2.1　柱的力學(xué)計算

通過學(xué)習(xí)本節(jié)籃球架支撐柱的力學(xué)計算，你將能夠：

1）掌握混凝土和鋼筋材料的性能；

2）了解柱的邊界條件；

3）清楚柱常見的受荷情況；

4）學(xué)會手工計算和軟件計算柱的內(nèi)力和位移。

2.1.1　矩形柱的尺寸和材料

如圖2-2所示，矩形柱是一個長方體，截面尺寸b×h，高H。

如圖2-3所示鋼筋混凝土柱包含兩種材料：混凝土和鋼筋。

混凝土強度等級分為C15～C80，對應(yīng)的彈性模量、抗壓強度和抗拉強度如表2-1，抗拉強度比較小，所以設(shè)計時主要用混凝土的抗壓強度。

常用鋼筋強度級別為：Ⅰ級鋼、Ⅱ級鋼、Ⅲ級鋼和Ⅳ級鋼，Ⅰ級鋼為HPB300，Ⅱ級鋼為HRB335，Ⅲ級鋼為HRB400，Ⅳ級鋼為HRB500，對應(yīng)的彈性模量、抗拉強度和抗壓強度見表2-2。

2.1.2　柱的邊界條件

柱的邊界條件指柱上下端的約束。每一端節(jié)點變形包括3個平移和3個轉(zhuǎn)動，共6個位移，也叫6個自由度；如圖2-4下端嵌固，不允許X、Y、Z向平移和轉(zhuǎn)動，上端自由，沒有約束。

2.1.3　柱頂?shù)暮奢d

如圖2-5所示，柱頂?shù)某Ｒ姾奢d有3個：豎向荷載、扭矩和水平荷載。

2.1.4　柱的位移和內(nèi)力計算

6個柱頂位移為：3個平移ux、uy和uz，3個轉(zhuǎn)動θx、θy和θz。

6個柱底內(nèi)力為：軸力N，彎矩Mx和My，剪力Vx和Vy，扭矩T。

2.1.4.1　柱受壓的內(nèi)力和位移

幾何：支撐柱截面尺寸b×h=400mm×500mm，柱高H=3000mm；

荷載：柱頂豎向荷載為籃球架重量Fz=20kN，容重25kN/m3；

材料：混凝土等級C30，縱筋和箍筋強度360N/mm2。

按材料力學(xué)公式[式（2-1）和式（2-2）]計算柱底軸力N和柱頂位移uz。

N=Fz+G　　（2-1）

式中　Fz——重力方向集中力；

G——柱自重；

E——柱彈性模量；

A——柱截面面積；

H——柱高。

（1）手工計算過程

柱底軸力：　　N=20+25×0.4×0.5×3=35（kN）

（2）利用結(jié)構(gòu)計算軟件驗證計算

學(xué)會軟件計算，可以快速計算結(jié)構(gòu)內(nèi)力和變形，大大提高將來工作中的計算能力。

軟件計算4步驟如圖2-6所示。

①起個工程名：指定存儲的目錄和工程名字；

②建立計算模型：輸入幾何、荷載和材料；

③軟件計算：樓板計算和墻柱梁空間計算；

④查看內(nèi)力和位移。

啟動廣廈結(jié)構(gòu)CAD軟件，出現(xiàn)圖2-7所示廣廈結(jié)構(gòu)CAD主控菜單，點擊[新建工程]，在彈出對話框中選擇要存放工程的文件夾，若沒有C：\GSCAD\EXAM\高校，可新建一個文件夾，并輸入新的工程名：C：\GSCAD\EXAM\高校\柱.prj。

點擊[圖形錄入]，進(jìn)入錄入系統(tǒng)，圖2-8中指明了圖形錄入各功能區(qū)的意義。

建立計算模型5個步驟：

①填寫總信息和各層信息；

②輸入軸線和軸網(wǎng)；

③布置墻柱梁板；

④布置墻柱梁板荷載；

⑤編輯其他標(biāo)準(zhǔn)層。

在圖2-9的圖形錄入中點擊菜單[結(jié)構(gòu)信息]-[GSSAP總體信息]，在彈出的GSSAP總體信息對話框中共有7頁。如圖2-10所示，對話框為總信息頁，填寫參數(shù)如下：

