題型一 初等數(shù)學(xué)模塊

基礎(chǔ)計(jì)算

（一）整數(shù)類(lèi)計(jì)算

（2014·深圳·46）1995+1996+1997+1998+1999+2000的值為（　　）。

A．12987

B．12985

C．11988

D．11985

【答案】D

【解析】方法一：不考慮等差數(shù)列的話，可用運(yùn)算定律直接計(jì)算，原式=2000×6-1-2-3-4-5=11985。

方法二：等差數(shù)列六項(xiàng)的和=（1995+2000）×3=11985。故本題答案選D。

（2011·浙江·46）2011×201+201100-201.1×2910的值為（　　）。

A．20110

B．21010

C．21100

D．21110

【答案】A

【解析】原式=2011×201+2011×100-2011×291=2011×（201+100-291）=2011×10=20110。

（2011·安徽·1）計(jì)算：20+19-18-17+16+15-14-13+12+11-…+4+3-2-1=（　　）。

A．10

B．15

C．19

D．20

【答案】D

【解析】根據(jù)交換律和結(jié)合律，原式可分組為：20+（19-18-17+16）+（15-14-13+12）+（11-10-9+8）+（7-6-5+4）+3-2-1，括號(hào)內(nèi)的數(shù)字運(yùn)算后為0，所以原式=20+3-2-1=20。答案為D選項(xiàng)。

（2013·河北·41）1005×10061006-1006×10051005=（　　）。

A．0

B．100

C．1000

D．10000

【答案】A

【解析】1005×10061006-1006×10051005=1005×1006×10001-1006×1005×10001=0。正確答案為A。

（2010·安徽·6）2009×20082008-2008×20092009=（　　）。

A．0

B．1

C．2

D．3

【答案】A

【解析】原式=2009×（20080000+2008）-2008×（20090000+2009）=0。

本題也可采用尾數(shù)法計(jì)算：2009×20082008的尾數(shù)為2，2008×20092009的尾數(shù)也為2，所以差的尾數(shù)一定為0，只有A項(xiàng)符合。故選A。

（2014·新疆·56）（2+1）×（22+1）×（24+1）×（28+1）=（　　）。

A．215-1

B．215

C．216-1

D．216

【答案】C

【解析】方法一：添加因式利用平方差公式求解。原式=（2-1）×（2+1）×（22+1）×（24+1）×（28+1）=（22-1）×（22+1）×（24+1）×（28+1）=（24-1）×（24+1）×（28+1）=（28-1）×（28+1）=216-1。故選C。

方法二：原式是4個(gè)奇數(shù)相乘，由奇偶特性可得，結(jié)果必為奇數(shù)，故排除B、D兩項(xiàng)。由于（2+1）×（22+1）×（24+1）×（28+1）>2×22×24×28=215，排除A項(xiàng)。故選C。

（2014·北京·71）已知13+23+33+…+n3=（1+2+3+…+n）2，則13+33+53+…+193=（　　）。

A．19500

B．19900

C．20300

D．22500

【答案】B

【解析】13+33+53+…+193=13+23+33+43+53+…+193-（23+43+…+183）=（1+2+3+…+19）2-23×（13+23+33+…+93）=-23×（1+2+3+…+9）2=19900。故選B。

舉一反三

練習(xí)以下尾數(shù)類(lèi)計(jì)算：

1．12+22+32+…+1234567892的個(gè)位數(shù)是（　　）。

A．3

B．4

C．5

D．6 2．計(jì)算110.12+1210.32+1220.42+1260.82的值為（　　）。

A．4555940.8

B．4555940.9

C．4555941.18

D．4555940.29

3．2012的2012次方的末位數(shù)是（　　）。

A．2

B．4

C．6

D．8

4．的個(gè)位數(shù)是（　　）。

A．8

B．6

C．4

D．2

5．32010+42011+82012的個(gè)位數(shù)為（　　）。

A．9

B．8

C．6

D．4

1．C 【解析】本題采用尾數(shù)法。原式中12+22+32+…+102=1+4+9+…+100，算得尾數(shù)為5，由此可以推知原式所算出結(jié)果的個(gè)位數(shù)應(yīng)為5的倍數(shù)，即5或者0。選項(xiàng)中只有C選項(xiàng)滿足，故正確答案為C。

2．B 【解析】利用尾數(shù)法，*.12+*.32+*.42+*.82=*.01+*.09+*.16+*.64=*.90。故本題應(yīng)選B。

3．C 【解析】本題屬于乘方位數(shù)問(wèn)題。底數(shù)末位的數(shù)字為2，指數(shù)2012能被4整除，所以只要算24的末位數(shù)即可，由此可知末位數(shù)為6，本題答案為C。

4．A 【解析】原式可寫(xiě)為20132013×20142014，2013的n次方的尾數(shù)以3、9、7、1為周期循環(huán)，2013除以周期數(shù)4，余數(shù)為1，因此20132013尾數(shù)為周期的第一項(xiàng)3。2014的n次方的尾數(shù)以4、6為周期循環(huán)，指數(shù)2014除以周期數(shù)2，余數(shù)為0，因此20142014尾數(shù)為周期的最后一項(xiàng)6。兩者相乘，即3×6=18，尾數(shù)為8。因此，本題答案為A選項(xiàng)。

5．A 【解析】本題考查乘方尾數(shù)問(wèn)題。一個(gè)自然數(shù)冪的尾數(shù)是以4為周期循環(huán)的，則原式的尾數(shù)相當(dāng)于32+43+84的尾數(shù)，即9+4+6的尾數(shù)，故正確答案是A項(xiàng)。

