題型一 初等數學模塊

基礎計算

（一）整數類計算

（2014·深圳·46）1995+1996+1997+1998+1999+2000的值為（　　）。

A．12987

B．12985

C．11988

D．11985

【答案】D

【解析】方法一：不考慮等差數列的話，可用運算定律直接計算，原式=2000×6-1-2-3-4-5=11985。

方法二：等差數列六項的和=（1995+2000）×3=11985。故本題答案選D。

（2011·浙江·46）2011×201+201100-201.1×2910的值為（　　）。

A．20110

B．21010

C．21100

D．21110

【答案】A

【解析】原式=2011×201+2011×100-2011×291=2011×（201+100-291）=2011×10=20110。

（2011·安徽·1）計算：20+19-18-17+16+15-14-13+12+11-…+4+3-2-1=（　　）。

A．10

B．15

C．19

D．20

【答案】D

【解析】根據交換律和結合律，原式可分組為：20+（19-18-17+16）+（15-14-13+12）+（11-10-9+8）+（7-6-5+4）+3-2-1，括號內的數字運算后為0，所以原式=20+3-2-1=20。答案為D選項。

（2013·河北·41）1005×10061006-1006×10051005=（　　）。

A．0

B．100

C．1000

D．10000

【答案】A

【解析】1005×10061006-1006×10051005=1005×1006×10001-1006×1005×10001=0。正確答案為A。

（2010·安徽·6）2009×20082008-2008×20092009=（　　）。

A．0

B．1

C．2

D．3

【答案】A

【解析】原式=2009×（20080000+2008）-2008×（20090000+2009）=0。

本題也可采用尾數法計算：2009×20082008的尾數為2，2008×20092009的尾數也為2，所以差的尾數一定為0，只有A項符合。故選A。

（2014·新疆·56）（2+1）×（22+1）×（24+1）×（28+1）=（　　）。

A．215-1

B．215

C．216-1

D．216

【答案】C

【解析】方法一：添加因式利用平方差公式求解。原式=（2-1）×（2+1）×（22+1）×（24+1）×（28+1）=（22-1）×（22+1）×（24+1）×（28+1）=（24-1）×（24+1）×（28+1）=（28-1）×（28+1）=216-1。故選C。

方法二：原式是4個奇數相乘，由奇偶特性可得，結果必為奇數，故排除B、D兩項。由于（2+1）×（22+1）×（24+1）×（28+1）>2×22×24×28=215，排除A項。故選C。

（2014·北京·71）已知13+23+33+…+n3=（1+2+3+…+n）2，則13+33+53+…+193=（　　）。

A．19500

B．19900

C．20300

D．22500

【答案】B

【解析】13+33+53+…+193=13+23+33+43+53+…+193-（23+43+…+183）=（1+2+3+…+19）2-23×（13+23+33+…+93）=-23×（1+2+3+…+9）2=19900。故選B。

舉一反三

練習以下尾數類計算：

1．12+22+32+…+1234567892的個位數是（　　）。

A．3

B．4

C．5

D．6 2．計算110.12+1210.32+1220.42+1260.82的值為（　　）。

A．4555940.8

B．4555940.9

C．4555941.18

D．4555940.29

3．2012的2012次方的末位數是（　　）。

A．2

B．4

C．6

D．8

4．的個位數是（　　）。

A．8

B．6

C．4

D．2

5．32010+42011+82012的個位數為（　　）。

A．9

B．8

C．6

D．4

1．C 【解析】本題采用尾數法。原式中12+22+32+…+102=1+4+9+…+100，算得尾數為5，由此可以推知原式所算出結果的個位數應為5的倍數，即5或者0。選項中只有C選項滿足，故正確答案為C。

2．B 【解析】利用尾數法，*.12+*.32+*.42+*.82=*.01+*.09+*.16+*.64=*.90。故本題應選B。

3．C 【解析】本題屬于乘方位數問題。底數末位的數字為2，指數2012能被4整除，所以只要算24的末位數即可，由此可知末位數為6，本題答案為C。

4．A 【解析】原式可寫為20132013×20142014，2013的n次方的尾數以3、9、7、1為周期循環，2013除以周期數4，余數為1，因此20132013尾數為周期的第一項3。2014的n次方的尾數以4、6為周期循環，指數2014除以周期數2，余數為0，因此20142014尾數為周期的最后一項6。兩者相乘，即3×6=18，尾數為8。因此，本題答案為A選項。

