朱世杰，字漢卿，號松庭。燕山（今北京附近）人，生卒年不詳，中國元代著名數學家。

中國在兩漢時期就能解一次方程，古時候稱為“方程術”。到了宋元時期又出現了具有世界意義的成就——天元術。那么，當未知數不止一個的時候，如何列出高次聯立方程組求解呢？有這樣一道古代數學題：“直田積八百六十四步，只云長闊共六十步，問闊及長各幾步？答曰：闊二十四步，長三十六步”。這就是說，長方形田地的面積等于八六四平方步，長與寬的和是六十步，長與寬各多少步？此題列成方程式即是：xy＝864，x＋y＝60，其中x、y分別表示田的長和寬，這是一個二元二次方程組問題，此題選自我國南宋數學家楊輝所著《田畝比類乘除算法》一書。這說明，我國宋代數學家就已結合生產實踐對多元高次方程組有了研究。那么，有沒有三元三次方程組，四元四次方程組呢？當然有。早在宋、元時期，我國數學家就圓滿地解決了這個問題。

元代數學家朱世杰，在與他同時代的數學家秦九韶、李治所創立的一元高次方程的數值解法和天元術的基礎上，進一步發展了“四元術”，創造了用消元法解二、三、四元高次方程組的方法。

朱世杰這一重大發明，都記錄在他的杰作《四元玉鑒》一書中。

所謂四元術，就是用天元（x）、地元（y）、人元（z）、物元（u）等四元表示四元高次方程組。朱世杰不僅提出了多元（最高到四元）高次聯立方程組的算籌擺置記述方法，而且把《九章算術》等書中四元一次聯立方程解法推廣到四元高次聯立方程組。四元術用四元消法解題，把四元四式消去一元變成三元三式，再消去一元變成二元二式，再消去一元，就得到一個只含一元的天元開方式，然后用增乘開方法求正根。這和現代解方程組的方法基本一致。

在西方，在16世紀以前，人們長期把不同的未知數用同一個符號來表示，以致含混不清。直到公元1559年，法國數學家彪特才開始用不同的字母A、B、C……來表示不同的未知數。而我國，朱世杰早在公元1303年就巧妙地解決了這個問題，他用天、地、人、物這四元來表示四個未知數，即相當于現在的x、y、z、u。

而關于四元高次聯立方程的求解，歐洲直到1775年，法國數學家別朱在他的《代數方程的一般理論》一書中才得以系統地解決。但這已比朱世杰晚了四五百年。

四元術是我國數學家的又一輝煌成就。它達到了當時世界數學發展的高峰。