劉徽與祖沖之的杰出貢獻(xiàn)

在三國(guó)兩晉南北朝時(shí)期，有兩位杰出的數(shù)學(xué)家在計(jì)算圓周率上作出了非常杰出的貢獻(xiàn)，他們是曹魏、西晉時(shí)期的劉徽和南朝宋時(shí)期的祖沖之。

人們最初計(jì)算圓面積的時(shí)候，大都采用“周三徑一”，即圓周率π=3來(lái)計(jì)算，這樣一來(lái)，誤差還是挺大的，不夠精確。劉徽經(jīng)過(guò)研究發(fā)現(xiàn)，“周三徑一”實(shí)際上是圓內(nèi)接正六邊形的周長(zhǎng)和直徑的比值，而不是實(shí)際的圓周長(zhǎng)與直徑的比值。因此，用這個(gè)數(shù)據(jù)所計(jì)算的結(jié)果是圓內(nèi)接正十二邊形的面積，而不是圓的面積。

劉徽不滿足這一發(fā)現(xiàn)，他繼續(xù)深入研究，得出結(jié)論：圓內(nèi)接正多邊形邊數(shù)越多，其面積越趨近于圓面積，即“割之彌細(xì)，所失彌小。割之又割，以至于不可割，則與圓合體而無(wú)所失矣”。當(dāng)圓內(nèi)接正多邊形邊數(shù)無(wú)限多時(shí)，其周長(zhǎng)的極限也就是圓周長(zhǎng)，其面積的極限也就是圓的面積。這就是著名的“割圓術(shù)”。割圓術(shù)是我國(guó)古代最早用極限思想解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的有力證明。

劉徽計(jì)算時(shí)，從圓內(nèi)接正六邊形算起，然后邊數(shù)逐倍增加。假設(shè)圓內(nèi)接正2n邊形邊長(zhǎng)為L(zhǎng)2n，內(nèi)接正4n邊形邊長(zhǎng)為L(zhǎng)4n，那么選擇一個(gè)直角三角形，利用勾股定理，r、L2n、L4n三者存在這樣的運(yùn)算關(guān)系：

三個(gè)未知數(shù)，已知兩個(gè)數(shù)值，便可求得第三個(gè)。劉徽算得π≈3.14或π≈3927/1250。這個(gè)數(shù)據(jù)是當(dāng)時(shí)世界上π的最佳數(shù)據(jù)。

劉徽首創(chuàng)“割圓術(shù)”，開(kāi)創(chuàng)了圓周率研究的新紀(jì)元。祖沖之則是將其發(fā)揚(yáng)光大者。在劉徽研究和計(jì)算的基礎(chǔ)之上，祖沖之將圓周率的計(jì)算推進(jìn)了一大步，他求出了精確到小數(shù)點(diǎn)后第7位有效數(shù)字的圓周率：3.1415926＜π＜3.1415927。

這一結(jié)果需要付出巨大的努力和辛勤的勞動(dòng)?？梢栽囅胍幌?，在當(dāng)時(shí)算籌運(yùn)算的條件下，需要對(duì)9位數(shù)字的大數(shù)目進(jìn)行各種運(yùn)算至少130次以上，還包括乘方、開(kāi)方的計(jì)算，這是一項(xiàng)非常艱巨而又極需耐心的工作。

為了計(jì)算的方便，祖沖之還求出兩個(gè)分?jǐn)?shù)來(lái)表示圓周率：密率是355/113，約率是22/7。其中密率是分子、分母都在1000以內(nèi)表示圓周率最佳的數(shù)值。

祖沖之對(duì)圓周率計(jì)算的貢獻(xiàn)，足以使他名垂不朽。他走在了全世界的前列，直到1000年以后，才有人求出更精確的值。

劉徽在數(shù)學(xué)方面的貢獻(xiàn)還有很多。他對(duì)求派田面積、球體積、圓錐體積、解方程等，都有深入的研究。他撰寫《九章算術(shù)注》和《重差》（后改為《海島算經(jīng)》）等數(shù)學(xué)著作。其中《重差》被列為唐初“十部算經(jīng)”之一，內(nèi)容是測(cè)量目的物的高和遠(yuǎn)的計(jì)算方法，代表著古代測(cè)量數(shù)學(xué)的杰出水平。

祖沖之的研究涉及三次方程求解問(wèn)題，他注釋了《九章算術(shù)》，撰寫《綴術(shù)》10篇。《綴術(shù)》唐初被列入“十部算經(jīng)”之一，內(nèi)容精妙，可惜已佚失。