5．A 【解析】本題考查乘方尾數問題。一個自然數冪的尾數是以4為周期循環的，則原式的尾數相當于32+43+84的尾數，即9+4+6的尾數，故正確答案是A項。

（二）多位數問題

1．多位數表示

多位數表示類問題直接求該多位數，直接求解往往比較困難，可以用代入排除快速解決。

（2009·江西·45）某次考試中，小林的準考證號碼是個三位數，個位數字是十位數字的2倍，十位數字是百位數字的4倍，三個數字的和是13，則準考證號碼是（　　）。

A．148

B．418

C．841

D．814

【答案】A

【解析】直接代入，由“個位數字是十位數字的2倍”排除B、C、D三項，選A。

（2012·江西·47）將一個三位數的個位數字和百位數字調換后所得的三位數與原三位數的和是1070，差是198，這個三位數是（　　）。

A．218

B．327

C．436

D．524

【答案】C

【解析】直接代入排除，C項，436+634=1070，634-436=198，滿足條件，答案選C。

★★（2011·浙江·57）一個三位數的各位數字之和是16。其中十位數字比個位數字小3。如果把這個三位數的百位數字與個位數字對調，得到一個新的三位數，則新的三位數比原三位數大495，則原來的三位數是多少？（　　）

A．169

B．358

C．469

D．736

【答案】B

【解析】直接代入：各位數字之和為16，C項各數字相加和為19，首先排除。然后把A、B、D三項的百位數字與個位數字對調，A項961比169大700多，D項637比736要小，只有B項正確。

★（2014·廣東·42）一名顧客購買兩件均低于100元的商品，售貨員在收款時錯將其中一件商品標價的個位數和十位數弄反了，該顧客因此少付了27元。被弄錯價格的這件商品的標價不可能是（　　）元。

A．42

B．63

C．85

D．96

【答案】A

【解析】多位數問題，適合代入排除法。代入A項，42-24=18，可知少付18元，與題意不符。故本題正確答案為A。

★★（2013·山東·53）某工廠生產的零件總數是一個三位數，平均每個車間生產了35個。統計員在記錄時粗心地將該三位數的百位與十位數字對調了，結果統計的零件總數比實際總數少了270個。問該工廠所生產的零件總數最多可能有多少個？（　　）

A．525

B．630

C．855

D．960

【答案】B

【解析】代入排除法。平均每個車間生產35個，總數可以被7整除，由此排除C、D項。題目問最多有多少個，先代入較大的數字。若總數為630個，則數字對調后為360，630-360=270（個），恰好滿足題意。因此，本題答案為B。

2．多位數統計

多位數統計類問題求滿足題目條件的多位數的個數，難度較大，基本使用枚舉法討論。

★★（2014·河北·42）從2000到6000的自然數中，不含數字5的自然數有多少個？（　　）

A．2188個

B．2187個

C．1814個

D．1813個

【答案】A

【解析】千位為6的數字只有6000一個，因此只需找到2000—5999之間不含數字5的組合，千位上數字有2、3、4三種選擇，百位、十位、個位分別有9種選擇（0，1，2，3，4，6，7，8，9），因此共有3×9×9×9=2187（個）數，再加上數字6000，共有2188個數字。因此，本題答案為A選項。

★★（2014·山西·56）數字3、5至少都出現一次的三位數有多少個？（　　）

A．48

B．52

C．54

D．60

【答案】B

【解析】據題意可將此排列組合分為3類：（1）百位數不是3且不是5：則百位數不能是3、5、0，有7種選擇，而十位數和個位數就是3和5，排序放在十位和個位即可，是，由此第一類是;（2）百位是3：則5必須處于十位或者個位，有2種選擇，剩下的一位從0—10當中去選擇即可。共有2×10=20（種），但是有一種重復的情況需剔除：355。因此實際上有20-1=19（種）。（3）百位是5：與百位是3的情況是完全相同的，故也有19種。因此，符合題意的情況共有14+19+19=52（種），故選B。