[結(jié)構(gòu)計算總層數(shù)]填1；其余參數(shù)按默認(rèn)值考慮。

切換到材料信息，如圖2-11，填寫[砼構(gòu)件的容重]為25，所有鋼筋強度為360N/mm2，其余參數(shù)不需修改。

點擊[確定]按鈕保存GSSAP總體信息的修改。

點擊菜單[結(jié)構(gòu)信息]-[各層信息]，按圖2-12所示輸入層幾何信息。其中層高為3m。

然后切換到層材料信息（圖2-13），如下輸入[剪力墻砼等級] 為C30。

點擊屏幕菜單[軸網(wǎng)、輔助線和軸線]-[正交軸網(wǎng)]，在如圖2-14對話框中輸入上開間和左進(jìn)深都是4000mm，點擊[確定]關(guān)閉對話框。

然后在繪圖區(qū)點擊選擇一個定位點，輸入一個軸網(wǎng)。輸入效果如圖2-15所示：

點擊屏幕菜單[柱1]-[軸點建柱]，再點擊參數(shù)窗口（見圖2-8），彈出如圖2-16所示柱截面對話框。在對話框中輸入截面寬B=400mm，高H=500mm，角度0°，點擊[確定]關(guān)閉對話框。

然后在繪圖區(qū)選擇一個軸網(wǎng)交點，布置一根柱（圖2-17）。

點擊屏幕菜單[剪力墻柱荷載菜單]-[加柱荷載]，然后點擊參數(shù)窗口，彈出如圖2-18所示對話框。在對話框中選擇荷載類型為集中力；選擇荷載方向為重力方向；輸入集中力Q=20kN，距離柱底L=3000mm；選擇工況為重力恒載。計算程序會自動計算柱的自重，不需要另外輸入。

點擊[確認(rèn)]按鈕關(guān)閉對話框。如圖2-19，在繪圖區(qū)選擇剛才輸入的柱，布置荷載柱頂集中力20kN。

點擊圖2-20所示工具欄1中的[保存]按鈕，保存模型。點擊工具欄2中的[生成GSSAP數(shù)據(jù)]按鈕，生成計算數(shù)據(jù)。然后關(guān)閉圖形錄入。

在圖2-21的主控菜單點擊[樓板、磚混和次梁計算]，本例中雖然沒有樓板、磚混或次梁，但根據(jù)軟件設(shè)定仍需點擊進(jìn)入一次。進(jìn)入以后直接退出。

在主控菜單點擊[通用計算GSSAP]，計算完畢后點擊[退出]按鈕關(guān)閉計算程序。

在主控菜單點擊[圖形方式]，可在圖形上查看計算結(jié)果。如圖2-22所示。

如圖2-22所示，點擊左側(cè)工具欄[柱墻內(nèi)力]，在彈出的對話框中選擇[單工況內(nèi)力]-[恒載]，如圖2-23所示，可查得軟件算得的柱底內(nèi)力值N=-35kN，負(fù)號表示受壓，與手工計算結(jié)果一致。

如圖2-22所示，點擊左側(cè)工具欄[三維位移]，在彈出的對話框中選擇工況為恒載，選擇顯示方式為靜態(tài)，鼠標(biāo)移動到繪圖區(qū)中顯示的柱頂，則軟件會如圖2-24，顯示柱頂位移。其中，Z向位移為-0.014mm，負(fù)號表示柱頂向下移動，表明柱受壓縮的，與手工計算結(jié)果一致。

2.1.4.2　柱受扭的內(nèi)力和位移

上節(jié)的例子中，偏心水平撞擊籃球筐時柱頂承受扭矩M=5kN·m，按材料力學(xué)公式[式（2-3）～式（2-7）]計算柱底扭矩T和柱頂繞軸轉(zhuǎn)角θz。

T=Mz　　（2-3）

β=b/h　　（2-7）

式中　Mz——繞柱轉(zhuǎn)動的扭矩；

H——柱高；

G——柱剪切模量；

E——柱彈性模量；

μ——柱泊松比，對于混凝土材料為0.2；

Iz——柱扭轉(zhuǎn)慣性矩；

b——柱截面寬；

h——柱截面高；

β——柱截面短邊與長邊之比。

1）手工計算過程如下：

柱底扭矩：T=5kN·m

2）利用結(jié)構(gòu)計算軟件驗證計算結(jié)果如下：

接2.1.4.1的例子，在圖形錄入中，點擊屏幕菜單[剪力墻柱荷載菜單]-[加柱荷載]，然后點擊參數(shù)窗口，在彈出的對話框中選擇荷載類型為集中彎矩；選擇荷載方向為重力方向；集中彎矩M=-5kN，距離柱底L=3000mm；選擇工況為重力恒載，如圖2-25所示。

