題型四 工程問題

賦值工作總量

★（2012·聯考上·65）一項工程，甲一人做完需30天，甲、乙合作完成需18天，乙、丙合作完成需15天。甲、乙、丙三人共同完成該工程需（　　）。

A．10天

B．12天

C．8天

D．9天

【答案】A

【解析】本題考查工程問題。假設工作總量為90，那么甲的效率=3，乙的效率+丙的效率=6，所以三人合作所需時間為90÷（3+6）=10（天）。因此答案選擇A。

【小楊點睛】題目只給出各工作主體的工作時間時，賦值工作總量。

★☆（2013·浙江A·60）一口水井，在不滲水的情況下，甲抽水機用4小時可將水抽完，乙抽水機用6小時可將水抽完。現用甲、乙兩臺抽水機同時抽水，但由于滲水，結果用了3小時才將水抽完。問在滲水的情況下，用乙抽水機單獨抽，需幾小時抽完？（　　）

A．12小時

B．13小時

C．14小時

D．15小時

【答案】A

【解析】設工作總量為12，則甲的效率為，乙的效率為，滲水時同時抽水的效率為，則滲水的效率是3+2-4=1，那么在滲水的情況下，乙單獨工作需要（小時）。故選擇A。

【小楊點睛】賦值工作總量的目的是求出工作效率，從而便于通過加減計算求得合作效率。

★☆（2014·河南·41）A、B、C、D四個工程隊修建一條馬路，A、B合作可用8天完成，A、C或B、D合作可用7天完成，問C、D合作能比A、B合作提前多少天完成？（　　）

A．

B．

C．

D．2

【答案】A

【解析】賦值工作總量為56，那么A、B的工作效率和為7，A、C的工作效率和為8，B、D的工作效率和為8；那么A、B、C、D的工作效率和為16，所以C、D的工作效率和為9。C、D合作完成工程所需時間為天。C、D合作能比A、B合作提前（天）完成。故選A。

★★（2013·江蘇A·26）一項工程，甲、乙合作12天完成，乙、丙合作9天完成，丙、丁合作12天完成。如果甲、丁合作，則完成這項工程需要的天數是（　　）。

A．16

B．18

C．24

D．26

【答案】B

【解析】設該項工程的總量是36，那么對于甲、乙、丙、丁的效率而言有：

。①+③-②得甲+丁=2，那么甲、丁合作完成這項工程需要36÷2=18（天）。故答案為B。

【小楊點睛】近幾年的工程問題中通過賦值工作總量計算效率的題目難度有所增加，但仍屬于必得分題型。

★★（2013·北京·79）一項工程如果交給甲、乙兩隊共同施工，8天能完成；如果交給甲、丙兩隊共同施工，10天能完成；如果交給甲、丁兩隊共同施工，15天能完成；如果交給乙、丙、丁三隊共同施工，6天就可以完成。如果甲隊獨立施工，需要多少天完成？（　　）

A．16

B．20

C．24

D．28

【答案】C

【解析】8、10、15和6的最小公倍數為120，故假定這項工程的工作總量為120，則甲、乙效率之和是15，甲、丙效率之和是12，甲、丁效率之和是8，從而可知“3甲+乙、丙、丁效率之和”是15+12+8=35。又乙、丙、丁效率之和是120÷6=20，可得3甲=35-20=15，故甲隊每天的工作量為5。則若甲隊獨立施工，需要（天）完成。故選C。

★★（2015·廣東·35）有兩箱數量相同的文件需要整理。小張單獨整理好一箱文件要用4.5小時，小錢要用9小時，小周要用3小時。小周和小張一起整理第一箱文件，小錢同時開始整理第二箱文件。一段時間后，小周又轉去和小錢一起整理第二箱文件，最后兩箱文件同時整理完畢。則小周和小張、小錢一起整理文件的時間分別是（　　）。

A．1小時，2小時

B．1.5小時，1.5小時

C．2小時，1小時

D．1.2小時，1.8小時

【答案】A

【解析】設每一箱的工作量為9，則小張的效率為2，小錢的效率為1，小周的效率為3。因為兩箱總的工作量為18，三個人總的工作效率為2+1+3=6，同時開始同時完畢，所以總的耗時是18÷6=3（小時）。在3小時中，小張做的工作量為6，所以第一箱剩下的工作量3是小周完成的，耗時為3÷3=1（小時），即小周和小張一起整理的時間是1小時；而小周總的工作時間是3小時，所以小周與小錢一起整理的時間是3-1=2（小時）。故正確答案為A。

