1.5　數(shù)理統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)

1.5.1　有關(guān)名詞解釋

（1）總體和個(gè)體

①總體　又稱母體，是指研究對(duì)象的全體或某項(xiàng)測(cè)定對(duì)象的全體。如測(cè)定某樣品的全體測(cè)定值，就是一個(gè)總體。

②個(gè)體　全體中的一個(gè)單位，稱個(gè)體。測(cè)定某樣品的全體測(cè)定中的每個(gè)測(cè)定，就是一個(gè)個(gè)體。

（2）樣本和樣本容量

①樣本　總體的一部分稱為樣本。是指從總體中隨機(jī)抽取出有限個(gè)個(gè)體的集合。

②樣本容量　是樣本所含個(gè)體的數(shù)目。

（3）統(tǒng)計(jì)量

樣本的函數(shù)稱為統(tǒng)計(jì)量。如常用的樣本、方差S 2、標(biāo)準(zhǔn)偏差、相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)偏差、極差等。

1.5.2　正態(tài)分布

在分析測(cè)試中，測(cè)量值和測(cè)定誤差都是隨機(jī)變量，它遵從一定的概率分布。若有n個(gè)測(cè)定值x1，x2，…，xn，當(dāng)n足夠大時(shí)，這幾個(gè)測(cè)定值通常表現(xiàn)為正態(tài)分布，其分布曲線可以用正態(tài)概率密度函數(shù)來(lái)表示。

（1-16）

或表示為：

（1-17）

式中，x為該分布中隨機(jī)抽取的樣本值；μ為正態(tài)分布的總體均值，即期望值；σ為正態(tài)分布的總體標(biāo)準(zhǔn)偏差。

測(cè)量中隨機(jī)誤差的分布與測(cè)量值的分布一樣，也遵從正態(tài)分布函數(shù)。

正態(tài)分布可以用兩個(gè)參數(shù)來(lái)描述，就是算術(shù)平均值和標(biāo)準(zhǔn)偏差σ，平均值定出了分布的中心，標(biāo)準(zhǔn)偏差表示了數(shù)據(jù)的分布情況，所以若知道了某一正態(tài)分布的均值和標(biāo)準(zhǔn)偏差σ，這一正態(tài)分布就可以完全確定。正態(tài)分布曲線見(jiàn)圖1-1。

經(jīng)計(jì)算得到：在正態(tài)分布中，樣本分布，68.26%在±1σ的范圍內(nèi)，95.44%在±2σ的范圍內(nèi)，99.73%在±3σ的范圍內(nèi)。

1.5.3　t分布

在分析測(cè)試中，通常測(cè)量次數(shù)n比較少，可能只有3～5次，屬于小樣本的測(cè)試，t分布就是小樣本測(cè)試數(shù)值和隨機(jī)誤差的分布規(guī)律。它是與正態(tài)分布相似的一種統(tǒng)計(jì)分布。t是一個(gè)統(tǒng)計(jì)量，定義為：

（1-18）

（1-19）

式中，為一樣本平均值；μ為一樣本真值；是一樣本均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差；Sx是單次測(cè)量值的標(biāo)準(zhǔn)偏差。

t分布的概率密度函數(shù)f（t）曲線見(jiàn)圖1-2。t分布可以用t和f（自由度）來(lái)描述，t分布臨界值見(jiàn)表1-27。

t分布曲線形狀與正態(tài)分布相似，隨著f增大，t分布曲線接近正態(tài)分布曲線，與f ∞時(shí)，二者是嚴(yán)格一致的。所以小樣本的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)處理可以按正態(tài)分布一樣的進(jìn)行。由式（1-18）可以得到式（1-20），它表示了總體平均值的置信區(qū)間：

（1-20）

t值取決于約定顯著水平α（置信度為1-α）和樣本的容量n。tα·f臨界值可由表1-27查得。

1.5.4　F分布

兩個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)樣本分別來(lái)自兩個(gè)獨(dú)立的總體，如第一個(gè)樣本（x1，x2，…，xn）為總體N（μ1，）的一個(gè)隨機(jī)樣本，而第二個(gè)樣本（x1，x2，…，xn）為總體N（μ2，）的一個(gè)隨機(jī)樣本。它們的方差分別和，則統(tǒng)計(jì)量F為

　?。?-21）

f（F）分析概率密度數(shù)曲線是不對(duì)稱的，它取決于F值和在計(jì)算兩個(gè)樣本方差和時(shí)的自由度f1和f2。

利用F分布可以檢驗(yàn)兩個(gè)或兩個(gè)以上均數(shù)差別的顯著性方法。F檢驗(yàn)即是方差檢驗(yàn)，兩個(gè)均數(shù)間差異可以用t檢驗(yàn)，也可以用F檢驗(yàn)，但檢驗(yàn)兩個(gè)以上均數(shù)差別是否具有顯著性時(shí)只能用F檢驗(yàn)。利用F分布表查出相應(yīng)的概率，用F0.05（f1，f2）和F0.01（f1，f2）值為顯著性界限。F分布見(jiàn)表1-28。