★★（2014·天津·8）小張練習寫數碼，從1，2，3……連續寫至1000多才停止。寫完一數，共寫了3201個數碼。請問，小張寫的最后一個數是多少？（　　）

A．1032

B．1056

C．1072

D．1077

【答案】D

【解析】枚舉法。一位數：1到9每個數有1個數碼，共9個數碼；兩位數：從10到99，每個數有2個數碼，共2×90=180個數碼；三位數100到999，每個數有3個數碼，共3×900=2700個數碼。所以從1到999共寫了9+180+2700=2889個數碼，所以四位數應該共有3201-2889=312個數碼，也就是說共有312÷4=78個四位數，即從1000到1077，故選D。

★★★（2012·貴州·32）一個三位自然數，把它十位上的數字去掉后變成的兩位數是原來三位數的。問這樣的三位數有幾個？（　　）

A．0

B．1

C．2

D．3

【答案】B

【解析】設三位自然數的百位數為a，十位數為b，個位數為c，根據題意有：100a+10b+c=7（10a+c），整理得：30a+10b=6c，30a和10b均是5的倍數，則6c也是5的倍數，則c只能為0和5。當c=0時，不符合題意。當c=5時，3a+b=3，則只有a=1、b=0時符合題意。故本題選B。

★★★（2014·山西·64）小明和小華計算甲、乙兩個不同自然數的積（這兩個自然數都比1大）。小明把較大的數字的個位數錯看成了一個更大的數字，其計算結果為144，小華卻把乘號看成了加號，其計算結果為28。問兩個數的差為（　　）。

A．16

B．12

C．8

D．4

【答案】A

【解析】本題適宜使用代入排除法。設兩數為X與Y，依次驗證選項即可，A選項驗證過程如下：若X-Y=16，又由題有X+Y=28，解得：X=22，Y=6，那么如果把22的個位數看成4的話，用24×6=144，故A選項符合題意，為正確選項；將B選項代入，則X-Y=12，X+Y=28，解得：X=20，Y=8，那么無法將20錯看成18，以得到144的積，故B選項不正確；將C選項代入，則X-Y=8，X+Y=28，解得：X=18，Y=10，不管將18看成哪個自然數都無法與10相乘得到144，故C選項不正確；將D選項代入，則X-Y=4，X+Y=28，解得：X=16，Y=12，無法將16看成12，以得到144的積，故D選項不正確。所以正確答案為A。

（三）小數分數類計算

★（2012·安徽·57（　　）。

A．98

B．99

C．100

D．101

【答案】C

【解析】基礎計算，運用運算定律和分數小數的運算法則即可。

。故本題應選C。

★（2014·浙江·46）的值為（　　）。

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【解析】基礎計算，運用運算定律和分數小數的運算法則即可。

原式====。

★★☆（2012·浙江·46），，，這四個數中，最大的數為最小的數的幾倍？（　　）

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】基礎計算，但有一定難度。將，，通分為分母為39的分數，分子分別是13，12，14。將化為，可以看出。因此最大的數是，最小的數是，最大數是最小數的倍。

★（2009·江蘇B·72+…=（　　）。

A．0

B．0.5

C．1

D．2

【答案】C

【解析】裂項計算求和問題，+…=1。

★（2011·河北·50）的值為（　　）。

A．

B．

C．3

D．

【答案】C

【解析】裂項計算求和問題，，故選C。

★★（2011·安徽·3）計算：（　　）。

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】規律尋找類，原式可以轉化為：，通過觀察可以發現，第n個數字和第（n+3）個數字的乘積為1（1≤n≤195，且n為奇數）。所以，最后各個項相乘余下，正確答案為B。

★★（2009·聯考上·91）計算=（　　）。

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】規律尋找類，可發現每一項都接近。

原 式 =。因此，本題答案選擇C選項。

★★（2013·江蘇B·93）有一個分數，分子與分母的和是100，如果分子加23、分母加32，新的分數約分后是，則原來的分數是（　　）。

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】本題可采用代入法。四個選項的分子與分母的和都是100，A項分子加23、分母加32后約分為，排除。B項分子加23、分母加32后為，排除。C項分子加23、分母加32后為，排除C。至此可確定答案為D項。對D項進行驗證，D項分子加23、分母加32后為，約分后是。