【小楊點睛】事實上用比例法求解更直接：三人一直在工作，一起開始又一起完成，所以小張與小錢的工作量之比就是效率之比，也就是各自單獨整理所需時間的反比，即9∶4.5=2∶1，同樣的兩箱，那么剩余的工作量之比是1∶2，都是小周完成的，所以小周用時之比也是1∶2。

★☆（2009·國家·11）一條隧道，甲單獨挖要20天完成，乙單獨挖要10天完成。如果甲先挖1天，然后乙接替甲挖1天，再由甲接替乙挖1天……兩人如此交替工作，挖完這條隧道共用多少天？（　　）

A．14

B．16

C．15

D．13

【答案】A

【解析】設總工作量為20，則甲的效率為1，乙的效率為2。合作的效率為3，則6個周期（12天）后完成工作量3×6=18，剩余工作量2，由于第13天是甲挖，其工作效率為1，故第13天不能挖完，需再挖一天，即共用14天。

【小楊點睛】交替合作型題目，需要重點注意工作總量除以工作效率的余數。

★★（2014·聯考上·69）工廠需要加工一批零件，甲單獨工作需要96個小時完成，乙需要90個小時，丙需要80個小時。現在按照第一天甲、乙合作，第二天甲、丙合作，第三天乙、丙合作的順序輪班工作，每天工作8小時，當全部零件加工完成時，甲工作了多少小時？（　　）

A．16

B．

C．

D．32

【答案】D

【解析】此題為給定時間型的工程問題。設工作總量為96、90、80的最小公倍數，即1440。由此可知甲、乙、丙的效率分別為15、16、18。那么甲、乙一天完成的工作量為（15+16）×8=248，甲、丙一天完成的工作量為（15+18）×8=264，乙、丙一天完成的工作量為（16+18）×8=272。每3天為一個周期，一個周期可以完成工作量248+264+272=784，則經過一個周期還剩下656的工作量未完成，需要甲、乙做一天（完成248），甲、丙做一天（完成264），剩下的（144）由乙、丙做。在整個過程中，甲做了4天，即32小時。故正確答案為D。

★★（2010·聯考上·94）單獨完成某項工作，甲需要16小時，乙需要12小時，如果按照甲、乙、甲、乙……的順序輪流工作，每次1小時，那么完成這項工作需要多長時間？（　　）

A．13小時40分鐘

B．13小時45分鐘

C．13小時50分鐘

D．14小時

【答案】B

【解析】設工作總量為48，由題意可知，甲的工作效率為3，乙的工作效率為4，甲、乙輪流工作的時間為……5，此時工作了12小時后甲又工作了1小時，剩余工作量為48-7×6-3=3，因此，乙還需工作（小時），即45分鐘。因此，完成這項工作需要13小時45分鐘。正確答案為B。

★★☆（2012·國家·77）某項工程由A、B、C三個工程隊負責施工，它們將工程總量等額分成了三份同時開始施工。當A隊完成了自己任務的90%時，B隊完成了自己任務的一半，C隊完成了B隊已完成任務量的80%，此時A隊派出的人力加入C隊工作。問A隊和C隊都完成任務時，B隊完成了其自身任務的（　　）。

A．80%

B．90%

C．60%

D．100%

【答案】A

【解析】設工作總量為300，則A完成90時，B完成50，C完成40。此時三隊剩余的工作量分別為10、50、60。

根據題意，可設三隊的原效率分別為90、50、40，則新效率分別為30、50、100。

三隊完成任務分別還需用時，，。

當A、C均完成時，B又完成的工作量為。

則B完成工作量所占比重為。

【小楊點睛】過程復雜的工程問題需要首先分析清楚過程。

★★☆（2010·聯考下·31）一項工程由甲、乙、丙三個工程隊共同完成需要15天。甲隊與乙隊的工作效率相同，丙隊3天的工作量與乙隊4天的工作量相當。三隊同時開工2天后，丙隊被調往另一工地，甲、乙兩隊留下繼續工作。那么，開工22天后，這項工程（　　）。

A．已經完工

B．余下的量需甲、乙兩隊共同工作1天

C．余下的量需乙、丙兩隊共同工作1天

D．余下的量需甲、乙、丙三隊共同工作1天

【答案】D

【解析】根據題意，設甲、乙、丙三隊每天完成的工作量分別為1、1、。則開工22天后剩余的工作量為。故沒有完成的工作量為，需要甲、乙、丙三隊共同工作1天。

★★★（2011·安徽·9）某工廠的一個生產小組，當每個工人都在崗位工作時，9小時可以完成一項生產任務。如果交換工人甲和乙的崗位，其他人不變，可提前1小時完成任務；如果交換工人丙和丁的崗位，其他人不變，也可以提前1小時完成任務。如果同時交換甲和乙、丙和丁的崗位，其他人不變，可以提前多長時間完成任務？（　　）

