)象。

（3）表達(dá)了組合有效邊界。所有投資機(jī)會限定在機(jī)會集曲線上，不可能出現(xiàn)在機(jī)會集曲線以外的任意區(qū)域，改變投資比例只會改變資產(chǎn)組合在機(jī)會集曲線上的位置。例2-9中，機(jī)會集曲線上的三個組合（wA=0.2、wA=0.1、wA=0）是無效的，即最小風(fēng)險(xiǎn)組合以下的部分線段是無效集。它們與最小風(fēng)險(xiǎn)組合相比，不僅風(fēng)險(xiǎn)大，而且報(bào)酬低。機(jī)會集曲線上的八個組合（wA=0.3、wA=0.4、wA=0.5、wA=0.6、wA=0.7、wA=0.8、wA=0.9、wA=1）是有效的，即最小風(fēng)險(xiǎn)組合及其以上的部分線段是有效集，從最小風(fēng)險(xiǎn)組合點(diǎn)起，到最大期望收益組合點(diǎn)止。但是，在機(jī)會集上，找不到風(fēng)險(xiǎn)最小且收益最大的組合。

（四）多項(xiàng)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合的“σp-μp”投資機(jī)會面

以上講述的是兩項(xiàng)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合的風(fēng)險(xiǎn)分散原理對多項(xiàng)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合同樣適用。

1．多項(xiàng)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合的計(jì)量指標(biāo)

（1）收益期望值。多項(xiàng)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合的收益期望值是組合中各項(xiàng)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的收益期望值以其投資比例為權(quán)數(shù)的加權(quán)算術(shù)平均數(shù)，其計(jì)算式為：

式中：E（Rp）為多項(xiàng)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合的期望收益率；wj為第j項(xiàng)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)在組合中的投資比例；E（Rj）為第j項(xiàng)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的期望收益率；Rji為第j項(xiàng)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)在第i種情況下的收益率；Pi為第i種情況的概率；m為資產(chǎn)組合中的資產(chǎn)數(shù)；n為所有可能出現(xiàn)的情況。

（2）收益標(biāo)準(zhǔn)差。多項(xiàng)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合的收益期望值等于組合中各項(xiàng)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的收益期望值的加權(quán)算術(shù)平均數(shù)，但多項(xiàng)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合的收益標(biāo)準(zhǔn)差并不一定等于各項(xiàng)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的收益標(biāo)準(zhǔn)差的加權(quán)算術(shù)平均數(shù)，不能簡單使用下式：

式中：σp為多項(xiàng)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合的標(biāo)準(zhǔn)差；σj為第j項(xiàng)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的標(biāo)準(zhǔn)差。

更不能使用此式：{L-End} {L-End}

式中：{L-End} 為多項(xiàng)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合的方差；{L-End} 為第j項(xiàng)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的方差。

嚴(yán)格講，多項(xiàng)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合的標(biāo)準(zhǔn)差可能等于各項(xiàng)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)標(biāo)準(zhǔn)差的加權(quán)平均數(shù)，也可能等于零，但絕大多數(shù)介于這兩者之間。這是因?yàn)?，多種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合的標(biāo)準(zhǔn)差不僅取決于各項(xiàng)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的方差，更重要的是取決于各項(xiàng)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)之間的協(xié)方差。隨著風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)種類的增加，方差的作用越來越小，協(xié)方差的作用越來越大。多項(xiàng)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合的收益標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算式為：

式中：D（Rp）為多項(xiàng)資產(chǎn)組合的方差；σjk為第j項(xiàng)資產(chǎn)與第k項(xiàng)資產(chǎn)之間的協(xié)方差。

由于σjk=ρjk×σj×σk，則：

令矢量W=（W1, W2, …, Wm），矩陣{L-End}

則：

2．多項(xiàng)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合的風(fēng)險(xiǎn)分散效應(yīng)

由m項(xiàng)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)構(gòu)成的組合的方差，包括m個各項(xiàng)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)本身的方差和（m2 -m）個各項(xiàng)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)之間的協(xié)方差。假定各風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)所占的投資比例均為1/m，方差均為{L-End} ，協(xié)方差均為σjk，相關(guān)系數(shù)均為ρjk，則多種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合的標(biāo)準(zhǔn)差簡化為：