（二）多位數(shù)問(wèn)題

1．多位數(shù)表示

多位數(shù)表示類(lèi)問(wèn)題直接求該多位數(shù)，直接求解往往比較困難，可以用代入排除快速解決。

（2009·江西·45）某次考試中，小林的準(zhǔn)考證號(hào)碼是個(gè)三位數(shù)，個(gè)位數(shù)字是十位數(shù)字的2倍，十位數(shù)字是百位數(shù)字的4倍，三個(gè)數(shù)字的和是13，則準(zhǔn)考證號(hào)碼是（　　）。

A．148

B．418

C．841

D．814

【答案】A

【解析】直接代入，由“個(gè)位數(shù)字是十位數(shù)字的2倍”排除B、C、D三項(xiàng)，選A。

（2012·江西·47）將一個(gè)三位數(shù)的個(gè)位數(shù)字和百位數(shù)字調(diào)換后所得的三位數(shù)與原三位數(shù)的和是1070，差是198，這個(gè)三位數(shù)是（　　）。

A．218

B．327

C．436

D．524

【答案】C

【解析】直接代入排除，C項(xiàng)，436+634=1070，634-436=198，滿足條件，答案選C。

★★（2011·浙江·57）一個(gè)三位數(shù)的各位數(shù)字之和是16。其中十位數(shù)字比個(gè)位數(shù)字小3。如果把這個(gè)三位數(shù)的百位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字對(duì)調(diào)，得到一個(gè)新的三位數(shù)，則新的三位數(shù)比原三位數(shù)大495，則原來(lái)的三位數(shù)是多少？（　　）

A．169

B．358

C．469

D．736

【答案】B

【解析】直接代入：各位數(shù)字之和為16，C項(xiàng)各數(shù)字相加和為19，首先排除。然后把A、B、D三項(xiàng)的百位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字對(duì)調(diào)，A項(xiàng)961比169大700多，D項(xiàng)637比736要小，只有B項(xiàng)正確。

★（2014·廣東·42）一名顧客購(gòu)買(mǎi)兩件均低于100元的商品，售貨員在收款時(shí)錯(cuò)將其中一件商品標(biāo)價(jià)的個(gè)位數(shù)和十位數(shù)弄反了，該顧客因此少付了27元。被弄錯(cuò)價(jià)格的這件商品的標(biāo)價(jià)不可能是（　　）元。

A．42

B．63

C．85

D．96

【答案】A

【解析】多位數(shù)問(wèn)題，適合代入排除法。代入A項(xiàng)，42-24=18，可知少付18元，與題意不符。故本題正確答案為A。

★★（2013·山東·53）某工廠生產(chǎn)的零件總數(shù)是一個(gè)三位數(shù)，平均每個(gè)車(chē)間生產(chǎn)了35個(gè)。統(tǒng)計(jì)員在記錄時(shí)粗心地將該三位數(shù)的百位與十位數(shù)字對(duì)調(diào)了，結(jié)果統(tǒng)計(jì)的零件總數(shù)比實(shí)際總數(shù)少了270個(gè)。問(wèn)該工廠所生產(chǎn)的零件總數(shù)最多可能有多少個(gè)？（　　）

A．525

B．630

C．855

D．960

【答案】B

【解析】代入排除法。平均每個(gè)車(chē)間生產(chǎn)35個(gè)，總數(shù)可以被7整除，由此排除C、D項(xiàng)。題目問(wèn)最多有多少個(gè)，先代入較大的數(shù)字。若總數(shù)為630個(gè)，則數(shù)字對(duì)調(diào)后為360，630-360=270（個(gè)），恰好滿足題意。因此，本題答案為B。

2．多位數(shù)統(tǒng)計(jì)

多位數(shù)統(tǒng)計(jì)類(lèi)問(wèn)題求滿足題目條件的多位數(shù)的個(gè)數(shù)，難度較大，基本使用枚舉法討論。

★★（2014·河北·42）從2000到6000的自然數(shù)中，不含數(shù)字5的自然數(shù)有多少個(gè)？（　　）

A．2188個(gè)

B．2187個(gè)

C．1814個(gè)

D．1813個(gè)

【答案】A

【解析】千位為6的數(shù)字只有6000一個(gè)，因此只需找到2000—5999之間不含數(shù)字5的組合，千位上數(shù)字有2、3、4三種選擇，百位、十位、個(gè)位分別有9種選擇（0，1，2，3，4，6，7，8，9），因此共有3×9×9×9=2187（個(gè)）數(shù)，再加上數(shù)字6000，共有2188個(gè)數(shù)字。因此，本題答案為A選項(xiàng)。

★★（2014·山西·56）數(shù)字3、5至少都出現(xiàn)一次的三位數(shù)有多少個(gè)？（　　）

A．48

B．52

C．54

D．60

【答案】B

【解析】據(jù)題意可將此排列組合分為3類(lèi)：（1）百位數(shù)不是3且不是5：則百位數(shù)不能是3、5、0，有7種選擇，而十位數(shù)和個(gè)位數(shù)就是3和5，排序放在十位和個(gè)位即可，是，由此第一類(lèi)是;（2）百位是3：則5必須處于十位或者個(gè)位，有2種選擇，剩下的一位從0—10當(dāng)中去選擇即可。共有2×10=20（種），但是有一種重復(fù)的情況需剔除：355。因此實(shí)際上有20-1=19（種）。（3）百位是5：與百位是3的情況是完全相同的，故也有19種。因此，符合題意的情況共有14+19+19=52（種），故選B。