A．1.4小時

B．1.8小時

C．2.2小時

D．2.6小時

【答案】B

【解析】假設該生產任務的工作量為1，那么原來的工作效率是。由于交換工人甲和乙的崗位，可提前1小時完成任務，那么交換甲和乙的崗位之后的工作效率為，即效率提高了。同理可知，交換工人丙和丁的崗位，效率也可以提高。所以，同時交換工人甲和乙、丙和丁的崗位后，工作效率為，則完成任務所需時間為1÷（小時），也就是說可以提前1.8小時完成生產任務。所以，正確答案為B。

賦值工作效率

★★（2011·國家·67）甲、乙、丙三個工程隊的效率比為6∶5∶4，現將A、B兩項工作量相同的工程交給這三個工程隊，甲隊負責A工程，乙隊負責B工程，丙隊參與A工程若干天后轉而參與B工程，兩項工程同時開工，耗時16天同時結束，問丙隊在A工程中參與施工多少天？（　　）

A．6

B．7

C．8

D．9

【答案】A

【解析】設丙隊在A工程中參與施工x天，賦值甲、乙、丙三個工程隊的效率分別是6、5、4，根據題意有：6×16+4x=5×16+4×（16-x），解得x=6。故選A。

【小楊點睛】給出了效率之比，賦值工作效率。

★★（2013·北京·83）小張和小趙從事同樣的工作，小張的效率是小趙的1.5倍。某日小張工作幾小時后小趙開始工作，小趙工作了1小時之后，小張已完成的工作量正好是小趙的9倍。再過幾個小時，小張已完成的工作量正好是小趙的4倍？（　　）

A．1

B．1.5

C．2

D．3

【答案】C

【解析】賦值小張的工作效率為3，則小趙的工作效率為2。設再過x小時，小張已完成的工作量正好是小趙的4倍，則2×9+3x=4×（2+2x），解得x=2。故選C。

★★（2015·山西·54）甲、乙、丙3個施工隊，乙的工效與甲、丙兩隊合作的工效相等，丙的工效是甲、乙兩隊合作工效的四分之一。現有一項工程，據測算，三隊合作30個工作日可完成。如果由甲隊單獨來做，需要多少個工作日？（　　）

A．60

B．96

C．100

D．150

【答案】C

【解析】首先要分析清楚效率關系。根據題意可知，甲+丙=乙，甲+乙=4丙，兩式聯立可以得出甲∶乙∶丙=3∶5∶2。賦值三隊的效率分別是3、5、2，由合作30個工作日完成可知工作總量是（3+5+2）×30=300，那么如果由甲單獨做需要300÷3=100（個）工作日。故正確答案為C。

★★（2010·黑龍江·48）有20人修筑一條公路，計劃15天完成。動工3天后抽出5人植樹，留下的人繼續修路。如果每人工作效率不變，那么修完這段公路實際用多少天？（　　）

A．16

B．17

C．18

D．19

【答案】D

【解析】賦值每人每天的工作量為1，有20人修筑一條公路，計劃15天完成，說明這條公路的工作總量是20×15=300，動工3天后抽出5人植樹，效率從20變為15，20人修3天完成了20×3=60，那么工作量還剩下300-60=240，這些剩下的工作量需要240÷15=16（天）完成，前后加起來，實際用了3+16=19（天）。

【小楊點睛】工作過程中工作主體數量變動，即是總工作效率發生變化。

★★（2015·國家·61）某農場有36臺收割機，要收割完所有的麥子需要14天時間。現收割了7天后增加4臺收割機，并通過技術改造使每臺機器的效率提升5%。問收割完所有的麥子還需要幾天？（　　）

A．3

B．4

C．5

D．6

【答案】D

【解析】比例法。由題意，原有收割機36臺，增加4臺后變為40臺，同時提高效率5%后，每天的效率相當于40×（1+5%）=42（臺）收割機的工作效率。前后效率比為36∶42=6∶7，前后工作量相等，故所用時間比為7∶6，還需6天即可完成。