決定多種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合的標(biāo)準(zhǔn)差除各項(xiàng)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)自身標(biāo)準(zhǔn)差外，更重要的是各項(xiàng)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)之間的協(xié)方差。當(dāng)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)數(shù)量增加到一定程度，多種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合的標(biāo)準(zhǔn)差僅受各項(xiàng)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)之間的協(xié)方差的影響，各項(xiàng)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)本身的方差就會完全分散掉?？梢姡L(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合不能分散全部風(fēng)險(xiǎn)，只能部分地分散非系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)（有時(shí)能全部分散），對全部系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)無能為力。

3．多項(xiàng)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合“σp-μp”投資機(jī)會面的理性選擇

上述兩項(xiàng)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合的選擇原理對多種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合的選擇同樣適用。不過，多種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合的機(jī)會集不同于兩種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合的機(jī)會集，兩種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)構(gòu)成的所有可能組合位于一條線上，如圖2-5所示；而多種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)構(gòu)成的所有可能組合落在一個面上，如圖2-6所示。

若將市場所有的資產(chǎn)都畫在“σ-μ”面上，如圖2-6所示，其中非劣風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合形成區(qū)域的左上邊界 LH，稱為有效前沿（efficient fron-tier）。在均衡市場中，任何兩種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)之間不可能呈負(fù)相關(guān)，所以，所有風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合不可能出現(xiàn)無風(fēng)險(xiǎn)的情況，L點(diǎn)不會落在μ軸上。

L點(diǎn)位于機(jī)會集的最左端，是最小風(fēng)險(xiǎn)組合；H點(diǎn)位于機(jī)會集的最上端，是最大收益組合。所以，LH線從最小風(fēng)險(xiǎn)組合點(diǎn)起，到最大期望收益組合點(diǎn)止，稱為有效機(jī)會集或有效邊界。與有效邊界的組合相比，有效邊界外的組合，要么收益相同風(fēng)險(xiǎn)較高，要么風(fēng)險(xiǎn)相同收益較低，要么收益較低且風(fēng)險(xiǎn)較高，稱為無效集。投資者應(yīng)當(dāng)在有效邊界上構(gòu)建投資組合，不能在無效集上空耗時(shí)間，需要通過改變資產(chǎn)組合比例，轉(zhuǎn)換到有效集上去，以增加收益而不增加風(fēng)險(xiǎn)，或減少風(fēng)險(xiǎn)而不減少收益，或增加收益且減少風(fēng)險(xiǎn)。因此，有效機(jī)會集曲線反映了不同投資比例組合的風(fēng)險(xiǎn)與收益的權(quán)衡關(guān)系。

與單項(xiàng)資產(chǎn)投資決策一樣，投資者也是以最大效用為目標(biāo)，其最優(yōu)決策是非劣投資組合中的一個。若σ-μ無差異曲線族是陡峭的，則最優(yōu)決策應(yīng)當(dāng)接近H；若σ-μ無差異曲線族是平坦的，最優(yōu)決策應(yīng)當(dāng)接近L。一般來說，任何最優(yōu)決策都在弧線LH上。嚴(yán)格來講，投資者無差異曲線與有效前沿的切點(diǎn)，就是最優(yōu)投資組合。

（五）持有無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)混雜組合的“σp-μp”投資機(jī)會線

以上假定有效資產(chǎn)組合全部由風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)構(gòu)成。事實(shí)上，投資者除持有風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)外，也可以持有無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，即能夠在資本市場上從事無風(fēng)險(xiǎn)借貸，將無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)與原有的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合構(gòu)成一個二次性混雜組合。

1．持有無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的混雜組合形成的資本市場線

假定無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的收益率為Rf，因其沒有風(fēng)險(xiǎn)，在“σ-μ”面上，分布在μ軸上，坐標(biāo)為（0, Rf）。若投資者持有無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的數(shù)量為正，則表示他是資本市場的貸出者；若投資者持有無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的數(shù)量為負(fù)，則表示他是資本市場的借入者。

從無風(fēng)險(xiǎn)利率Rf出發(fā)，經(jīng)過坐標(biāo)（0, Rf）做全部風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)構(gòu)成的投資組合的有效前沿的切線 RfMN，切點(diǎn)是 M，坐標(biāo)為（σM, μM），如圖2-7所示。在市場均衡條件下，M點(diǎn)就像一個高度濃縮的市場，反映了所有風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)構(gòu)成市場的基本特征，所以，人們將M點(diǎn)對應(yīng)的投資組合稱為市場組合，它包含所有市場上存在的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，且各風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)所占的比例與該風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)市值所占的比例相同，也稱風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合。