★★（2010·聯考下·27）已知，A、B為自然數，且A≥B，那么A有幾個不同的值？（　　）

A．2

B．3

C．4

D．5

【答案】B

【解析】需要轉換不等式，由A≥B，且A、B均為自然數可得：，從而推出：，即，又由A、B均為自然數推出：，綜合可得：，故，B為自然數，所以B可為4，5，6，7，代入可得：當B=4時，A=60；當B=5時，A=15；當B=6時，A=10；當B=7時，A不是自然數。故有3組解，B項為正確答案。

（四）無理數計算

★★（2009·聯考下·91）的值是（　　）。

A．2

B．2

C．8

D．3

【答案】B

【解析】 原式=

【小楊點睛】無理數的計算往往要先分母有理化，即通過運算使分母變成有理數。

（五）代數式計算

★★（2008·國家·46）若x，y，z是三個連續的負整數，并且x>y>z，則下列表達式是正奇數的是（　　）。

A．yz-x

B．（x-y）（y-z）C.x-yz

D．x（y+z）

【答案】B

【解析】尋找一組特殊解，滿足題干即可。可假設x、y、z分別是-1、-2、-3，代入四個選項驗證，A為7，B為1，C為-7，D為5，排除C項。再假設一組-2、-3、-4，A是14，B是1，D是14，排除A、D兩項。

常規解法：由題干可得x-y=y-z=1，得到（x-y）（y-z）=1。故選B。

★★（2009·江蘇C·11）x-y=1，x 3-3 xy-y 3=（　　）。

A．1

B．2

C．3

D．5

【答案】A

【解析】尋找一組特殊解，滿足上述方程即可。特殊解x=1，y=0，代入x3-3xy-y3=1。

常規解法：x3-y3-3xy=（x-y）（x2+xy+y2）-3xy=x2-2xy+y2=（x-y）2=1。故選A。

★★（2014·江蘇A·35）已知實數x，y滿足：3（x2+y2+1）=（x-y+1）2，x2013+y2014=（　　）。

A．0

B．2

C．1

D．3

【答案】B

【解析】尋找一組特殊解，滿足上述方程即可，當x=1，y=-1的時候，左右兩邊都等于9，則12013+（-1）2014=2。

★★（2009·江蘇C·12，則a2+b2+c2=（　　）。

A．14

B．15

C．3

D．1

【答案】A

【解析】由題干可知：a≥0，b≥1，c≥2，取特殊解a=1，b=2，c=3，1+2+3=6=2×（1+1+1）=6。代入所求代數式，12+22+32=14，故選A項。

★★（2008·國家·47）已知，那么x的值是（　　）。

A．

B．

【答案】B

【解析】。

C．

D．

★★（2011·浙江·48）設用小數來表示時其小數點后第2010個數字為a，且—b—=b+2010，則—2b+10a—-（b+5a）的值為（　　）。

A．2400

B．2600

C．2800

D．3000

【答案】D

【解析】，小數部分以6個數字為周期循環出現，2010÷6=335，所以第2010個數字是1，即a=1；由—b—=b+2010可得，b=-1005。代入—2b+10a—-（b+5a）得結果為3000。

★★☆（2009·江蘇A·13）已知a2+a+1=0，則a2008+a2009+1=（　　）。

A．0

B．1

C．2

D．3

【答案】A

【解析】本題解為虛數，不能尋得特殊實數解，故可使用立方差公式：由a2+a+1=0，則（a-1）（a2+a+1）=0，可得a3-1=0，即a3=1，則原式=a2007（a2+a）+1，因為a2007=（a3）669=1，原式=a2+a+1=0。