★★★（2013·聯考上·50）早上7點兩組農民開始在麥田里收割麥子，其中甲組20人，乙組15人。8點半，甲組分出10人捆麥子；10點，甲組將本組所有已割的麥子捆好后，全部幫乙組捆麥子；如果乙組農民一直在割麥子，什么時候乙組所有已割的麥子能夠捆好？（假設每個農民的工作效率相同）（　　）

A．10:45

B．11:00

C．11:15

D．11:30

【答案】B

【解析】采用賦值法。設每個農民每小時割麥子的效率為1，由題意，甲組割麥子的總量為20×1.5+10×1.5=45，故每個農民捆麥子的效率為45÷1.5÷10=3；設從10點之后經過x小時，乙組的麥子全部捆好，故乙組割麥子的總量為15×（3+x），捆麥子的總量為20×3×x，可得15×（3+x）=20×3×x，解得x=1。故11:00時麥子可以全部捆好。

★★★（2014·河南·42）一組工人要完成相鄰2列火車的卸貨任務，其中卸完A列火車的貨物所需的時間是B列火車的2倍。他們從上午10點開始工作，全組人先一起卸載A列火車的貨物，到12:30時，分出一半人去卸載B列火車的貨物，14點時，A列火車的貨已卸載完，B列火車剩下的貨物需要14人共同工作1小時才能卸載完。如果該組工人每人的工作效率相同，則該組工人一共有多少人？（　　）

A．28

B．24

C．20

D．16

【答案】D

【解析】賦值每個工人的工作效率均為1，由題意可知，A的貨物量是B的2倍。設該組工人一共有2x人，根據題意有2x×2.5+1.5x=2×（1.5x+14），解得x=8，則2x=16。所以，該組工人一共有16人。選擇D。

★★（2014·廣州·36）有一項工程，甲公司花6天，乙公司再花9天可以完成；或者甲公司花8天，乙公司再花3天可以完成。如果這項工程由甲公司或乙公司單獨完成，則甲公司所需天數比乙公司少（　　）天。

A．15

B．18

C．24

D．27

【答案】B

【解析】首先分析兩公司的工作效率關系：整體來看，6甲+9乙=8甲+3乙，可得甲=3乙，即甲的工作效率是乙的3倍。賦值乙的工作效率為1，則甲的工作效率為3，可得工作總量為27，則甲單獨完成需要9天，乙單獨完成需要27天，兩公司相差18天。故本題選B。

【小楊點睛】沒有具體給出效率比或個體時間的，往往需要從整體入手算出效率之比。

★★☆（2015·天津·6）由于汛期暴雨某路段發生塌陷，要進行搶修，需在規定日期內完成，如果由甲工程隊修，恰好按期完成；如果由乙工程隊修，則要超過規定日期3天。結果兩個工程隊合作了2天，余下的部分由乙工程隊單獨做，正好在規定日期內完成。則規定日期的天數是（　　）。

A．4

B．5

C．6

D．7

【答案】C

【解析】首先分析兩隊的工作效率關系：從整個工期入手可知，乙隊做3天的工作量相當于甲隊做2天的工作量，說明甲、乙效率之比是時間的反比，即3∶2。可賦值甲隊效率是3、乙隊效率是2，設規定日期的天數是x，由題意有3×x=2×（x+3），解得x=6。故正確答案為C。

★★★（2014·山西·65）甲、乙、丙三個工廠承接A和B兩批完全相同的加工訂單，如果甲廠和乙廠負責A訂單而丙廠負責B訂單，則丙廠要比甲廠和乙廠晚15天完成；如果在上述條件下甲廠分配13的生產資源或者乙廠分配15的生產資源用于B訂單的生產，則A、B兩個訂單同時完成。問如果合并三個工廠的生產能力，第幾天可以完成A訂單的生產任務？（　　）

A．22

B．24

C．25

D．26

【答案】D

【解析】此題本質上為工程問題中給定效率比型題目。由第二個條件可知，轉移生產資源后兩個訂單中工廠的效率和相同，可得方程：，乙，聯立兩個方程可得，則工作效率之比為甲∶乙=3∶5。賦值甲的工作效率為3，乙的工作效率為5，代入兩個方程中的任一個可得到丙的效率為6。又由第一個條件設A、B訂單的工程量均為x，有x÷（3+5）+15=x÷6，解得x=360。那么三個工廠合作完成A訂單的時間為（天），則需要到第26天完成。故正確答案為D。

方程法

★★（2011·國家·77）同時打開游泳池的A、B兩個進水管，加滿水需1小時30分鐘，且A管比B管多進水180立方米。若單獨打開A管，加滿水需2小時40分鐘。則B管每分鐘進水多少立方米？（　　）