★★（2014·天津·8）小張練習(xí)寫(xiě)數(shù)碼，從1，2，3……連續(xù)寫(xiě)至1000多才停止。寫(xiě)完一數(shù)，共寫(xiě)了3201個(gè)數(shù)碼。請(qǐng)問(wèn)，小張寫(xiě)的最后一個(gè)數(shù)是多少？（　　）

A．1032

B．1056

C．1072

D．1077

【答案】D

【解析】枚舉法。一位數(shù)：1到9每個(gè)數(shù)有1個(gè)數(shù)碼，共9個(gè)數(shù)碼；兩位數(shù)：從10到99，每個(gè)數(shù)有2個(gè)數(shù)碼，共2×90=180個(gè)數(shù)碼；三位數(shù)100到999，每個(gè)數(shù)有3個(gè)數(shù)碼，共3×900=2700個(gè)數(shù)碼。所以從1到999共寫(xiě)了9+180+2700=2889個(gè)數(shù)碼，所以四位數(shù)應(yīng)該共有3201-2889=312個(gè)數(shù)碼，也就是說(shuō)共有312÷4=78個(gè)四位數(shù)，即從1000到1077，故選D。

★★★（2012·貴州·32）一個(gè)三位自然數(shù)，把它十位上的數(shù)字去掉后變成的兩位數(shù)是原來(lái)三位數(shù)的。問(wèn)這樣的三位數(shù)有幾個(gè)？（　　）

A．0

B．1

C．2

D．3

【答案】B

【解析】設(shè)三位自然數(shù)的百位數(shù)為a，十位數(shù)為b，個(gè)位數(shù)為c，根據(jù)題意有：100a+10b+c=7（10a+c），整理得：30a+10b=6c，30a和10b均是5的倍數(shù)，則6c也是5的倍數(shù)，則c只能為0和5。當(dāng)c=0時(shí)，不符合題意。當(dāng)c=5時(shí)，3a+b=3，則只有a=1、b=0時(shí)符合題意。故本題選B。

★★★（2014·山西·64）小明和小華計(jì)算甲、乙兩個(gè)不同自然數(shù)的積（這兩個(gè)自然數(shù)都比1大）。小明把較大的數(shù)字的個(gè)位數(shù)錯(cuò)看成了一個(gè)更大的數(shù)字，其計(jì)算結(jié)果為144，小華卻把乘號(hào)看成了加號(hào)，其計(jì)算結(jié)果為28。問(wèn)兩個(gè)數(shù)的差為（　　）。

A．16

B．12

C．8

D．4

【答案】A

【解析】本題適宜使用代入排除法。設(shè)兩數(shù)為X與Y，依次驗(yàn)證選項(xiàng)即可，A選項(xiàng)驗(yàn)證過(guò)程如下：若X-Y=16，又由題有X+Y=28，解得：X=22，Y=6，那么如果把22的個(gè)位數(shù)看成4的話，用24×6=144，故A選項(xiàng)符合題意，為正確選項(xiàng)；將B選項(xiàng)代入，則X-Y=12，X+Y=28，解得：X=20，Y=8，那么無(wú)法將20錯(cuò)看成18，以得到144的積，故B選項(xiàng)不正確；將C選項(xiàng)代入，則X-Y=8，X+Y=28，解得：X=18，Y=10，不管將18看成哪個(gè)自然數(shù)都無(wú)法與10相乘得到144，故C選項(xiàng)不正確；將D選項(xiàng)代入，則X-Y=4，X+Y=28，解得：X=16，Y=12，無(wú)法將16看成12，以得到144的積，故D選項(xiàng)不正確。所以正確答案為A。

（三）小數(shù)分?jǐn)?shù)類(lèi)計(jì)算

★（2012·安徽·57（　　）。

A．98

B．99

C．100

D．101

【答案】C

【解析】基礎(chǔ)計(jì)算，運(yùn)用運(yùn)算定律和分?jǐn)?shù)小數(shù)的運(yùn)算法則即可。

。故本題應(yīng)選C。

★（2014·浙江·46）的值為（　　）。

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【解析】基礎(chǔ)計(jì)算，運(yùn)用運(yùn)算定律和分?jǐn)?shù)小數(shù)的運(yùn)算法則即可。

原式====。

★★☆（2012·浙江·46），，，這四個(gè)數(shù)中，最大的數(shù)為最小的數(shù)的幾倍？（　　）

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】基礎(chǔ)計(jì)算，但有一定難度。將，，通分為分母為39的分?jǐn)?shù)，分子分別是13，12，14。將化為，可以看出。因此最大的數(shù)是，最小的數(shù)是，最大數(shù)是最小數(shù)的倍。

★（2009·江蘇B·72+…=（　　）。

A．0

B．0.5

C．1

D．2

【答案】C

【解析】裂項(xiàng)計(jì)算求和問(wèn)題，+…=1。

★（2011·河北·50）的值為（　　）。

A．

B．

C．3

D．

【答案】C

【解析】裂項(xiàng)計(jì)算求和問(wèn)題，，故選C。

★★（2011·安徽·3）計(jì)算：（　　）。

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】規(guī)律尋找類(lèi)，原式可以轉(zhuǎn)化為：，通過(guò)觀察可以發(fā)現(xiàn)，第n個(gè)數(shù)字和第（n+3）個(gè)數(shù)字的乘積為1（1≤n≤195，且n為奇數(shù)）。所以，最后各個(gè)項(xiàng)相乘余下，正確答案為B。