定義運算及創新運算

★（2013·江蘇C·27）如x⊕y=x2+y2，則3⊕1⊕3=（　　）。

A．109

B．100

C．120

D．160

【答案】A

【解析】符號運算題。3⊕1=32+12=10，10⊕3=102+32=109，故選A。

★（2011·浙江·47）a☉b=4a+3b，若5☉（6☉x）=110，則x的值為（　　）。

A．5

B．4

C．3

D．2

【答案】D

【解析】根據運算規則，原式=4×5+3×（4×6+3x）=110，解得x=2。

★（2010·浙江·80）定義4△5=4+5+6+7+8=30，7△4=7+8+9+10=34，按此規律，（26△15）+（10△3）的值為（　　）。

A．528

B．525

C．423

D．420

【答案】A

【解析】（26△15）+（10△3）=（26+27+28+…+39+40）+（10+11+12）=33×15+33=528，故本題選A。

★★（2009·江蘇B·71）對任意實數a、b、c，定義運算a*b*c=ab-bc+ca，若1*x*2=2，則x=（　　）。

A．2

B．-2

C．0

D．±1

【答案】D

【解析】因為a*b*c=ab-bc+ca，所以1*x*2=1 x-x 2+21=2，解得x=± 1。

★★（2009·江蘇A·12）對正實數定義運算“*”：若a≥b，則a*b=b3；若a<b，則a*b=b2。由此可知，方程3*x=27的解是（　　）。

A．1

B．9

C．

D．3，

【答案】D

【解析】直接將各項代入方程中，A、C兩項的解屬于題干中“a≥b”的情況，根據新定義的運算，3*x=x3，均不等于27，排除A、C兩項。B項的解屬于“a<b”的情況，則3*x=x2，也不等于27，排除。D項為方程的解。

★★（2013·江蘇A·36）設x⊕y=2 x+3 y，x☉y=xy，且x、y均為正整數，若當x☉y=6時，x⊕y取得最小值，則x等于（　　）。

A．2

B．6

C．4

D．3

【答案】D

【解析】根據題意可得：xy=6，則；若2x+3y最小，則為最小。當且僅當時，取得最小值，得x=3。故答案為D。

★★（2014·河北·52）科技館為某機器人編制一段程序，如果機器人在平地上按照下圖中所示的步驟行走，那么該機器人所走的總路程為多少米？（　　）

A．20米

B．15米

C．12米

D．10米

【答案】A

【解析】機器人所走過的路線呈一個正多邊形，設該多邊形為正n邊形，則該正多邊形的內角為180°-18°=162°，又正多邊形的內角和為（n-2）×180°，故（n-2）×180°=n×162°，解得n=20。機器人所走過的路程為該正二十邊形的周長，其邊長為1米，故周長為20米。

★★（2014·浙江·47）對分數進行操作，每次分母加15，分子加7，問至少經過幾次這樣的操作能使得到的分數不小于?（　　）

A．46次

B．47次

C．48次

D．49次

【答案】C

【解析】設經過x次操作能使得到的分數不小于，根據題意可得，解得x≥47.25，因此選擇C選項。

★☆（2011·浙江·49）在平面直角坐標系中，如果點P（3a-9，1-a）在第三象限內，且橫坐標、縱坐標都是整數，則點P的坐標是（　　）。

A．（-1，-3）

B．（-3，-1）

C．（-3，2）

D．（-2，-3）

【答案】B

【解析】第三象限內點的坐標均為負值，故3a-9<0，1-a<0，解得1<a<3，由橫坐標、縱坐標都是整數可知，a=2，所以點P的坐標是（-3，-1）。

★★（2014·天津·12）在右圖小空格中已填上了1及7兩個自然數，如果其他空格也填上相應不同的數，使得任意一個橫行、任意一個縱列以及任意一條對角線上的3個數之和都等于111。請問，位于中間的小空格里應填的數是（　　）。

A．61

B．53

C．41

D．37

【答案】D

【解析】此題是數獨的一個變形。設中間為x，則如下圖，第一步先求得第三列第二行為110-x；第二步再求得第三列第一行為x-6，第一列第一行為104-x；第三步求得第一列第三行為x+6。由此x+6+x+x-6=111，則x=37，故選D。

