第二章 要命的數理化

第一節 抽象的數學

數的來歷

也許有的人會想，如果沒有數該多好，那樣我們就不用和數學打交道了。當初是誰這么無聊，發明了數這種東西呢？

其實，數是很討人喜歡的，也是非常重要的，我們一天也離不開它。數是十分偉大的發明，也是人類祖先的一大創造。

在原始社會，數的概念就產生了。為了生存，人類要進行各種活動，比如說狩獵、捕魚、種樹等，在與這些獵物、果實和魚等實物接觸的過程中，人們就有了多和少的概念。也就是說，最早的數是和實物結合在一起的。人們開始懂得一個野果和一只野兔都是一個單位，兩只山羊和兩條魚都是兩個單位等，這就是人們最早對數的認識，數的概念也就是從這時起開始形成的。

在人們的腦海中已經形成數的概念以后，就開始尋求計數的方法。在最早的時候，就是借助手指、腳趾以及小石子這些工具來計數的。想一想小的時候，你們的父母是不是也教你們用手指計數呢？當父母說“一”的時候，你們就伸出一個手指；數“二”的時候，就伸出兩個手指……

不管是用手指、腳趾還是用小石子等物體，它們的計數都是暫時的。你不可能總是舉著幾個手指不動吧！為了方便計數，聰明的原始人又發明了結繩計數和記號計數。結繩計數就是在繩子上打結，每一件物品打一個結；而記號計數則是在獸皮、樹木或石頭等物體上劃記號，每一件物品劃一個記號。這些記號，慢慢地就變成了最早的數學符號。數的概念就是在這一過程中逐漸發展起來的。

現在我們來想一想，我們的生活能不能離開數，我們所進行的各種活動又有哪一項缺少了數的參與？結果我們會發現，數存在于我們生活的各個角落，每一個細微的地方都有它的存在。如果真的沒有了它，我們的社會就會急劇倒退，退到人類社會的最初狀態——原始社會，那將是多么可怕的一件事呀！

神奇的進制

雖然結繩計數法已經可以解決一些問題，不過這樣的計數方式也只能計量少量的物體，物體一多，就忙不過來了。如果遇到100個、1000個物體呢？打上這么多繩結還不得把人累死？隨著社會的發展，人們所需要用到的數字肯定也會越來越大。在這種情況下，新的計數方法產生了。

由于數量太多的物體很難表示，所以人們就想到了當物體達到某一個數的時候，就做另外一個記號。以我們現在廣泛使用的十進制為例，當有10個小石子的時候，就用另外一個大石子表示，依此類推。這樣一來，數的表示就簡單多了。除了十進制，還有二進制、八進制、十二進制、二十進制、六十進制等。

其他的進制又是怎么來的呢？其實這些進制都是人類通過觀察所得到的，比如說二十進制，人的手指和腳趾加在一起正好是二十；又比如說十二進制，是因為在一年之中出現了12次月亮的盈虧等。只有二進制的產生是人類抽象思維的結果，是為了研究數的性質而建立的。

這些進制雖然沒有十進制應用得那么廣泛，可是卻仍然很重要。比如說一年有12個月、一天有24小時，一小時有60分，一分鐘有60秒，都是它們發揮作用的體現。還有在計算機中，應用的可全部都是二進制。

古代的進制比較混亂，各種進制都有，但是應用最多的還是十進制。為什么十進制會受到這么多人的青睞呢？這可能與人的手指有關。我們說過，最早人們是用手指來計數的，但這只能計量10個以下的物體。后來，人們就想到了10個手指可以用一個小石子代替的辦法，發明了十進制。人的手指是最靈活的，用到的地方也最多，所以由它而產生的十進制也是應用最為廣泛的。

黃金分割

黃金分割是什么？如果你是一個愛美又懂得欣賞美的人，那么你就一定要記住它，因為它實在是太有用了。我們所看到的很多美景，都與黃金分割有著莫大的關聯，這其中包括雄偉的建筑、奇妙的圖形、雅致的工藝品以及神奇的植物，等等。而且如果你的身體符合黃金分割率，也會顯得特別勻稱、迷人。

讓我們先來畫一條線段，然后再在線段的上面尋找一點，將線段分成兩段。這一點可不是隨便找的，在分割完成以后，你要保證其中一部分與整個線段的比值和另外一部分與這部分的比值相等。