★★（2009·聯(lián)考上·91）計(jì)算=（　　）。

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】規(guī)律尋找類(lèi)，可發(fā)現(xiàn)每一項(xiàng)都接近。

原 式 =。因此，本題答案選擇C選項(xiàng)。

★★（2013·江蘇B·93）有一個(gè)分?jǐn)?shù)，分子與分母的和是100，如果分子加23、分母加32，新的分?jǐn)?shù)約分后是，則原來(lái)的分?jǐn)?shù)是（　　）。

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】本題可采用代入法。四個(gè)選項(xiàng)的分子與分母的和都是100，A項(xiàng)分子加23、分母加32后約分為，排除。B項(xiàng)分子加23、分母加32后為，排除。C項(xiàng)分子加23、分母加32后為，排除C。至此可確定答案為D項(xiàng)。對(duì)D項(xiàng)進(jìn)行驗(yàn)證，D項(xiàng)分子加23、分母加32后為，約分后是。

★★（2010·聯(lián)考下·27）已知，A、B為自然數(shù)，且A≥B，那么A有幾個(gè)不同的值？（　　）

A．2

B．3

C．4

D．5

【答案】B

【解析】需要轉(zhuǎn)換不等式，由A≥B，且A、B均為自然數(shù)可得：，從而推出：，即，又由A、B均為自然數(shù)推出：，綜合可得：，故，B為自然數(shù)，所以B可為4，5，6，7，代入可得：當(dāng)B=4時(shí)，A=60；當(dāng)B=5時(shí)，A=15；當(dāng)B=6時(shí)，A=10；當(dāng)B=7時(shí)，A不是自然數(shù)。故有3組解，B項(xiàng)為正確答案。

（四）無(wú)理數(shù)計(jì)算

★★（2009·聯(lián)考下·91）的值是（　　）。

A．2

B．2

C．8

D．3

【答案】B

【解析】 原式=

【小楊點(diǎn)睛】無(wú)理數(shù)的計(jì)算往往要先分母有理化，即通過(guò)運(yùn)算使分母變成有理數(shù)。

（五）代數(shù)式計(jì)算

★★（2008·國(guó)家·46）若x，y，z是三個(gè)連續(xù)的負(fù)整數(shù)，并且x>y>z，則下列表達(dá)式是正奇數(shù)的是（　　）。

A．yz-x

B．（x-y）（y-z）C.x-yz

D．x（y+z）

【答案】B

【解析】尋找一組特殊解，滿足題干即可。可假設(shè)x、y、z分別是-1、-2、-3，代入四個(gè)選項(xiàng)驗(yàn)證，A為7，B為1，C為-7，D為5，排除C項(xiàng)。再假設(shè)一組-2、-3、-4，A是14，B是1，D是14，排除A、D兩項(xiàng)。

常規(guī)解法：由題干可得x-y=y-z=1，得到（x-y）（y-z）=1。故選B。

★★（2009·江蘇C·11）x-y=1，x 3-3 xy-y 3=（　　）。

A．1

B．2

C．3

D．5

【答案】A

【解析】尋找一組特殊解，滿足上述方程即可。特殊解x=1，y=0，代入x3-3xy-y3=1。

常規(guī)解法：x3-y3-3xy=（x-y）（x2+xy+y2）-3xy=x2-2xy+y2=（x-y）2=1。故選A。

★★（2014·江蘇A·35）已知實(shí)數(shù)x，y滿足：3（x2+y2+1）=（x-y+1）2，x2013+y2014=（　　）。

A．0

B．2

C．1

D．3

【答案】B

【解析】尋找一組特殊解，滿足上述方程即可，當(dāng)x=1，y=-1的時(shí)候，左右兩邊都等于9，則12013+（-1）2014=2。

★★（2009·江蘇C·12，則a2+b2+c2=（　　）。

A．14

B．15

C．3

D．1

【答案】A

【解析】由題干可知：a≥0，b≥1，c≥2，取特殊解a=1，b=2，c=3，1+2+3=6=2×（1+1+1）=6。代入所求代數(shù)式，12+22+32=14，故選A項(xiàng)。

★★（2008·國(guó)家·47）已知，那么x的值是（　　）。

A．

B．

【答案】B

【解析】。

C．

D．

★★（2011·浙江·48）設(shè)用小數(shù)來(lái)表示時(shí)其小數(shù)點(diǎn)后第2010個(gè)數(shù)字為a，且—b—=b+2010，則—2b+10a—-（b+5a）的值為（　　）。

A．2400

B．2600

C．2800

D．3000

【答案】D

【解析】，小數(shù)部分以6個(gè)數(shù)字為周期循環(huán)出現(xiàn)，2010÷6=335，所以第2010個(gè)數(shù)字是1，即a=1；由—b—=b+2010可得，b=-1005。代入—2b+10a—-（b+5a）得結(jié)果為3000。

★★☆（2009·江蘇A·13）已知a2+a+1=0，則a2008+a2009+1=（　　）。

A．0

B．1

C．2

D．3

【答案】A

【解析】本題解為虛數(shù)，不能尋得特殊實(shí)數(shù)解，故可使用立方差公式：由a2+a+1=0，則（a-1）（a2+a+1）=0，可得a3-1=0，即a3=1，則原式=a2007（a2+a）+1，因?yàn)?span id="ckpskds" class="italic">a2007=（a3）669=1，原式=a2+a+1=0。