從圖2-7可以看出，射線RfMN由“兩點(diǎn)兩線段”組成?！皟牲c(diǎn)”為：投資者按照Rf貸出其所有自有資本，即Rf點(diǎn)；投資者將其全部自有資本投資于市場組合M上，即M點(diǎn)。“兩線段”為：投資者按照Rf貸出其部分自有資本，將余下自有資本投資于市場組合M上，構(gòu)成RfM線段，該線段任意一點(diǎn)稱為“貸出組合”；投資者按照Rf借入一定數(shù)量資本連同其全部自有資本投資于市場組合M上，構(gòu)成MN線段，該線段上任意一點(diǎn)稱為“借入組合”。該射線稱為資本市場線（capital market line, CML）。

2．資本市場線的基本特征

（1）在存在無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的情況下，投資者可以在資本市場上借入資本，納入其資本總額，或者將其多余的自有資本貸出。無論貸出還是借入，無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)收益率不變，其標(biāo)準(zhǔn)差等于0。

（2）在存在無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)情況下，風(fēng)險(xiǎn)厭惡者可以將自有資本部分或全部貸出，投資于無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，風(fēng)險(xiǎn)減小了，但同時(shí)收益降低了；風(fēng)險(xiǎn)偏好者可以借入資本，增加對風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的投資，收益提高了，但同時(shí)風(fēng)險(xiǎn)上升了。

由無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和市場組合構(gòu)成的混雜組合的期望值為：

μp=Q×RM+（1-Q）Rf

式中：μp為混雜組合的收益期望值，RM為市場組合M的平均收益，Q為投資于市場組合M（風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)）的比例，1-Q為投資于無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的比例。

若為貸出組合，則Q＜1；若為借入組合，則Q＞1。

由無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和市場組合構(gòu)成的混雜組合的標(biāo)準(zhǔn)差為：

σp=Q×σM

若為貸出組合，Q＜1，則投資者承擔(dān)風(fēng)險(xiǎn)小于市場平均風(fēng)險(xiǎn)；若為借入組合，Q＞1，則投資者承擔(dān)風(fēng)險(xiǎn)大于市場平均風(fēng)險(xiǎn)。

【例2-10】 某人考慮同時(shí)投資于股票（風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)）和國庫券（無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)），股票期望收益率為15%，標(biāo)準(zhǔn)差為20%；國庫券收益為8%，標(biāo)準(zhǔn)差為0。假定投資者可以按照無風(fēng)險(xiǎn)利率自由貸出或借入資本。

若投資者將自有資本的60%投資于股票，40%投資于國庫券，即Q=0.6，則總體期望值和標(biāo)準(zhǔn)差分別為：

μp=Q×RM+（1-Q）Rf=0.6×15% +（1-0.6）× 8% =12.2%

σp=Q×σM=0.6×20% =12%

若投資者借入資本，借入金額占自有資本的30%，連同自有資本全部投資于股票，即Q=1.3，則總體期望值和標(biāo)準(zhǔn)差分別為：

μp=Q×RM+（1-Q）Rf=1.3×15% +（1-1.3）× 8% =17.1%

σp=Q×σM=1.3×20% =26%

（3）切點(diǎn)M是市場均衡點(diǎn)，代表唯一最有效的資產(chǎn)組合，即市場組合或風(fēng)險(xiǎn)組合。在M點(diǎn)左側(cè)，投資者可以同時(shí)持有無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和市場組合；而在M點(diǎn)右側(cè)，投資者僅能持有市場組合，并能借入一定資本進(jìn)一步投資于市場組合。雖然理智的投資者可能會選擇有效邊界LMH上的任何組合，但若是風(fēng)險(xiǎn)厭惡者，不需要借入資本，還可以貸出資本，同時(shí)持有無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和市場組合，從而會選擇RfM線上的組合；但若是風(fēng)險(xiǎn)偏好者，需要借入資本，準(zhǔn)備全部持有市場組合（風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)），從而會選擇MN線上的組合。與LM上的組合相比，RfM上的組合，收益相同但風(fēng)險(xiǎn)較??；或風(fēng)險(xiǎn)相同但收益較高；或收益較高且風(fēng)險(xiǎn)較小。與MH上的組合相比，MN上的組合，收益相同但風(fēng)險(xiǎn)較??；或風(fēng)險(xiǎn)相同但收益較高；或收益較高且風(fēng)險(xiǎn)較小。