約數倍數問題

（一）約數計算

★（2014·河南·31）正整數a乘以1080得到一個完全平方數，問a的最小值是（　　）。

A．15

B．10

C．30

D．60

【答案】C

【解析】將1080進行因式分解，可得1080=36×30，36已經是個完全平方數，所以要想1080乘以a之后是個完全平方數，則a最小應該為30。故答案選C。

★（2007·國家·48）把144張卡片平均分成若干盒，每盒在10張到40張之間，則共有（　　）種不同的分法。

A．4

B．5

C．6

D．7

【答案】B

【解析】題干實質上是求144在10到40之間有多少個約數。將144進行因式分解，144=2×2×2×2×3×3，從拆分的結果可以看出在10到40之間能夠被144整除的有12，16，18，24，36。所以本題正確答案為B。

★（2012·安徽·68）如下圖所示，街道X YZ在Y處拐彎，X Y=1125米，YZ=855米，在街道一側等距裝路燈，要求X，Y，Z處各裝一盞路燈，這條街道最少要安裝多少盞路燈？（　　）

A．47

B．46

C．45

D．44

【答案】C

【解析】路燈之間的間距應該是1125和855的公約數；要求路燈最少，即間距要最大，求最大公約數。1125和855的最大公約數為45，1125÷45=25，855÷45=19，因此需要安裝路燈25+19+1=45（盞），故本題應選C。

★（2013·河北·42）施工隊要在一東西長600米的禮堂頂部沿東西方向安裝一排吊燈，根據施工要求，必須在距西墻375米處安裝一盞，并且各吊燈在東西墻之間均勻排列（墻角不能裝燈）。該施工隊至少需要安裝多少盞吊燈？（　　）

A．6

B．7

C．8

D．9

【答案】B

【解析】由于要在距離西墻375米處安裝一盞燈，而600和375的最大公約數為75，600÷75=8，墻角不能安裝，故至少需要安裝7盞。正確答案為B。

★（2011·廣州·39）用一張長1007毫米、寬371毫米的長方形紙，剪成多個面積相等且盡可能大的正方形。長方形紙最后沒有剩余，則這些正方形的邊長是（　　）毫米。

A．19

B．53

C．79

D．106

【答案】B

【解析】要使長方形紙沒有剩余，且剪成面積相等且盡可能大的正方形，則正方形的邊長應為1007和371的最大公約數，即53毫米。故選B。

★★（2014·廣東·41）在一條新修的道路兩側各安裝了33座路燈，每側相鄰路燈之間的距離相同。為提高照明亮度，有關部門決定在該道路兩側共加裝16座路燈，要使加裝后相鄰路燈之間的距離也相同，最多有（　　）座原來的路燈不需要挪動。

A．9

B．10

C．18

D．20

【答案】C

【解析】根據題意可知先前道路每邊安裝了33座路燈，所以道路總長s=32n（n為相鄰路燈的間隔），后每邊各加了8座路燈，可知每邊安裝了41座路燈，所以道路的總長s=40m（m為后來的相鄰路燈間隔），由此假設道路總長是32與40的最小公倍數。故令總長s=160米，從而n=5米，m=4米，則每邊不需移動的相鄰路燈之間的間隔應該是20的整數倍，有距起點0米，20米，40米，60米，80米，100米，120米，140米和160米位置上的路燈不用移動，總共9座。則兩邊總共有18座路燈不用移動。故本題的正確答案為C。

★★（2015·廣東·33）在400米的環形跑道上每隔16米插一面彩旗。現在要增加一些彩旗，并且保持每兩面相鄰彩旗的距離相等，起點的一面彩旗不動，重新插完后發現共有5面彩旗沒有移動，則現在彩旗間的間隔最大可達到（　　）米。

A．15

B．12

C．10

D．5

【答案】C

【解析】增加彩旗數量后，發現有5面彩旗沒有移動，則增加前的間距和增加彩旗之后的間距的最小公倍數是400÷5=80。以前的間距是16米，代入排除四個選項，發現只有C、D與16的最小公倍數為80米，題目要求間隔最大，應該是10。故正確答案為C選項。

（二）倍數計算

★（2014·山東·52）甲、乙、丙三個辦公室的職工參加植樹活動，三個辦公室人均植樹分別為4、5、6棵，且三個辦公室植樹總數彼此相等。問這三個辦公室總共至少有多少名職工？（　　）