定義運(yùn)算及創(chuàng)新運(yùn)算

★（2013·江蘇C·27）如x⊕y=x2+y2，則3⊕1⊕3=（　　）。

A．109

B．100

C．120

D．160

【答案】A

【解析】符號(hào)運(yùn)算題。3⊕1=32+12=10，10⊕3=102+32=109，故選A。

★（2011·浙江·47）a☉b=4a+3b，若5☉（6☉x）=110，則x的值為（　　）。

A．5

B．4

C．3

D．2

【答案】D

【解析】根據(jù)運(yùn)算規(guī)則，原式=4×5+3×（4×6+3x）=110，解得x=2。

★（2010·浙江·80）定義4△5=4+5+6+7+8=30，7△4=7+8+9+10=34，按此規(guī)律，（26△15）+（10△3）的值為（　　）。

A．528

B．525

C．423

D．420

【答案】A

【解析】（26△15）+（10△3）=（26+27+28+…+39+40）+（10+11+12）=33×15+33=528，故本題選A。

★★（2009·江蘇B·71）對(duì)任意實(shí)數(shù)a、b、c，定義運(yùn)算a*b*c=ab-bc+ca，若1*x*2=2，則x=（　　）。

A．2

B．-2

C．0

D．±1

【答案】D

【解析】因?yàn)?span id="jeu337s" class="italic">a*b*c=ab-bc+ca，所以1*x*2=1 x-x 2+21=2，解得x=± 1。

★★（2009·江蘇A·12）對(duì)正實(shí)數(shù)定義運(yùn)算“*”：若a≥b，則a*b=b3；若a<b，則a*b=b2。由此可知，方程3*x=27的解是（　　）。

A．1

B．9

C．

D．3，

【答案】D

【解析】直接將各項(xiàng)代入方程中，A、C兩項(xiàng)的解屬于題干中“a≥b”的情況，根據(jù)新定義的運(yùn)算，3*x=x3，均不等于27，排除A、C兩項(xiàng)。B項(xiàng)的解屬于“a<b”的情況，則3*x=x2，也不等于27，排除。D項(xiàng)為方程的解。

★★（2013·江蘇A·36）設(shè)x⊕y=2 x+3 y，x☉y=xy，且x、y均為正整數(shù)，若當(dāng)x☉y=6時(shí)，x⊕y取得最小值，則x等于（　　）。

A．2

B．6

C．4

D．3

【答案】D

【解析】根據(jù)題意可得：xy=6，則；若2x+3y最小，則為最小。當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值，得x=3。故答案為D。

★★（2014·河北·52）科技館為某機(jī)器人編制一段程序，如果機(jī)器人在平地上按照下圖中所示的步驟行走，那么該機(jī)器人所走的總路程為多少米？（　　）

A．20米

B．15米

C．12米

D．10米

【答案】A

【解析】機(jī)器人所走過(guò)的路線呈一個(gè)正多邊形，設(shè)該多邊形為正n邊形，則該正多邊形的內(nèi)角為180°-18°=162°，又正多邊形的內(nèi)角和為（n-2）×180°，故（n-2）×180°=n×162°，解得n=20。機(jī)器人所走過(guò)的路程為該正二十邊形的周長(zhǎng)，其邊長(zhǎng)為1米，故周長(zhǎng)為20米。

★★（2014·浙江·47）對(duì)分?jǐn)?shù)進(jìn)行操作，每次分母加15，分子加7，問(wèn)至少經(jīng)過(guò)幾次這樣的操作能使得到的分?jǐn)?shù)不小于?（　　）

A．46次

B．47次

C．48次

D．49次

【答案】C

【解析】設(shè)經(jīng)過(guò)x次操作能使得到的分?jǐn)?shù)不小于，根據(jù)題意可得，解得x≥47.25，因此選擇C選項(xiàng)。

★☆（2011·浙江·49）在平面直角坐標(biāo)系中，如果點(diǎn)P（3a-9，1-a）在第三象限內(nèi)，且橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都是整數(shù)，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是（　　）。

A．（-1，-3）

B．（-3，-1）

C．（-3，2）

D．（-2，-3）

【答案】B

【解析】第三象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)均為負(fù)值，故3a-9<0，1-a<0，解得1<a<3，由橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都是整數(shù)可知，a=2，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)是（-3，-1）。

★★（2014·天津·12）在右圖小空格中已填上了1及7兩個(gè)自然數(shù)，如果其他空格也填上相應(yīng)不同的數(shù)，使得任意一個(gè)橫行、任意一個(gè)縱列以及任意一條對(duì)角線上的3個(gè)數(shù)之和都等于111。請(qǐng)問(wèn)，位于中間的小空格里應(yīng)填的數(shù)是（　　）。

A．61

B．53

C．41

D．37

【答案】D

【解析】此題是數(shù)獨(dú)的一個(gè)變形。設(shè)中間為x，則如下圖，第一步先求得第三列第二行為110-x；第二步再求得第三列第一行為x-6，第一列第一行為104-x；第三步求得第一列第三行為x+6。由此x+6+x+x-6=111，則x=37，故選D。