這個比值是0.618，就是黃金分割點。其實我們所說的黃金分割指的就是這個比值，因為按照這個比例設計出來的造型十分優美，所以才稱它為黃金分割。

0.618，這個看似普通的小數，可是世人的寵兒，在很多地方都可以看到它的身影。很多生活用品和工藝品的寬長之比就是0.618；在建筑物中，也多次采用0.618這個數字；就連我們人體也充分利用了它，肚臍以上的部分與整個身體的比值就是0.618；在繪畫作品中，作品的主題都會放在整個畫面的0.618處；在弦樂器中，藝術家們也會將琴馬放在琴弦的0.618處。所以說，0.618在繪畫、雕塑、音樂、建筑等領域，以及在管理和工程設計等方面，都起著非常重要的作用。

如果你曾經去看過演出，那么你有沒有留意報幕員上臺的時候不是站在舞臺的中央，而是站在臺上的一側呢？你們知道這其中的原因嗎？

對，他站在了黃金分割點，站在那里看上去更美觀。不僅如此站在黃金分割點上，還更有利于聲音的傳播，使我們聽得更清楚。

以帕提農神廟為例，別看它現在只剩下一座石柱林立的外殼，以前它可威風著呢！因為它是希臘全盛時期建筑與雕刻的主要代表，是古希臘雅典衛城中最大的一座神廟，也是人類藝術寶庫中一顆璀璨的明珠。而這座偉大的建筑，就充分利用了黃金分割。簡單地說，帕提農廟的正面符合多重黃金分割矩形。而黃金分割矩形的最大特點就是將其再分割以后，還可以得到一個等比的矩形和一個正方形。將最大的黃金分割矩形再分割，就得到了二次黃金分割矩形和一個正方形。二次黃金分割矩形構成楣梁、中楣和山形墻的高度，而正方形則確定了山形墻的高。最小的黃金分割矩形又確定了中楣和楣梁的位置。現在，你們應該清楚黃金分割有多么神奇和偉大了吧！

勾股定理

勾股定理，聽起來似乎很深奧，可實際上不過就是兩條直角邊的平方之和與斜邊的平方相等。

為什么這個定理被稱做勾股定理呢？難道發明它的人叫做勾股？當然不是，哪有人會叫那么難聽的名字？

其實，勾股定理是我國的叫法。因為在我國的古代，將兩條直角邊分別叫做勾和股（較長的一條叫做股，較短的一條叫做勾），而將直角的對邊叫做弦，所以才將這個定理稱為勾股定理，我們所熟悉的“勾3股4弦5”就是這么來的。但是外國人將它稱為畢達哥拉斯定理，這次你猜對了，由于外國人以為最早發現勾股定理的人是古希臘的數學家畢達哥拉斯，所以才將它稱為畢達哥拉斯定理。

勾股定理揭示了直角三角形邊之間的關系。例如：直角三角形的兩個直角邊a、b的值分別為3、4，則斜邊c的平方=a的平方+b的平方，9+16=25，即c=5，則說明斜邊為5。

認識π

π是什么你們一定都清楚，就是圓周率嘛！我們都知道圓周率應該是一個常數，而關于這個常數的數值，你的數學老師一定會告訴你，它介于3.1415926和3.1415927之間。在運算的過程中，我們則取值為3.14。不過也許有些力求精確的人對這樣的數值并不滿意，因為3.14只是一個近似的數值，它的后面明明還有很多位，為什么將它們全部舍掉呢？這當然是為了計算的方便，如果每次運算都要帶一大堆的小數，到時你就會討厭數學了。

π的精確數值是多少呢？如果有人問你這個問題，你一定答不出來。事實上你也不可能答出來，因為迄今為止，還沒有人可以回答這個問題。我們知道，π實際上就是圓周與圓的半徑的比值，人們雖然知道它應該是一個常數，但是卻始終無法算出它的精確值。人們從公元前2世紀開始，一直算到今天，雖然已經獲得了數億位，可是卻仍然是一個近似值。所以也有人說這是科學史上的“馬拉松”，但是這個比賽什么時候能到達終點，現在誰都說不清。