A．37

B．53

C．74

D．106

【答案】A

【解析】每個辦公室植樹總數=人均×人數，總數相等，說明總數是人均數量的公倍數。問至少有多少名職工，即總數最少，求最小公倍數。4、5、6的最小公倍數為60，所以三個辦公室至少要植60棵樹，因此三個辦公室人數分別為15、12、10人，總人數至少為37人，答案為A。

★（2011·聯考上·49）有甲、乙、丙三輛公交車于上午8:00同時從公交總站出發，三輛車再次回到公交總站所用的時間分別為40分鐘、25分鐘和50分鐘。假設這三輛公交車中途不休息，請問它們下次同時到達公交總站將會是幾點？（　　）

A．11點20分

B．11點整

C．11點40分

D．12點整

【答案】A

【解析】因為40，25，50的最小公倍數為200，因此經過200分鐘后三輛公交車會同時到達公交總站，即它們下次同時到達公交總站時間為11點20分。故正確答案為A。

★★（2011·安徽·7）有一種紅磚，長24厘米，寬12厘米，高5厘米，至少用多少塊紅磚才能拼成一個實心的正方體？（　　）

A．600塊

B．800塊

C．1000塊

D．1200塊

【答案】D

【解析】已知紅磚的長為24厘米，寬為12厘米，高為5厘米，那么為了拼成一個實心的正方體，該正方體的邊長必須為24，12，5的公倍數，則正方體邊長最小為24，12，5的最小公倍數，即120厘米。此時需紅磚數量為1203÷（24×12×5）=1200（塊）。正確答案為D選項。

★★（2008·國家·59）甲、乙、丙、丁四個人去圖書館借書，甲每隔5天去一次，乙每隔11天去一次，丙每隔17天去一次，丁每隔29天去一次，如果5月18日他們四個人在圖書館相遇，問下一次四個人在圖書館相遇是幾月幾號？（　　）

A．10月18日

B．10月14日

C．11月18日

D．11月14日

【答案】D

【解析】兩次相遇之間的天數應該是每個人每N天去一次的N的倍數。每隔N天去一次相當于每（N+1）天去一次，說明此四人每6，12，18，30天去一次圖書館，6，12，18，30的最小公倍數為180，所以他們下一次相遇應該是180天之后。5月18日后的第180天應該是11月14日（因為如果每個月按30天計算，180天有6個月，應該為11月18日，但中間多出來5月31日，7月31日，8月31日，10月31日這四個大月當中的31號，所以應該往前推4天，即11月14日），所以選擇D。

★★（2010·聯考下·28）一副撲克牌有52張，最上面一張是紅桃A。如果每次把最上面的10張移到最下面而不改變它們的順序及朝向，那么，至少經過多少次移動，紅桃A會出現在最上面？（　　）

A．27

B．26

C．25

D．24

【答案】B

【解析】每次移動的撲克都是10張，所以總移動數肯定是10的倍數；要想紅桃A再次出現在最上面，我們的總移動數還必須是52的倍數。10和52的最小公倍數是260，那么移動260張撲克后，紅桃A再次出現在最上面。總共移動了260÷10=26（次）。

★★（2011·聯考下·57）1路、2路和3路公交車都是從8點開始經過A站后走相同的路線到達B站，之后分別是每30分鐘、40分鐘和50分鐘就有1路、2路和3路車到達A站。在傍晚17點05分有位乘客在A站等候準備前往B站，他先等到幾路車？（　　）

A．1路

B．2路

C．3路

D．2路和3路

【答案】C

【解析】30，40，50的最小公倍數是600，600分鐘合10個小時，說明18點整時三路車同時到達A站，往前推一趟易知1路車17點30分到，2路車17點20分到，3路車17點10分到，則乘客先等到3路車。故選C項。

余數問題

★（2010·聯考下·26）在一個除法算式里，被除數、除數、商和余數之和是319，已知商是21，余數是6，問被除數是多少？（　　）

A．237

B．258

C．279

D．290

【答案】C

【解析】本題考查的是余數的基本定義。被除數減去余數后應該正好是除數與商之積，可知319包含：除數與商之積+余數、除數、商、余數。即除數=（319-6-21-6）÷（21+1）=13。那么被除數是13×21+6，尾數法判定為9，只有C選項符合。

