1.2 準晶的結構分類與描述簡介

如上述所說，準晶與周期晶體不同。根據其特有的對稱性，它們屬于一類非周期晶體。準晶這種獨特特點起源于它們特殊的原子構造。這種結構的特點可以由衍射模式來解釋。只不過準晶的這種衍射模式和晶體不同。與其他非周期晶體類似，準周期性產生新的自由度，可以有下面的解釋。在固態物理和晶體學中，Miller指數（h, k, l）被用來描述晶體的結構。這些指數能解釋所有晶體的衍射譜。晶體最大的特點是具有周期結構，組成晶體的粒子在空間規則排列。此重復的單元稱為晶胞。兩個晶胞對應點的物理性質完全相同，這種性質稱為平移對稱性，當圍繞晶胞的任何一個點的一個軸旋轉，轉角為或這些角的整數倍時，總可以復原，這一性質稱為晶體的取向對稱性。注意在上述中n代表對稱軸旋轉次數，n=1,2,3,4,6，在晶體中未發現n=5和n＞6的情形，這是因為取向對稱性受到平移對稱性的制約，若n=5和n＞6，則破壞了平移對稱性，因而不能構成晶體。

在晶體中，基矢量的數目N等于其維數d，即N=d。然而由于準晶的準周期性，Miller指數不能使用，相應地需要采用六個指數（n1, n2, n3, n4, n5, n6）。這樣，就需要引入高維（包含四維、五維、六維）空間來刻劃準晶的對稱性。物理上三維空間中的準晶可以看作數學上的高維空間中的晶格的投影。四維、五維和六維空間中的周期晶格向物理空間的投影分別產生一維、二維和三維準晶。六維空間采用記號E6表示，它包含兩個子空間：一個為物理空間，稱為平行空間，記號為E3‖；另一個稱為矢量空間，稱為垂直空間，記號為E3⊥；因此，有

其中，⊕為數學上的直和。

對于一維、二維和三維準晶，物理空間上的維數為d=3，基矢量的數目N=4,5,6，因此N＞d，這和晶體是不一樣的。

描述準晶的對稱性最合適的方法為群論表示法[20]。

一維準晶有31個點群，包括6個晶系和10個Laue類，其中所有的點群為合晶點群，見表1.1。

二維準晶有57個點群，其中包括31個合晶點群，而其他26個為非合晶點群，見表1.2。

三維準晶有60個點群，包括：32個晶體學點群和28個非合晶點群，即二十面體點群（235，m）和26個具有5重、8重、10重和12重對稱性（5,,52,, 5m和N, ,N/m, N 22, N mm, , N/mmm, N=8,10,12）的點群，這26個點群已經由表1.2列出。

準晶的特殊結構導致了它們具有一些新物理性質。準晶的力學性能，特別是其彈性性質，引起了各地學者的極大興趣。其熱力學性質也受到人們的廣泛重視，其熱傳導性能比傳統金屬要差。在準晶的這些特殊性質中，首先是其彈性，第二是電性。其Hall效應也激起人們的研究興趣。近年來，準晶——光子晶體的研究變成一個熱點，有進一步深入研究的趨勢。自從準晶被發現以來，其電學結構及其相關課題也是研究熱點。由于不具有周期性，固體物理中的Bloch定理和Brillouin區概念就不能應用到準晶的研究中來。但是采用一些簡單的模型和數值模擬，人們能獲得準晶的電能譜。對于一些準晶材料，如Al-Cu-Li、Al-Fe等，當能量超出費米能時，會有贗隙出現。

按照在三維空間中原子排列的不同方式或者根據物理空間中材料呈現準周期性的維數，準晶可以分為一維準晶、二維準晶和三維準晶三大類。所謂一維準晶，指的是原子在二維上是周期分布的，在另外一維上才是準周期分布的。二維準晶是指在三維空間的一個方向原子排列是周期的，而在垂直這個方向的平面內是準周期排列的，發現的二維準晶有十次準晶、十二次準晶、八次準晶和五次準晶等四類。三維準晶是指在三維空間中的任何一個方向，原子排列都是準周期的。如二十面體準晶就是三維準晶，它又可分為簡單二十面體準晶和面心二十面體準晶。在目前發現的準晶中，約有200多種，其中100余種為二十面體準晶，70余種為十次對稱準晶。因此這兩大類準晶在整個準晶系中占有重要地位。另外值得注意的是，二維準晶和平面準晶是兩種不同的準晶。二維準晶就如前面所述，是一種具有二維準周期平面的三維結構，另一個方向是周期性的。而平面準晶是一種二維結構，平面內原子排列是準周期的，沒有第三維方向。

為了更好地描述準晶的結構特征，目前已有很多種方法，如Penrose拼砌法、網格法、覆蓋描述法、對偶網格法、自相似交換法和高維投影法等十多種方法構造準周期點陣，其中Penrose拼砌法和高維投影法被廣泛應用。

20世紀70年代，英國數學物理學家Penrose嘗試用非周期的方法來鋪砌平面，他用兩種菱形（內角分別為36°和144°、72°和108°）按一定的比例鑲配在一起，在無窮的鋪砌中，兩種菱形數目之比等于黃金分割值。Penrose拼圖具有一般晶體點陣的長程取向排列，但無周期平移序，而具有準周期平移序，出現晶體中禁止的五次對稱軸。圖1.3所示的平面拼砌就具有五重取向序。可以看出，拼砌具有局域同構性。接著Levine和Steinhardt提出了一種3維的Penrose結構，這種結構已證明與準晶體有密切的關系。隨著具有8、10、12次對稱軸的準晶物質的發現，人們開始設計出具有8、10、12次對稱軸的Penrose拼圖，并用這些拼圖解釋不同的準晶結構。下面選取幾種不同對稱性的準晶，介紹其對應的Penrose拼圖。

（1）用八次對稱性Penrose拼圖有關的菱形（內角分別為45°和135°與正方形）拼出了具有2次和4次對稱性的Penrose拼圖。

（2）用十次對稱性Penrose拼圖有關的菱形（內角分別為36°和144°、72°和108°）拼出了具有2次和5次對稱性的Penrose拼圖。

（3）用十二次對稱性Penrose拼圖有關的菱形（內角分別為30°和150°、60°和120°以及正方形）拼出了具有2次、3次、4次、6次對稱性的Penrose拼圖。

（4）對于三維二十面體準晶，其結構模型和Penrose拼圖與二維準晶結構模型和Penrose拼圖明顯不同。英國的A.L.Mackay將二維Penrose圖形推廣到三維空間，構造了具有二十面體對稱的三維Penrose拼砌，兩個基本拼砌單元的角度α分別為arctan2（=63.43°）、180°-arctan2（=116.57°）的扁的、厚的兩種菱面體（通常為Ammann菱面體），這些菱面體的頂點構成了三維二十面體準點陣（圖1.4）。