對稱圖形

我們所生活的世界充滿了各種各樣的圖形，如果你們留心觀察就會發現，有很多圖形都是存在共同點的。

你能說出鬧鐘與飛機之間的共同點嗎？對，它們都是對稱的。

你能說說什么是對稱嗎？如果一個物體從中間分成兩半兒，這兩半兒是完全相同的，那它就是對稱的。

不過這只是對稱的一種情況，它們的共同點是它們都有一條對稱軸，如果沿著這條對稱軸把它們分成兩半兒，那么對稱軸兩邊的圖形就是完全一樣的。我們把這種有對稱軸的對稱圖形稱做軸對稱圖形。

還有一種對稱圖形，它沒有一條對稱軸，但是它有一個對稱中心。也就是說，沿著圖形的對稱中心旋轉180°以后，可以得到和原來的圖形完全相同的圖形。我們把這種有對稱中心的對稱圖形稱為中心對稱圖形。

要判斷一個圖形是軸對稱圖形還是中心對稱圖形，方法很簡單，只要我們找到它的對稱軸和對稱中心就可以了。如果一個圖形沿著一條線對折后可以完全重合，這個圖形就是軸對稱圖形，這條直線就是它的對稱軸。如果一個圖形在倒過來以后可以和原來的圖形完全重合，這個圖形就是中心對稱圖形，它的中心點就是對稱中心。當然，有的圖形可能既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形；也有的圖形可能既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形。

現在，人們總是喜歡強調對稱美，把什么東西都弄成對稱的，事實上，就連我們人體也是對稱的。對稱雖然很美妙，可它也有可怕的地方。如果你來到了對稱的世界，那么你所做的任何事情就必須都是對稱的。你別想穿什么新奇的衣服，也別想搞什么新潮的造型，因為那會破壞了你本來的對稱性。

不過，我們的生活還真是不能少了對稱：如果飛機沒有了對稱，那么它在空中飛行的時候就會失去平衡，發生事故的幾率也將大大增加。如果鬧鐘沒有了對稱，表針的走動就不再均勻，這樣就難以保證時間的準確性。如果我們人體不再對稱，那將變得更為可怕。你有沒有想過，如果你的兩只眼睛一只長在眉毛下，而另一只長在鼻子上；你的兩只耳朵一只長在腦袋的一側，而另一只長在頭頂上……那將是多么可怕的一件事！

僅有的五種正多面體

今天，讓我們一起走進多面體的世界，去認識幾個特殊的朋友。事實上，我們就生活在一個多面體的世界中，如果你是個善于觀察的人，就一定會發現，我們的周圍存在著很多多面體，比如說我們的書本、電視、冰箱等。如果讓你給多面體下一個定義，你應該怎么下呢？其實這很簡單。首先，它必須是一個立體，而且是由多邊形所圍成的立體。當然，多邊形的數量至少應該是四個。那么我們今天的主角是哪幾位特殊的朋友呢？它們就是僅有的五種正多面體，即是正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體和正二十面體。

所謂正多面體，當然要首先保證它是一個多面體，而它的特殊之處就在于它的每一個面都是正多邊形，而且各個面的正多邊形都是全等的。也就是說，將正多面體的各個面剪下來，它們可以完全重合。雖然多面體的家族很龐大，可是正多面體的成員卻很少，僅有五個。

這幾個正多面體分別是由什么組成的呢？

正四面體是由四個全等的等邊三角形組成的；正六面體是由六個全等的正方形組成的；正八面體是由八個全等的等邊三角形組成的；正十二面體是由十二個全等的正五邊形組成的；正二十面體是由二十個全等的等邊三角形組成的。

圓與球

圓在我們的生活中幾乎隨處可見：車輪，杯子，皮球，等等。圓的東西不僅樣子美觀，給人視覺上的享受，而且還很實用。試想一下，如果車輪不是圓的，那車子還能走得這么平穩嗎？如果皮球不是圓的，那還拍得起來嗎？再想一想，你是不是更喜歡圓圓的月亮呢？圓圓的臉蛋是不是更討人喜歡呢？所以說，我們偏愛圓也是很有道理的。