約數(shù)倍數(shù)問(wèn)題

（一）約數(shù)計(jì)算

★（2014·河南·31）正整數(shù)a乘以1080得到一個(gè)完全平方數(shù)，問(wèn)a的最小值是（　　）。

A．15

B．10

C．30

D．60

【答案】C

【解析】將1080進(jìn)行因式分解，可得1080=36×30，36已經(jīng)是個(gè)完全平方數(shù)，所以要想1080乘以a之后是個(gè)完全平方數(shù)，則a最小應(yīng)該為30。故答案選C。

★（2007·國(guó)家·48）把144張卡片平均分成若干盒，每盒在10張到40張之間，則共有（　　）種不同的分法。

A．4

B．5

C．6

D．7

【答案】B

【解析】題干實(shí)質(zhì)上是求144在10到40之間有多少個(gè)約數(shù)。將144進(jìn)行因式分解，144=2×2×2×2×3×3，從拆分的結(jié)果可以看出在10到40之間能夠被144整除的有12，16，18，24，36。所以本題正確答案為B。

★（2012·安徽·68）如下圖所示，街道X YZ在Y處拐彎，X Y=1125米，YZ=855米，在街道一側(cè)等距裝路燈，要求X，Y，Z處各裝一盞路燈，這條街道最少要安裝多少盞路燈？（　　）

A．47

B．46

C．45

D．44

【答案】C

【解析】路燈之間的間距應(yīng)該是1125和855的公約數(shù)；要求路燈最少，即間距要最大，求最大公約數(shù)。1125和855的最大公約數(shù)為45，1125÷45=25，855÷45=19，因此需要安裝路燈25+19+1=45（盞），故本題應(yīng)選C。

★（2013·河北·42）施工隊(duì)要在一東西長(zhǎng)600米的禮堂頂部沿東西方向安裝一排吊燈，根據(jù)施工要求，必須在距西墻375米處安裝一盞，并且各吊燈在東西墻之間均勻排列（墻角不能裝燈）。該施工隊(duì)至少需要安裝多少盞吊燈？（　　）

A．6

B．7

C．8

D．9

【答案】B

【解析】由于要在距離西墻375米處安裝一盞燈，而600和375的最大公約數(shù)為75，600÷75=8，墻角不能安裝，故至少需要安裝7盞。正確答案為B。

★（2011·廣州·39）用一張長(zhǎng)1007毫米、寬371毫米的長(zhǎng)方形紙，剪成多個(gè)面積相等且盡可能大的正方形。長(zhǎng)方形紙最后沒(méi)有剩余，則這些正方形的邊長(zhǎng)是（　　）毫米。

A．19

B．53

C．79

D．106

【答案】B

【解析】要使長(zhǎng)方形紙沒(méi)有剩余，且剪成面積相等且盡可能大的正方形，則正方形的邊長(zhǎng)應(yīng)為1007和371的最大公約數(shù)，即53毫米。故選B。

★★（2014·廣東·41）在一條新修的道路兩側(cè)各安裝了33座路燈，每側(cè)相鄰路燈之間的距離相同。為提高照明亮度，有關(guān)部門(mén)決定在該道路兩側(cè)共加裝16座路燈，要使加裝后相鄰路燈之間的距離也相同，最多有（　　）座原來(lái)的路燈不需要挪動(dòng)。

A．9

B．10

C．18

D．20

【答案】C

【解析】根據(jù)題意可知先前道路每邊安裝了33座路燈，所以道路總長(zhǎng)s=32n（n為相鄰路燈的間隔），后每邊各加了8座路燈，可知每邊安裝了41座路燈，所以道路的總長(zhǎng)s=40m（m為后來(lái)的相鄰路燈間隔），由此假設(shè)道路總長(zhǎng)是32與40的最小公倍數(shù)。故令總長(zhǎng)s=160米，從而n=5米，m=4米，則每邊不需移動(dòng)的相鄰路燈之間的間隔應(yīng)該是20的整數(shù)倍，有距起點(diǎn)0米，20米，40米，60米，80米，100米，120米，140米和160米位置上的路燈不用移動(dòng)，總共9座。則兩邊總共有18座路燈不用移動(dòng)。故本題的正確答案為C。

★★（2015·廣東·33）在400米的環(huán)形跑道上每隔16米插一面彩旗。現(xiàn)在要增加一些彩旗，并且保持每?jī)擅嫦噜彶势斓木嚯x相等，起點(diǎn)的一面彩旗不動(dòng)，重新插完后發(fā)現(xiàn)共有5面彩旗沒(méi)有移動(dòng)，則現(xiàn)在彩旗間的間隔最大可達(dá)到（　　）米。

A．15

B．12

C．10

D．5

【答案】C

【解析】增加彩旗數(shù)量后，發(fā)現(xiàn)有5面彩旗沒(méi)有移動(dòng)，則增加前的間距和增加彩旗之后的間距的最小公倍數(shù)是400÷5=80。以前的間距是16米，代入排除四個(gè)選項(xiàng)，發(fā)現(xiàn)只有C、D與16的最小公倍數(shù)為80米，題目要求間隔最大，應(yīng)該是10。故正確答案為C選項(xiàng)。

（二）倍數(shù)計(jì)算

★（2014·山東·52）甲、乙、丙三個(gè)辦公室的職工參加植樹(shù)活動(dòng)，三個(gè)辦公室人均植樹(shù)分別為4、5、6棵，且三個(gè)辦公室植樹(shù)總數(shù)彼此相等。問(wèn)這三個(gè)辦公室總共至少有多少名職工？（　　）