彎矩的輸入方向可以這樣判斷：采用右手法則，四肢繞彎矩的旋轉(zhuǎn)方向，大拇指方向即彎矩的方向。所輸入的集中彎矩方向與重力方向相反，故輸入負(fù)值。

點擊[確認(rèn)]按鈕關(guān)閉對話框。在繪圖區(qū)選擇柱，將荷載輸入到柱上，如圖2-26所示。

如圖2-27點擊工具欄1中的[保存]按鈕，保存模型。點擊工具欄2中的[生成GSSAP數(shù)據(jù)]按鈕，生成計算數(shù)據(jù)。然后關(guān)閉圖形錄入。

在主控菜單點擊[樓板、磚混和次梁計算]，進(jìn)入以后直接退出。

在主控菜單點擊[通用計算GSSAP]，計算完畢后點擊[退出]按鈕關(guān)閉計算程序。

在主控菜單點擊[圖形方式]，進(jìn)入圖形方式。點擊左側(cè)工具欄[柱墻內(nèi)力]，在彈出的對話框中選擇[單工況內(nèi)力]-[恒載]，可查得軟件算得的柱底內(nèi)力值。此時點擊柱，軟件會彈出柱的所有工況所有截面斷面的內(nèi)力。可以看到柱底下表面以上部分的扭矩都是5kN·m（圖2-28），與手工計算結(jié)果一致。

點擊左側(cè)工具欄[三維位移]，在彈出的對話框中選擇工況為恒載，選擇顯示方式為靜態(tài)，鼠標(biāo)移動到繪圖區(qū)中顯示的柱頂，則軟件會顯示柱頂位移如圖2-29所示。其中，繞Z軸旋轉(zhuǎn)為0.00022弧度，與手工計算結(jié)果一致。

2.1.4.3　柱受水平力的內(nèi)力和位移

接力2.1.4.2例子，籃球筐承受水平力撞擊時柱頂水平力Fy=10kN，按材料力學(xué)公式[式（2-8）～式（2-11）]計算柱底剪力Vy、彎矩Mx和柱頂位移uy、繞X軸轉(zhuǎn)角θx。

Vy=Fy　　（2-8）

Mx=FyH　　（2-9）

式中　Fy——柱頂Y向水平集中力；

H——柱高；

E——柱彈性模量；

Ix——柱繞X軸轉(zhuǎn)動慣性矩；

b——柱截面寬；

h——柱截面高。

（1）手工計算過程

柱底剪力：Vy=10kN

柱底彎矩：Mx=10×3=30（kN·m）

柱頂轉(zhuǎn)角：E=3×104（N/mm2）=3×107（kN/m2）

（2）利用結(jié)構(gòu)計算軟件驗證計算結(jié)果

接力2.1.4.2的例子，在圖形錄入中，點擊屏幕菜單[剪力墻柱荷載菜單]-[加柱荷載]，然后點擊參數(shù)窗口，在彈出的對話框中選擇荷載類型為集中力；選擇荷載方向為總體Y方向；集中力Q=10kN，距離柱底L=3000mm；選擇工況為重力恒載，如圖2-30所示。

點擊[確認(rèn)]按鈕關(guān)閉對話框。在繪圖區(qū)選擇柱，將荷載輸入到柱上，如圖2-31所示。

如圖2-32點擊工具欄1中的[保存]按鈕，保存模型。點擊工具欄2中的[生成GSSAP數(shù)據(jù)]按鈕，生成計算數(shù)據(jù)。然后關(guān)閉圖形錄入。

在主控菜單點擊[樓板、磚混和次梁計算]，進(jìn)入以后直接退出。

在主控菜單點擊[通用計算GSSAP]，計算完畢后點擊[退出]按鈕關(guān)閉計算程序。

在主控菜單點擊[圖形方式]，進(jìn)入圖形方式。點擊左側(cè)工具欄[柱墻內(nèi)力]，在彈出的對話框中選擇[單工況內(nèi)力]-[恒載]，可查得軟件算得的柱底內(nèi)力值，其中Vy為-10kN，負(fù)號表示與Y方向相反；Mx為30kN·m，與手工計算結(jié)果一致（圖2-33）。

點擊左側(cè)工具欄[三維位移]，在彈出的對話框中選擇工況為恒載，選擇顯示方式為靜態(tài)，鼠標(biāo)移動到繪圖區(qū)中顯示的柱頂，則軟件會顯示柱頂位移如圖2-34所示。其中，繞X軸旋轉(zhuǎn)θx為-0.00036弧度，與手工計算結(jié)果一致；Y向位移為0.734mm，比手工計算結(jié)果0.72mm大一點。這是因為式（2-10）忽略了截面剪切變形不均勻的影響，計算軟件考慮了影響。