球是什么？它和圓又有什么關系呢？很明顯，球也是圓的，它們的最大區別就在于圓是平面圖形，而球是立體的。換句話說，球是由無數個圓組成的。如果把皮球的氣放光，將它壓扁，那么它就是一個圓。

為什么自然界有這么多的圓形和球體呢？難道只是為了美觀嗎？當然不是，它們還有更實用的一面。現在我們來做一個簡單的圈地游戲：給你們每個人一條繩子，這條繩子的長度是相等的，都是1米。你們可以隨意用它圈出一個圖形，然后再計算出你所圈圖形的面積。

來看看結果吧：如果圈的是正方形，它的邊長是25厘米，面積就是625平方厘米；如果圈的是長方形，長是30厘米，寬是20厘米，面積就是600平方厘米；如果圈的是等邊三角形，邊長約是33厘米，面積就約等于472平方厘米；如果圈的是圓形，得到的面積約為800平方厘米。分析一下計算結果，我們就可以發現，同樣長的繩子，圈出的圓是面積最大的。這是圓的另一個優勢，也是它深受人們喜愛的原因之一。既然同樣的材料做出的圓面積最大，那么它所能盛的東西自然也就越多，這就是為什么我們平常所見到的杯子、酒桶等物體都是圓柱形的主要原因。

數的家族

數字是一個十分龐大的“家族”。人們最早認識的數是類似1,2,3,4……這樣的自然數。后來又逐漸出現了零、負數、分數和小數。近代以來，科學家又提出了有理數、無理數、虛數和實數等概念。自然數是指用以計量事物的件數或表示事物次序的數，即用數字0,1,2, 3,4……所表示的數。自然數由0開始，一個接一個，組成一個無窮集體。自然數集有加法和乘法運算，兩個自然數相加或相乘的結果仍為自然數，也可以做減法或除法，但相減和相除的結果未必都是自然數，所以減法和除法運算在自然數集中并不是總能成立的。自然數是人們認識的所有數中最基本的一類，為了使數的系統有嚴密的邏輯基礎，19世紀的數學家建立了自然數的兩種等價的理論，即自然數的序數理論和基數理論，使自然數的概念、運算和有關性質得到嚴格的論述。

序列……-2, -1,0,1,2……中的數稱為整數。整數的全體構成整數集，它是一個環，記做Z。

在整數系中，自然數為正整數，稱0為零，稱-1, -2, -3…-n……為負整數。正整數、零與負整數構成整數系。

無限不循環小數和開根開不盡的數叫無理數，比如π。而有理數恰恰與它相反，整數和分數統稱為有理數，包括整數和通常所說的分數，此分數亦可表示為有限小數或無限循環小數。

實數包括有理數和無理數。其中無理數就是無限不循環小數，有理數包括整數、零和分數。

計算工具

說到計算工具，我們首先想到的就應該是計算器。它可是既方便，又快捷，給我們省了不少事兒。不過計算器雖不是什么高科技的產品，但它出現的時間也比較晚。也就是說，在相當長的一段時間內，人類是沒有計算器可用的。那么在沒有計算器的年代里，人們又是通過什么工具來計算的呢？

人類早期的計算活動其實就是計數，而最早用于計數的工具當然就是我們的手指和腳趾。另外，早期的計數工具還有小石子等。稍晚些時候，還出現了我們前面所提到的結繩計數，也就是通過繩結來計數。在美國紐約的博物館里面，至今還珍藏著一件從秘魯出土的打了繩結的繩子。

而在我國古代廣泛使用的一種計算工具，則是算籌，使用了將近兩千年。這可是我國獨創的，而且是一種非常有效的計算工具，由此可見我國古代的數學是非常發達的。算籌出現在春秋時期，可以說是世界上最古老的計算工具。不過，你也不要把它想象得太過神秘，它實際上就是一種小竹簽。由于在那個時候造紙術還沒有發明，也就是說，那時是沒有紙可用的，所以人們就將這些小竹簽擺成不同的行列，以此來進行數學運算。

不過，每天都要擺弄這么多小竹簽是一件很麻煩的事。竹簽的數目一多，就很容易混亂。在這樣的情況下，算盤出現了。如果說這個算籌距離我們太遠，我們不太熟悉的話，那么算盤對于我們來說就不能算是陌生了。很多人家里現在都還存有算盤，很多學校也都開有珠算課。其實算盤就是我國古代人民在長期使用算籌的基礎上發明的，距今已經有六百多年的歷史了。我們在學習珠算的時候，都會首先學習珠算口訣，如果能記牢這些口訣并加以靈活運用，算盤絕對是一個很好的計算工具。