A．37

B．53

C．74

D．106

【答案】A

【解析】每個(gè)辦公室植樹(shù)總數(shù)=人均×人數(shù)，總數(shù)相等，說(shuō)明總數(shù)是人均數(shù)量的公倍數(shù)。問(wèn)至少有多少名職工，即總數(shù)最少，求最小公倍數(shù)。4、5、6的最小公倍數(shù)為60，所以三個(gè)辦公室至少要植60棵樹(shù)，因此三個(gè)辦公室人數(shù)分別為15、12、10人，總?cè)藬?shù)至少為37人，答案為A。

★（2011·聯(lián)考上·49）有甲、乙、丙三輛公交車(chē)于上午8:00同時(shí)從公交總站出發(fā)，三輛車(chē)再次回到公交總站所用的時(shí)間分別為40分鐘、25分鐘和50分鐘。假設(shè)這三輛公交車(chē)中途不休息，請(qǐng)問(wèn)它們下次同時(shí)到達(dá)公交總站將會(huì)是幾點(diǎn)？（　　）

A．11點(diǎn)20分

B．11點(diǎn)整

C．11點(diǎn)40分

D．12點(diǎn)整

【答案】A

【解析】因?yàn)?0，25，50的最小公倍數(shù)為200，因此經(jīng)過(guò)200分鐘后三輛公交車(chē)會(huì)同時(shí)到達(dá)公交總站，即它們下次同時(shí)到達(dá)公交總站時(shí)間為11點(diǎn)20分。故正確答案為A。

★★（2011·安徽·7）有一種紅磚，長(zhǎng)24厘米，寬12厘米，高5厘米，至少用多少塊紅磚才能拼成一個(gè)實(shí)心的正方體？（　　）

A．600塊

B．800塊

C．1000塊

D．1200塊

【答案】D

【解析】已知紅磚的長(zhǎng)為24厘米，寬為12厘米，高為5厘米，那么為了拼成一個(gè)實(shí)心的正方體，該正方體的邊長(zhǎng)必須為24，12，5的公倍數(shù)，則正方體邊長(zhǎng)最小為24，12，5的最小公倍數(shù)，即120厘米。此時(shí)需紅磚數(shù)量為1203÷（24×12×5）=1200（塊）。正確答案為D選項(xiàng)。

★★（2008·國(guó)家·59）甲、乙、丙、丁四個(gè)人去圖書(shū)館借書(shū)，甲每隔5天去一次，乙每隔11天去一次，丙每隔17天去一次，丁每隔29天去一次，如果5月18日他們四個(gè)人在圖書(shū)館相遇，問(wèn)下一次四個(gè)人在圖書(shū)館相遇是幾月幾號(hào)？（　　）

A．10月18日

B．10月14日

C．11月18日

D．11月14日

【答案】D

【解析】兩次相遇之間的天數(shù)應(yīng)該是每個(gè)人每N天去一次的N的倍數(shù)。每隔N天去一次相當(dāng)于每（N+1）天去一次，說(shuō)明此四人每6，12，18，30天去一次圖書(shū)館，6，12，18，30的最小公倍數(shù)為180，所以他們下一次相遇應(yīng)該是180天之后。5月18日后的第180天應(yīng)該是11月14日（因?yàn)槿绻總€(gè)月按30天計(jì)算，180天有6個(gè)月，應(yīng)該為11月18日，但中間多出來(lái)5月31日，7月31日，8月31日，10月31日這四個(gè)大月當(dāng)中的31號(hào)，所以應(yīng)該往前推4天，即11月14日），所以選擇D。

★★（2010·聯(lián)考下·28）一副撲克牌有52張，最上面一張是紅桃A。如果每次把最上面的10張移到最下面而不改變它們的順序及朝向，那么，至少經(jīng)過(guò)多少次移動(dòng)，紅桃A會(huì)出現(xiàn)在最上面？（　　）

A．27

B．26

C．25

D．24

【答案】B

【解析】每次移動(dòng)的撲克都是10張，所以總移動(dòng)數(shù)肯定是10的倍數(shù)；要想紅桃A再次出現(xiàn)在最上面，我們的總移動(dòng)數(shù)還必須是52的倍數(shù)。10和52的最小公倍數(shù)是260，那么移動(dòng)260張撲克后，紅桃A再次出現(xiàn)在最上面。總共移動(dòng)了260÷10=26（次）。

★★（2011·聯(lián)考下·57）1路、2路和3路公交車(chē)都是從8點(diǎn)開(kāi)始經(jīng)過(guò)A站后走相同的路線到達(dá)B站，之后分別是每30分鐘、40分鐘和50分鐘就有1路、2路和3路車(chē)到達(dá)A站。在傍晚17點(diǎn)05分有位乘客在A站等候準(zhǔn)備前往B站，他先等到幾路車(chē)？（　　）

A．1路

B．2路

C．3路

D．2路和3路

【答案】C

【解析】30，40，50的最小公倍數(shù)是600，600分鐘合10個(gè)小時(shí)，說(shuō)明18點(diǎn)整時(shí)三路車(chē)同時(shí)到達(dá)A站，往前推一趟易知1路車(chē)17點(diǎn)30分到，2路車(chē)17點(diǎn)20分到，3路車(chē)17點(diǎn)10分到，則乘客先等到3路車(chē)。故選C項(xiàng)。

余數(shù)問(wèn)題

★（2010·聯(lián)考下·26）在一個(gè)除法算式里，被除數(shù)、除數(shù)、商和余數(shù)之和是319，已知商是21，余數(shù)是6，問(wèn)被除數(shù)是多少？（　　）

