純數學——科學的基礎

在劍橋聚會的邏輯實證主義者清楚，純數學是通往圣杯的道路，而不是獎賞本身。數學雖然在架構理論上具有無可比擬的潛力，但卻是邏輯上的同義反復。也就是說，數學上的結論完全是由它自定的前提推導出來的，而這些前提和真實世界不一定有關系。數學家首先發明引理（lemma）和定理（theorem），并且加以證明，再由此推導出其他引理和定理，如此相循而生，永無止境。其中有些定理和物質世界相吻合，有些則不然。最偉大的科學家，是那些具備令人眼花繚亂技巧的知識運動員，他們有時會發現一些觀念，而開啟抽象思維的新領域。結果證明，復數、線性變換（linear transformation）以及調和函數（harmonic function）是數學上最有趣也是科學上最有用的方法。

純數學是描述所有可想象世界的科學，它是一個在邏輯上封閉的系統，但是在初始前提允許的條件下，可以朝各個方向無限延伸。我們如果有無窮的時間和計算潛力，就可以用數學來描述任何想象得到的宇宙。但是我們無法只依賴數學來獲得關于我們所生存的這個特殊世界的信息。只有通過觀測，我們才能得知周期表、哈勃常數（Hubble constant），以及關于人類存在的其他所有的明確事物。這些事物在其他宇宙中也許不同或不存在，因為物理學、化學和生物學都會受限于我們這個宇宙的參數——這個宇宙也就是我們由銀河系向外觀測到的宇宙；這些參數構成了科學，描繪我們可觸及的所有現象。

因為數學在自然科學中具有極大的績效，它似乎像一支箭，指向客觀真理這個終極目標。讓邏輯實證主義者印象尤其深刻的，是量子力學和相對論中抽象數學理論與觀測結果之間密切相關，這兩項20世紀中最偉大的成就，重新鼓舞了我們對人腦天生潛能的信心。想想看，人類，靈長目的一支，才剛走出石器時代的村落，就能正確預測出幾乎無法想象且在日常經驗之外的現象。理論家因而推論，我們必定離客觀真理的一般公式不遠了。

但是邏輯實證主義者摸不著這個圣杯，而且跌倒并暫停前進。邏輯實證主義分析法雖然仍得到少數人的偏好，但普遍而言已經歸入哲學研究的范圍，就像古生物實驗室的恐龍化石一樣，人們之所以研究它，是為了尋找其滅絕原因。邏輯實證主義最后的舞臺，是卡納普極少為人所閱讀的著作《明尼蘇達科學哲學研究》（Minnesota Studies in the Philosophy of Science）。它的致命傷在于整個系統的關鍵性語義：創始者和跟隨者無法同意彼此對語義的基本區分，包括事實和觀念、經驗歸納與數學真理，以及理論和推測的區隔。在這些煙霧籠罩下的二分法之外，他們對科學和非科學陳述的差別，看法也不一致。