再接下來就是計算機了。早在1642年，法國數學家帕斯卡就發明了世界上第一臺機械計算機，但是這臺計算機只能進行加減法計算，而且操作復雜，因此實用性不大。到了18世紀，人們又在此基礎上發明了手搖計算器，這臺計算器不但操作比原來簡單了，而且還可以進行加減乘除運算了。直到1946年，世界上第一臺電子計算機問世了，到如今已經發展到了第四代，也就是我們今天所用的電腦。而那種小型的計算器，如今也已經變得非常普遍了。

數學名題

既然數學的歷史那么悠久，而人們對它的研究也從來都沒有停止過，為什么我們都覺得無比枯燥的數學會讓這么多人萌生如此濃厚的興趣呢？究竟是什么吸引著他們一直研究下去呢？原來，在學習數學的過程中，也會有很多有趣的問題。一旦你對某個事情產生了興趣，那么關于它的一切你就再也不會覺得枯燥乏味了。在數學的發展史上，有很多著名的數學名題是很值得探索和研究的，而且也十分有趣。今天就讓我們共同來研究幾個有趣的問題，也許你會忽然間改變自己對數學的態度。

既然稱之為名題，那就應該是有一定的難度的，不然也不會流傳這么多年。首先我們來說一說七橋問題。問題發生在18世紀的哥尼斯堡（今屬俄羅斯），在這座小城里有七座橋連接著大河兩岸以及中心的兩個小島。城里的人閑來無事，就想了這么一個問題：一個人能不能既不重復又無遺漏地走完這七座橋，然后再回到原點呢？這聽起來好像在走迷宮，不過就是這樣一個問題，卻難倒了成千上萬的市民和游客。

最后是誰那么聰明，解開了這個難題呢？是偉大的數學家歐拉。看了右側的圖你就會明白了，要解決這個問題，只要想一想怎么用一筆將這幅圖畫出來就可以了。你們可以自己試著畫一畫，如果能畫出來，那你就比歐拉還要聰明了。為什么這么說呢？因為經過歐拉的證明，這樣的畫法是不存在的。每個點既然有進去的路線，就必須有另外一條出去的路線，這樣才能保證我們所走過的路線不重復，也就說明每個點所連接的邊數必須是偶數。可是我們看看右圖中的這幾個頂點，全部都是奇數，所以我們不可能既不遺漏又不重復地走過這七座橋。1736年，歐拉據此發表了“一筆畫定理”：一個圖形要能一筆完成必須符合兩個條件，即圖形是封閉連通的和圖形中的奇點（與奇數邊相連的點）為0或2。歐拉的研究開創了一門新的幾何學分支——位置幾何學。

接下來要說的這個問題是關于兔子的。別看小白兔那么可愛，但是它也會給我們出難題。在13世紀的時候，意大利的數學家斐波那契在《算盤書》中曾提出了一個有趣的兔子問題，問題是這樣的：有個人年初的時候抱來了一對小兔子，小兔子一個月后可以長成大兔子，而大兔子在一個月內又會生出一對小兔子。如果我們假設所有的兔子都很健康，那么在年底的時候，這個人可以擁有多少對兔子呢？

這個問題看起來似乎并不難，只要一對一對地算，你就可以得到正確的答案。但是這樣的方法是很麻煩的，其實，我們完全可以用更簡單的方法來解決它。讓我們看一看這其中的奧妙吧！第一個月的時候，當然只有一對兔子；第二個月的時候，兔子長大了，但是仍然是只有一對兔子；到了第三個月，大兔子下了一對小兔子，我們就有了兩對兔子；第四個月，原來的大兔子又下了一對小兔子，而原來的小兔子也長成了大兔子，我們就有了三對兔子；第五個月，兩對大兔子分別下了一對小兔子，而原來的小兔子也長成了大兔子，于是我們就有了五對兔子……