A．237

B．258

C．279

D．290

【答案】C

【解析】本題考查的是余數(shù)的基本定義。被除數(shù)減去余數(shù)后應(yīng)該正好是除數(shù)與商之積，可知319包含：除數(shù)與商之積+余數(shù)、除數(shù)、商、余數(shù)。即除數(shù)=（319-6-21-6）÷（21+1）=13。那么被除數(shù)是13×21+6，尾數(shù)法判定為9，只有C選項(xiàng)符合。

【小楊點(diǎn)睛】余數(shù)問(wèn)題看似復(fù)雜，但只要抓住核心本質(zhì)即可：（被除數(shù)-余數(shù)）÷除數(shù)=商。

★（2013·江蘇B·91）三位數(shù)A除以51，商是a（a是正整數(shù)），余數(shù)是商的一半，則A的最大值是（　　）。

A．927

B．928

C．929

D．990

【答案】A

【解析】本題可采用代入排除法。代入A項(xiàng)，927÷51=18……9，符合題意。故本題選A。

【小楊點(diǎn)睛】答案直接給出所求數(shù)字，首先考慮代入排除。

★★（2011·上海A·61）韓信故鄉(xiāng)淮安民間流傳著一則故事——“韓信點(diǎn)兵”。秦朝末年，楚漢相爭(zhēng)。有一次，韓信率1500名將士與楚軍交戰(zhàn)，戰(zhàn)后檢點(diǎn)人數(shù)，他命將士3人一排，結(jié)果多出2名；命將士5人一排，結(jié)果多出3名；命將士7人一排，結(jié)果又多出2名，用兵如神的韓信立刻知道剩余將士人數(shù)。已知剩余將士人數(shù)是下列四個(gè)數(shù)字中的一個(gè)，則該數(shù)字是（　　）。

A．868

B．998

C．1073

D．1298

【答案】C

【解析】采用代入排除法，分別將各個(gè)選項(xiàng)的數(shù)值除以3，5和7，如果余數(shù)分別為2，3和2，那么便是正確答案。由此可以得出，正確答案為C選項(xiàng)。

★★（2014·廣東·44）在某公司年終晚會(huì)上，所有員工分組表演節(jié)目。如果按7男5女搭配分組，則只剩下8名男員工；如果按9男5女搭配分組，只剩下40名女員工。該公司員工總數(shù)為（　　）名。

A．446

B．488

C．508

D．576

【答案】B

【解析】題目可以簡(jiǎn)化為：總員工數(shù)除以（7+5）余8，除以（9+5）余40。結(jié)合選項(xiàng)代入，總數(shù)減去8能被12整除，即可排除A、C、D三項(xiàng)。可知488符合題意。故本題正確答案為B。

★★☆（2014·聯(lián)考上·61）某單位組織參加理論學(xué)習(xí)的黨員和入黨積極分子進(jìn)行分組討論，如果每組分配7名黨員和3名入黨積極分子，則還剩下4名黨員未安排；如果每組分配5名黨員和2名入黨積極分子，則還剩下2名黨員未安排。問(wèn)參加理論學(xué)習(xí)的黨員比入黨積極分子多多少人？（　　）

A．16

B．20

C．24

D．28

【答案】B

【解析】利用數(shù)字特性法代入：第二次分配每組黨員比入黨積極分子多3人，最后還多2名黨員，設(shè)第二次分配分成x組，則說(shuō)明黨員比積極分子多的人數(shù)可以表示為3x+2，即多的人數(shù)減去2是3的倍數(shù)，結(jié)合選項(xiàng)，只有B項(xiàng)符合。

★（2010·浙江·77）有一個(gè)自然數(shù)“x”，除以3的余數(shù)是2，除以4的余數(shù)是3，問(wèn)“x”除以12的余數(shù)是多少？（　　）

A．1

B．5

C．9

D．11

【答案】D

【解析】同余口訣。除以3的余數(shù)是2，除以4的余數(shù)是3，除數(shù)與余數(shù)的差相同，“差同減差”再“最小公倍加”，x可表示為12N-1，除以12余數(shù)為11。故正確答案是D。

★（2009·北京社招·15）某生產(chǎn)車(chē)間有若干名工人，按每四個(gè)人一組分多一個(gè)人，按每五個(gè)人一組分也多一個(gè)人，按每六個(gè)人一組分還是多一個(gè)人，該車(chē)間至少有多少名工人？（　　）

A．31

B．41

C．61

D．122

【答案】C

【解析】同余口訣。按每四個(gè)人一組分多一個(gè)人，按每五個(gè)人一組分也多一個(gè)人，按每六個(gè)人一組分還是多一個(gè)人，“余同取余”再“最小公倍加”，車(chē)間的工人數(shù)滿足60n+1，n=1時(shí)最小值為61人，因此本題選C。

比較一下代入排除：4人一組多一個(gè)，排除A、D;6人一組多一個(gè)，排除B。直接選擇C。可見(jiàn)能代入排除的情況下代入排除更直接迅速。

★★（2011·安徽·4）在1000以內(nèi)，除以3余2，除以7余3，除以11余4的數(shù)有多少個(gè)？（　　）

A．4

B．5

C．6

D．7

【答案】B

【解析】本題不適合使用口訣，因此使用特值。11n+4，從最小值起是15、26、37、48、59…符合這三個(gè)條件的最小自然數(shù)是59，那么通項(xiàng)為N=231n+59≤1000，其中n≥0且為整數(shù)，解得n=0，1，2，3，4。故選B。