A．6

B．7

C．8

D．9

【答案】B

【解析】先將時間換算為90分鐘和160分鐘。設B管每分鐘進水x立方米，180÷90=2（立方米），則A管每分鐘進水（x+2）立方米，則有90[x+（x+2）]=160（x+2），解得x=7。故本題正確答案為B。

★★（2015·山西·60）某工廠接了一批訂單，要生產2400件產品。在開始生產10天后，由于工藝改進每天多生產30件產品，結果提前2天交貨。問該廠改進工藝前，每天能生產多少件產品？（　　）

A．100

B．120

C．150

D．180

【答案】B

【解析】設該廠改進工藝前每天生產產品x件，完成訂單所需天數是y，根據題意可列方程：10 x+（x+30）（y-10-2）=xy=2400，解得x=120。故正確答案為B。

★★（2014·江蘇A·39）甲、乙兩個工程隊共同修建一段長為2100千米的公路，甲隊每天比乙隊少修50千米，甲隊先單獨修3天，余下的路程與乙隊合修6天完成，則乙隊每天所修公路的長度是（　　）。

A．135千米

B．140千米

C．160千米

D．170千米

【答案】D

【解析】設甲的效率為x千米，則乙的效率為（x+50）千米，由題意列方程得：3x+（x+x+50）×6=2100，解方程得x=120，則乙的效率為170千米。答案為D。

★★☆（2014·天津·10）王明抄寫一份報告，如果每分鐘抄寫30個字，則用若干小時可以抄完。當抄完時，將工作效率提高40%，結果比原計劃提前半小時完成。問這份報告共有多少字？（　　）

A．6025字

B．7200字

C．7250字

D．5250字

【答案】D

【解析】根據“抄完”這一條件，2與5互質，可知報告總字數是5的倍數，不妨設報告總字數為5x，開始的效率為30，提高后的效率是當前效率的1.4倍，即42；由此可得：=，解得x=1050，則5x=5250。故選D。

★★☆（2014·山東·60）A、B、C三支施工隊在王莊和李莊修路，王莊要修路900米，李莊要修路1250米。已知A、B、C三隊每天分別能修路24米、30米、32米，A、C兩隊分別在王莊和李莊修路，B隊先在王莊，施工若干天后轉到李莊，兩地工程同時開始同時結束。問B隊在王莊工作了幾天？（　　）

A．9

B．10

C．11

D．12

【答案】B

【解析】三支工程隊完成兩項任務，共用時間為（天），設B隊在王莊工作x天，則有24×25+30x=900，解得x=10。故選B。

★★☆（2014·浙江·55）用a、b、c三種不同型號的客車送一批會議代表到火車站，用6輛a型車，5趟可以送完；用5輛a型車和10輛b型車，3趟可以送完；用3輛b型車和8輛c型車，4趟可以送完。問先由3輛a型車和6輛b型車各送4趟，剩下的代表還要由2輛c型車送幾趟？（　　）

A．3趟

B．4趟

C．5趟

D．6趟

【答案】B

【解析】運用方程法解題。假設三種型號的客車每輛每趟送人分別為a、b、c，根據題意可得6a×5=（5a+10b）×3=（3b+8c）×4，從而可求得a=2b，c=1.5b。則人數總量可表示為60b。最后一次送人，先送走的人數為（3a+6b）×4=48b，還剩下的人數為60b-48b=12b，所以還要由2輛c型車送12b÷（2×1.5b）=4（趟）。故本題選B。

★★★（2014·山西·53）甲、乙兩輛型號不同的挖掘機同時挖掘一個土堆，連續挖掘8小時即可將土堆挖平。現在先由甲單獨挖，5小時后乙也加入挖掘隊伍，又過了5小時土堆被挖平。已知甲每小時比乙多挖35噸土，則如果土堆單獨讓乙挖，需要多少小時？（　　）

A．10

B．12

C．15

D．20

【答案】D

【解析】甲每小時比乙多挖35噸，可假設甲的效率是（x+35），乙的效率是x。根據題目條件“甲、乙一起挖8小時可挖完”可知：工作總量=8（x+x+35）；再由“甲先挖5小時，乙也加入，再挖5小時可挖完”可知：工作總量=5（x+35）+5（x+x+35）。由此可得方程：8（x+x+35）=5（x+35）+5（x+x+35），解得x=70，則總量為8×（70+70+35）=1400（噸），因此由乙單獨挖需要1400÷70=20（小時）。故選D。