讓我們將每個月的兔子對數寫出來：1,1,2,3,5, 8,13,21,34…… 仔細觀察這個數列，我們就可以發現，這其中是有規律可循的，那就是前兩個數的和等于后面的數。知道了這個規律，我們就不用這樣一點兒一點兒地算了，直接將前兩個數相加，得到第十三個數的時候，就是我們想要求得的數字。通過計算，第13個數是233。也就是說，在年底（第二年初）的時候，主人可以擁有233對兔子。人們為了紀念斐波那契，也將上面的數列稱為斐波那契數列。斐波那契數列在現代物理、準晶體結構、化學等領域都有直接的應用，在自然界中更是廣泛存在的。斐波那契數經常與花瓣的數目相結合，例如，延齡草、野玫瑰、南美血根草、大波斯菊、金鳳花、百合花、蝴蝶花的花瓣的數目都具有斐波那契數。

斐波那契數還可以在植物的葉、枝、莖等排列中發現。例如，在樹木的枝干上選一片葉子，記其為數0，然后依序點數葉子（假定沒有折損），直到到達與那片葉子正對的位置，則其間的葉子數多半是斐波那契數。葉子從一個位置到達下一個正對的位置稱為一個循回。葉子在一個循回中旋轉的圈數也是斐波那契數。在一個循回中葉子數與葉子旋轉圈數的比稱為葉序（意即葉子的排列）比。多數的葉序比呈現為斐波那契數的比。

當然，歷史上的數學名題是很多的，今天我只舉了其中的兩個例子。其實這些問題都是非常有趣的，你們可以自己去翻閱一些這方面的書籍，沒準你會從此愛上數學呢！

概率的秘密

說實話，概率是非常讓人討厭的，因為它總是充滿了不確定。而且它的名聲也不太好，因為人們總是喜歡把它和擲色子等賭博活動聯系在一起。

現在來回答一個問題，當我們將硬幣拋向空中的時候，它落地后是正面還是反面呢？

有的人會說：硬幣落下來之后可能是正面，也可能是反面，這讓我們怎么猜呢？不過，只要我們不都猜正面或都猜反面，就一定會有人猜中，因為它只有這兩種可能性。

那硬幣落地的時候有沒有可能既不是正面也不是反面呢？當然不能，硬幣落地只有兩種情況，不是正面就一定是反面。

這就是我們今天所要認識的概率。如果一件事情所產生的結果并不是只有一種情況，那么它所產生的結果就存在一個概率的問題，而且所產生的各種情況的概率的總和一定是1。像我們剛才所說的硬幣問題，顯然它的結果就只有兩種，那么發生其中一種結果的可能性就是1/2。也就是說，發生兩種情況的幾率是均等的，二者各占一半。用一個介于1（表示一定發生）和0（表示不發生）之間的數，就可表示某一事件發生的概率。法國人帕斯卡于1642年用擲色子的方法研究出了概率的基本原理法則。

學習了概率的知識以后，你就可以解決生活中的很多實際問題。比如說很多人熱衷于買彩票，甚至還通過種種方法來預測下一期的開獎號碼，可是這種預測真的有效嗎？當然不是。有些人認為很久都沒有出現的號碼在這一期出現的幾率比較大，也有人認為上期已經出現過的號碼這期就不會再出現。其實這種想法都是錯誤的，因為每一個號碼在每一期所出現的概率都是相等的，沒有什么大小之分。

著名的四色猜想

四色猜想來自英國，被稱為是近代世界三大數學難題之一。一位在科研部門搞地圖著色工作的大學畢業生在工作中發現了一個有趣的現象，那就是每幅地圖都可以用四種顏色來著色，使得擁有共同邊界的國家都被染上不同的顏色。

數學家們永遠都那么好奇，在此之后，英國的數學家凱利就正式向倫敦數學學會提出了這個猜想：任何地圖著色只需要四種顏色就足夠了。也曾有科學家對此做出了證明，可遺憾的是，這些證明在后來都被證明是錯誤的。直到電子計算機問世以后的1976年，兩位美國的數學家——阿佩爾和哈肯在兩臺不同的電子計算機上苦苦奮戰了1200個小時，做了1000億個判斷，才完成了四色猜想的證明。