【小楊點睛】余數問題看似復雜，但只要抓住核心本質即可：（被除數-余數）÷除數=商。

★（2013·江蘇B·91）三位數A除以51，商是a（a是正整數），余數是商的一半，則A的最大值是（　　）。

A．927

B．928

C．929

D．990

【答案】A

【解析】本題可采用代入排除法。代入A項，927÷51=18……9，符合題意。故本題選A。

【小楊點睛】答案直接給出所求數字，首先考慮代入排除。

★★（2011·上海A·61）韓信故鄉淮安民間流傳著一則故事——“韓信點兵”。秦朝末年，楚漢相爭。有一次，韓信率1500名將士與楚軍交戰，戰后檢點人數，他命將士3人一排，結果多出2名；命將士5人一排，結果多出3名；命將士7人一排，結果又多出2名，用兵如神的韓信立刻知道剩余將士人數。已知剩余將士人數是下列四個數字中的一個，則該數字是（　　）。

A．868

B．998

C．1073

D．1298

【答案】C

【解析】采用代入排除法，分別將各個選項的數值除以3，5和7，如果余數分別為2，3和2，那么便是正確答案。由此可以得出，正確答案為C選項。

★★（2014·廣東·44）在某公司年終晚會上，所有員工分組表演節目。如果按7男5女搭配分組，則只剩下8名男員工；如果按9男5女搭配分組，只剩下40名女員工。該公司員工總數為（　　）名。

A．446

B．488

C．508

D．576

【答案】B

【解析】題目可以簡化為：總員工數除以（7+5）余8，除以（9+5）余40。結合選項代入，總數減去8能被12整除，即可排除A、C、D三項。可知488符合題意。故本題正確答案為B。

★★☆（2014·聯考上·61）某單位組織參加理論學習的黨員和入黨積極分子進行分組討論，如果每組分配7名黨員和3名入黨積極分子，則還剩下4名黨員未安排；如果每組分配5名黨員和2名入黨積極分子，則還剩下2名黨員未安排。問參加理論學習的黨員比入黨積極分子多多少人？（　　）

A．16

B．20

C．24

D．28

【答案】B

【解析】利用數字特性法代入：第二次分配每組黨員比入黨積極分子多3人，最后還多2名黨員，設第二次分配分成x組，則說明黨員比積極分子多的人數可以表示為3x+2，即多的人數減去2是3的倍數，結合選項，只有B項符合。

★（2010·浙江·77）有一個自然數“x”，除以3的余數是2，除以4的余數是3，問“x”除以12的余數是多少？（　　）

A．1

B．5

C．9

D．11

【答案】D

【解析】同余口訣。除以3的余數是2，除以4的余數是3，除數與余數的差相同，“差同減差”再“最小公倍加”，x可表示為12N-1，除以12余數為11。故正確答案是D。

★（2009·北京社招·15）某生產車間有若干名工人，按每四個人一組分多一個人，按每五個人一組分也多一個人，按每六個人一組分還是多一個人，該車間至少有多少名工人？（　　）

A．31

B．41

C．61

D．122

【答案】C

【解析】同余口訣。按每四個人一組分多一個人，按每五個人一組分也多一個人，按每六個人一組分還是多一個人，“余同取余”再“最小公倍加”，車間的工人數滿足60n+1，n=1時最小值為61人，因此本題選C。

比較一下代入排除：4人一組多一個，排除A、D;6人一組多一個，排除B。直接選擇C。可見能代入排除的情況下代入排除更直接迅速。

★★（2011·安徽·4）在1000以內，除以3余2，除以7余3，除以11余4的數有多少個？（　　）

A．4

B．5

C．6

D．7

【答案】B

【解析】本題不適合使用口訣，因此使用特值。11n+4，從最小值起是15、26、37、48、59…符合這三個條件的最小自然數是59，那么通項為N=231n+59≤1000，其中n≥0且為整數，解得n=0，1，2，3，4。故選B。