任務(wù)二 點的投影

一、點的投影特性及三面投影

（一）點的投影特性

點無形狀，但具有空間位置，在任何情況下，點的投影仍然為點。

（二）點的三面投影

點的三面投影是將空間點分別向三投影面垂直做投射線，交在投影平面上的垂足即為點在該投影面上的投影。

空間點及其投影圖形繪制與標(biāo)記規(guī)定分別為：

點的直觀圖用略大于直徑為輪廓圖線寬度的實心圓繪制，點的投影圖用直徑為輪廓圖線寬度的實心圓繪制；

空間點用大寫字母A、B、C…表示，V面投影用相應(yīng)的小寫字母a′、b′、c′…表示，H面投影用相應(yīng)的a、b、c…表示，W面投影用相應(yīng)的a″、b″、c″…表示。

如圖3-8所示，空間點A對應(yīng)的三面投影分別為：a（H面）、a′（V面）和a″（W面）。

二、點的三面投影規(guī)律

（一）點的空間幾何位置與三面投影圖之間的對應(yīng)關(guān)系

由圖3-8不難看出，過點A的三面投影a′、b′和c′分別向投影軸X、Y、Z作垂線可得三垂足ax、ay、az，點的空間幾何位置與三面投影圖之間的對應(yīng)關(guān)系是：

空間點A到W面的距離，等于點A的x坐標(biāo)，即aay=Oax=a′az=Aa″=x；

空間點A到V面的距離，等于點A的y坐標(biāo)，即aax=Oay=a″az=Aa′=y；

空間點A到H面的距離，等于點A的z坐標(biāo)，即a″ay=Oaz=a′ax=Aa=z；

空間點到三個投影面的距離可以用直角坐標(biāo)來表示，即A（x、y、z）。

由此可見，若已知點的直角坐標(biāo)，就可作出點的三面投影。而點的任何一面投影都反映了點的兩個坐標(biāo)，點的兩面投影即可反映點的三個坐標(biāo)，也就是確定了點的空間位置。因此，若已知點的任意兩個投影，就可作出點的第三面投影。

（二）點的三面投影規(guī)律

由圖3-8中可以看出，由于Aa⊥H、Aa′⊥V，而H與V相交于X軸，因此X軸必定垂直于平面Aaaxa′，也就是aax和a′ax同時垂直于OX軸。當(dāng)H面繞OX軸旋轉(zhuǎn)至與V面成為同一平面時，在投影圖上a、ax、a′三點共線，即aa′⊥OX軸。同理，a′a″⊥OZ，aax=OaY=a″aZ。

由以上分析可歸納出點的投影規(guī)律是：

點A的V面投影和H面投影的連線垂直于OX軸，即aa′⊥OX；

點A的V面投影和W面投影的連線垂直于OZ軸，即a′a″⊥OZ；

點A的H面投影a到OX軸的距離等于點A的W面投影a″到OZ軸的距離，即aax=a″aZ=OaY。作圖時可以用圓弧或45°線反映它們的對應(yīng)關(guān)系。

（三）點的三面投影作圖舉例

[例3-1]已知點A（20、15、24），求作點A的三面投影圖。

解：作圖步驟如下，如圖3-9所示。

（1）自原點O沿OX軸向左量取x=20，得點ax。

（2）過ax作OX軸的垂線，在垂線上自ax向上量取z=24，得點A的正面投影a′，自ax向下量取y=15，得點A的水平投影a。

（3）過a′作OZ軸的垂線，得交點az。過az在垂線上沿OYW方向量取aza″=10，定出a″。也可以過O向右下方作45°輔助線，并過a作OYH垂線與45°線相交，然后再由此交點作OYW軸的垂線，與過a′點且垂直于OZ軸的投影線相交，交點即為a″。

三、特殊位置點的投影

位于投影面和投影軸上的點稱為特殊位置的點。特殊位置的點具有下述特性。

（一）投影面上的點有一個坐標(biāo)為零

點在該投影面上的投影與該點重合，在相鄰?fù)队懊嫔系耐队胺謩e落在相應(yīng)的投影軸上。畫圖時應(yīng)注意：H面上點在W面上的投影應(yīng)畫在W面的OYW軸上，而不能畫在H面的OYH軸上。

（二）投影軸上的點有兩個坐標(biāo)為零

在包含這條軸的兩個投影面上的投影都與該點重合，而在第三個投影面上的投影則與坐標(biāo)原點O重合。

四、兩點的相對位置

空間兩點的相對位置由兩點的坐標(biāo)差值來確定：兩點的x坐標(biāo)差值確定左右位置關(guān)系；兩點的y坐標(biāo)差值確定前后位置關(guān)系；兩點的z坐標(biāo)差值確定上下位置關(guān)系。

在投影圖中，兩點的相對位置，可根據(jù)其投影及反映的坐標(biāo)判斷出其相對位置。

如圖3-10所示，由于xA＞xB，所以A點在左，B點在右；由于yA>yB，所以A點在前，B點在后；由于zA>zB，所以A點在上，B點在下。也就是說，A點在B點的左前上方。

五、重影點與可見性

當(dāng)空間兩點處于某一投影面的同一條投射線上時，這兩點對該投影面的投影重合為一點，這兩點稱為該投影面的一對重影點。A、B兩點對V面的投影重合，因此是V面的一對重影點，如圖3-11所示。

重影點有可見性問題，判別的原則是：兩點之中，對重合投影所在的投影面的距離（或坐標(biāo)值）較大的點是可見的，而另一點是不可見的。標(biāo)記時，應(yīng)將不可見的點的投影用括弧括起來，如圖3-11中（a′）。