拓撲

拓撲是幾何學的一個分支，而且是一門非常有趣的學問。還記得我們在前面討論過的哥尼斯堡七橋問題嗎？它可是為拓撲學的發展做出了很大貢獻。

雖然說拓撲學的歷史很悠久，可以追述到18世紀的數學家歐拉和高斯的研究，但是其真正的發展，卻是從19世紀末才開始的。通常的幾何學所研究的內容無非就是物體的長短、大小、面積、體積等度量性質和數量關系，可是拓撲卻完全不把這些放在眼里，它特立獨行，只做自己喜歡的事情。

既然拓撲不會考慮普通幾何學所研究的東西，那它要研究什么呢？

簡單地說，拓撲學研究的是物體本身的性質。在拓撲學看來，沒有任何物體是不能彎曲的。也就是說，任何物體的形狀都是可以發生改變的。而拓撲要研究的就是當有形物體的形狀發生一系列的變化時，怎么樣才能保持它的性質不變。比如說一塊橡皮泥，你可以把它捏成小白兔，也可以把它捏成小鴨子，但不管它的外形是什么，它的本質都是橡皮泥。這就是拓撲所要研究的問題。

看橡皮泥捏成的三個物體，也許你會覺得它們是完全不同的三樣東西，可是在認識了拓撲以后，你就不能再這樣說了。因為這三樣東西雖然擺出了不同的姿態，可是我們經過拓撲的訓練，便可以一眼看穿它們的真面目，其實它們是完全相同的。別忘了，在拓撲的世界里，是沒有什么正方形、圓形和三角形之分的。

回到前面的七橋問題，歐拉在解決問題的時候不是也沒有考慮它的大小和形狀嗎？他所考慮的只是點和線的個數，所以才畫出了那張原理圖。這就是拓撲思考問題的出發點。拓撲學就是要訓練我們透過事物的表面看本質，這點是非常重要的。

分形幾何

20世紀70年代，美國的計算機專家曼德羅特創立了一門新的學科，稱分形幾何，是專門研究不規則曲線圖形的。

什么是分形幾何？我們首先來觀察一下雪花的形狀，當然，我所說的雪花是完整的雪花，你必須保證它不會融化。也許你們可能覺得這根本就不用觀察，因為我們都知道雪花是六角形的。可是我現在要說的是，這個答案并不是完全正確的。為什么這樣說呢？因為雪花有著一種特殊的特性——自相似性。

自相似性指的是物體的局部與整體在形態、性質、功能等方面具有統計意義上的相似性。比如磁鐵，將磁鐵切出一小部分，這部分與原來的磁鐵一樣，都具有南北極，而且都具有磁性。這種具有自相似性的物體，適當地放大或縮小它的幾何尺寸，它的整個結構并不會發生變化。

現在你應該知道雪花的形狀了吧！沒錯，雪花也是這樣的。如果將雪花的每一部分放大，就又可以得到一片雪花。一片晶瑩剔透的雪花，實際上是由無數個與它完全相同、只是比它小很多倍的小雪花構成的。如果我們人類也具有自相似性，那就是說我們的身體可以分成很多個小的我們，那是多么可怕的一件事呀！

分形幾何還有更為神奇的地方，它可以把我們帶到分維的世界里面。我們都知道，我們所生活的空間以及我們周圍的物體都是有維數的，比如說：點是零維的，一條直線是一維的，一個平面是二維的，一個立體是三維的，等等。可是你們聽說過幾分之幾維嗎？這聽起來好像很懸，不過分形幾何卻可以辦得到。

比如說一根樹干，它要分出很多樹枝，而樹枝還要再分出很多細枝，那么要測量它的周長，你應該怎么辦呢？沒錯，這個時候我們就要用到分形幾何。因為我們既不能把它看成是一維的，也不能把它看成是二維的，要解決這個問題，唯一的辦法就是分維。所以說，分形幾何是很有用的，自然界的很多物體，我們都可以用分形幾何去測量。