（4）資本市場線描述的是投資者持有不同比例的無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)與市場組合下的收益與風(fēng)險(xiǎn)的權(quán)衡關(guān)系，其截距表示無風(fēng)險(xiǎn)利率，可視為時(shí)間價(jià)值（等待的回報(bào)）；其斜率代表風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)（額外的回報(bào)），即風(fēng)險(xiǎn)的市場價(jià)格。因此，射線的斜率可以表示為：

投資者的期望收益率等于無風(fēng)險(xiǎn)利率加上風(fēng)險(xiǎn)報(bào)酬率，而風(fēng)險(xiǎn)報(bào)酬率是風(fēng)險(xiǎn)與風(fēng)險(xiǎn)價(jià)格乘積，風(fēng)險(xiǎn)用標(biāo)準(zhǔn)差表示，風(fēng)險(xiǎn)價(jià)格用射線斜率表示，則：

這是資本市場線的函數(shù)表達(dá)式，表明了σp-μp存在線性關(guān)系。

【例2-11】 假定無風(fēng)險(xiǎn)利率為7%，混合資產(chǎn)組合標(biāo)準(zhǔn)差為0.4，市場組合的預(yù)期收益率和標(biāo)準(zhǔn)差分別為15%和0.2，則該混合資產(chǎn)組合的必要收益率為多少？

解

從圖2-7可以看出，CML實(shí)質(zhì)是允許借貸條件下的有效資產(chǎn)組合線，規(guī)定了由無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和市場組合構(gòu)成的混雜組合的有效邊界，反映了有效資產(chǎn)組合的風(fēng)險(xiǎn)與收益的權(quán)衡關(guān)系。

（5）投資者的風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度僅影響借貸及其資本數(shù)量，不會影響最佳市場組合。原因是具有不同風(fēng)險(xiǎn)偏好的投資者，在存在無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的情況下，能夠以無風(fēng)險(xiǎn)利率自由地借貸，都會不約而同地選擇風(fēng)險(xiǎn)組合。

（六）σ-μ理論的評價(jià)

有效邊界上最靠上的無差異曲線上的資產(chǎn)組合是投資者認(rèn)為的所有資產(chǎn)組合中的最滿意組合，即無差異曲線族與有效邊界相切的點(diǎn)對應(yīng)的組合。

在投資者僅關(guān)心期望值和標(biāo)準(zhǔn)差的前提下，馬柯維茨理論是科學(xué)、準(zhǔn)確的。不足之處是計(jì)算量太大，尤其是在規(guī)模龐大的市場中。

1．巨大貢獻(xiàn)

馬柯維茨理論對現(xiàn)代投資理論的貢獻(xiàn)有：

（1）傳統(tǒng)上，將預(yù)期收益最大化作為投資目標(biāo)，不符合多樣化投資的目標(biāo)，投資分散化與均值—離差目標(biāo)函數(shù)一致；

（2）均值—離差目標(biāo)函數(shù)的提出，解決了理論上以期望收益最大化作為投資目標(biāo)與實(shí)際上的投資多元化目標(biāo)相矛盾的問題；

（3）均值—離差目標(biāo)函數(shù)與具有二次效用函數(shù)的投資者追求預(yù)期效用最大化的目標(biāo)一致；

（4）單一證券的風(fēng)險(xiǎn)取決于它與其他證券的相關(guān)性，這是對投資組合理論的重大貢獻(xiàn)；

（5）理性的投資者在有效集上選擇投資組合，在給定風(fēng)險(xiǎn)水平上選擇收益率期望值最大化集；或者在給定收益水平上選擇收益率標(biāo)準(zhǔn)差最大化集。

2．應(yīng)用局限性

（1）計(jì)算工作量太大。

（2）排除了消費(fèi)對投資的影響，假定期初投資額是一個固定值。它雖然對單期投資的影響不大，但不適用于多期動態(tài)投資。

（3）以標(biāo)準(zhǔn)差（方差）作為風(fēng)險(xiǎn)度量，僅適用于對稱分布的資產(chǎn)收益，有失一般性。

（4）均值—離差不能確定具體投資者的最優(yōu)組合，需要考慮投資者的風(fēng)險(xiǎn)偏好。