麥比烏斯圈

麥比烏斯圈是什么？它是一個圓圈嗎？如果你夠聰明，就一定可以想到，它應該是一個圓圈，但絕對不會是一個簡單的圓圈，要不就不會給它取個名字了。它就是一個被扭曲了的曲面。因為它是被德國的數學家麥比烏斯發現的，所以才叫它麥比烏斯圈。據說曾有人提出這樣一個問題：將一個長方形的紙條首尾相連，做成一個紙圈，如何只用一種顏色、在紙圈的一面涂抹，最后將紙圈全部涂上顏色而沒有空白呢？這個問題可難倒了不少人，就連大數學家麥比烏斯也一度為它困惑。他百思不得其解，于是決定出去走走，清醒一下大腦。當他走到玉米地時，看到了一片肥大的玉米葉子，彎曲著耷拉下來，他順手撕下一片，將其對接成一個圓圈，結果他驚喜地發現，這就是他夢寐以求的圓圈。所以說，麥比烏斯圈的發現還有玉米葉的一份功勞呢！

麥比烏斯圈非常有用，我們的立交橋和道路就是根據它的原理而建造的，因為這樣可以避免車輛和行人的擁堵，緩解交通壓力。

如果我們沿著麥比烏斯圈走上一圈，就可以在不重復的情況下走完所有的地方，然后再回到原點。麥比烏斯圈實際上也屬于拓撲學的范疇，主要研究單側面問題。現在你是不是更喜歡拓撲學了呢？

自己可以制作麥比烏斯圈嗎？當然可以，這其實非常簡單。別看在發現麥比烏斯圈的時候絞盡了腦汁，可實際上，這種圓圈是很容易做成的。首先，你需要準備一個長紙帶，然后將它的一端扭轉180°，再將兩端連接起來，這樣麥比烏斯圈就做成了。如果要驗證你所做的麥比烏斯圈是否正確，最簡單的辦法就是拿一只鉛筆不離紙帶一直畫下去，看最后是不是能夠畫過紙帶的所有地方，然后再回到起點。如果是，那么恭喜你，你的麥比烏斯圈就成功了！

錯了嗎

先仔細觀察下面這幅畫，然后再告訴我你在畫中發現了什么？給你們一個提示，這其中是存在錯誤的。

我們看，畫中的瀑布是從三層的小樓上面傾瀉到底層的水池中的，可奇怪的是，畫中給人的感覺是這些水在回到底層以后又沿著曲折的渠道流回了三層，這是有悖常理的。所以我們說這幅畫的作者一定是一個沒有生活常識的人，要不又怎么會出現這種錯誤呢？好了，現在就我們共同來認識一下這位畫家吧！

雖然這幅畫畫得有些莫名其妙，不過我們還是愿意稱它的作者為大畫家，因為他的畫確實很吸引人。埃舍爾是荷蘭的著名畫家，他的畫都是那么玄妙，所有現實世界中不可能發生的事情，在他的畫里都可以找得到。而且他的作品可以激發人的想象力，所以很多數學家也為之癡迷。走進埃舍爾的不可能世界，你絕對會為他的創作而拍手叫絕。

我們所看到的這幅畫是埃舍爾最后期的奇異建筑式圖畫，它的名字就叫做《瀑布》。為什么要把這個問題放在這里討論呢？因為它也與拓撲有著很大的聯系。20世紀50年代以來，拓撲學發展的中心課題是流形理論。一維的流形是曲線，二維的流形是曲面，而三維以上的流形則只能靠它們的投影（甚至投影的投影）來認識了。很明顯，我們眼前的這幅畫是一個三維的流形，而恰恰也就是在這投影的過程中，才給我們造成了視覺上的錯誤。

為什么埃舍爾可以創作出這樣的作品呢？這是因為埃舍爾是一個既精于建筑，又精于數學測量的人。所以，在他的作品中，有時候會改變正常的透視結構，從而創作出非常有趣而又耐人尋味的畫面。這幅畫的“不可能”主要是由不可能的三角形和不可能的樓梯組成的，這是埃舍爾最非凡的又不可能實現的建筑作品。其實，如果單看這幅畫的每一個部分，那都是完全沒有問題的。但如果把它作為一個整體來看，問題就出現了——它的秘密就在于用二維的圖形來表示并構造一個三維的物體。埃舍爾是根據彭羅斯的三角原理來畫這幅畫的。數學家彭羅斯曾提出了不可能的三角形，這幅畫最吸引人的創意就來源于這個不可能的三角形。在畫面中，他三次用到了三角形。可見，埃舍爾是一個非常有創意，而且想象力非常豐富的畫家。