1.1.4 基爾霍夫定律及應用

知識鏈接——學一學

基爾霍夫定律是集中參數電路的基本定律，它包括電流定律和電壓定律。

1. 電路中幾個常用術語

（1）支路

一段含有電路元件而又無分支的電路稱為支路。如圖1-14所示，該電路中共有3條支路，分別為cabd、cd、cefd段電路。

一條支路中可以由一個元件或者由幾個元件串聯組成，支路中流過的電流為同一個電流，稱為支路電流，如圖1-14所示的cabd、cd、cefd各支路對應的支路電流分別為I1、I2、I3。

（2）節點

三條或三條以上的支路連接點稱為節點，如圖1-14所示的c、d點。

（3）回路

由支路組成的閉合路徑稱為回路。如圖1-14所示的acdba、cefdc、acefdba等都是回路，該電路共有3條回路。一條回路由某個節點開始，繞行一周回到該節點，所經過的支路不可重復。

（4）網孔

如果回路內不再包含有支路，這樣的回路稱為網孔。如圖1-14所示的acdba、cefdc是網孔，而acefdba不是網孔。

2. 基爾霍夫第一定律

基爾霍夫第一定律又稱為節點電流定律，簡稱KCL（Kirchhoff's Current Law），它用來確定連接在同一節點上的各支路電流間的關系。根據電荷的守恒性，電路中任何一點（包括節點在內）均不能堆積電荷。因此任何時刻，流入某一節點的電流之和與流出該節點的電流之和相等，即

式（1.14）可以寫成：∑I 流入－∑I 流出=0，即∑I 流入+∑（－I 流出）=0，式中的 I 流入、I 流出皆為電流的大小，如果考慮電流的方向和符號，將流入某一節點的電流取“+”，流出該節點的電流取“－”，則基爾霍夫第一定律可以表述為：在任何時刻，某一節點的電流代數和為零，即

例如，在圖1-14中，對于節點c有：I1+I2－I3=0，根據基爾霍夫節點電流定律所列的節點電流關系式稱為節點電流方程。

使用時應注意：列節點電流方程之前，必須先標明各支路的電流參考方向；對于含有 n個節點的電路，只可以列出n－1個獨立的電流方程。

應用舉例——練一練

例1.4 如圖1-15所示的電路為某電路的一部分，已知，I1=25 mA，I3=10 mA，I4=12 mA，試求電流I2、I5、I6。

解 電路中共有a、b、c三個節點，根據KCL可列三個節點電流方程：

節點a，I1+I4=I2

節點b，I2+I5 =I3

節點c，I5+I4 =I6

所以

I2 =25 mA+12 mA=37 mA

I5=I3?I2=10 mA?37mA=?27mA I6=I5+I4=?27mA+12 mA=?15mA

求得I5、I6的值帶負號，表示電流的實際方向與所標的參考方向相反。

基爾霍夫節點電流定律不僅適用于節點，也可以將其推廣應用于包圍部分電路的任一假設的封閉面，即廣義節點。如圖1-16所示，封閉面（虛線表示）將三個節點包圍后可以看成一個節點，若已知I1和I2，則可以利用KCL列出電流方程：I1+I2=I3，從而求出I3，對于封閉面所包圍的內部電路可以不考慮，從而使問題得到了簡化。

3. 基爾霍夫第二定律

基爾霍夫第二定律又稱為回路電壓定律，簡稱KⅤL（Kirchhoff's Ⅴoltage Law）。它用來確定回路中各段電壓間的關系。在任何時刻，如果從回路任何一點出發，以順時針方向（或逆時針方向）沿回路繞行一周，回路的路徑上各段電壓的代數和恒等于零，即

根據∑U=0所列的方程，稱為回路電壓方程。

以圖1-17電路為例說明，沿著回路abcdea繞行方向，有：

Uab=R1I1，Ubc=E1，Ucd=－R2I2，Ude=－E2，Uea=R3I3

則Uab+Ubc+Ucd+Ude+Uea=0

即R1I1+E1－R2I2－E2+R3I3=0

上式也可寫成 R1I1－R2I2+R3I3=－E1+E2

所以，任何時刻，在任何一閉合回路的路徑上各電阻上的電壓降代數和等于各電源電動勢的代數和，即

使用基爾霍夫第二定律時應注意：列回路電壓方程之前，必須先標明各段電路電壓的參考方向和回路的繞行方向。當電壓的參考方向與回路繞行方向一致時，該電壓符號前取“+”，否則，電壓符號前取“?”；當利用∑（RI）=∑E 時，若電源電動勢的方向（注意電動勢方向由“－”極指向“+”極）與回路繞行方向一致時，該電動勢符號前取“+”，否則，電動勢符號前取“?”；對于含有 n 個節點、b 條支路的電路，只可以列出 b?（n?1）個獨立的回路電壓方程。

由上所述可知KCL規定了電路中任何一個節點各支路電流必須服從的約束關系，而KⅤL則規定了電路中任何一條回路內各支路電壓必須服從的約束關系。這兩個定律僅與元件相互連接的方式有關，而與元件的性質無關，所以這種約束稱為結構約束或拓撲約束。

應用舉例——練一練

例1.5如圖1-18所示電路為某電路的一部分，已知：R1=25Ω，R2=20Ω，R3=10Ω，E1=14Ⅴ， E2=24Ⅴ，I1=2A，求UAB。

解 對E1、R1、R2、E2組成的回路，由KⅤL得：

由KCL得：I1?I2?I3=0

所以

I3=I1?I2=2?（?3）=5（A）

對E2、R2、R3、UAB所組成的回路，由KⅤL得：

UAB?I2R2+I3R3=E2

所以

UAB=E2+I2R2?I3R3=24+（?3）×20?5×10=?86（Ⅴ）

問題研討——想一想

電路如圖1-19所示。

（1）此電路有幾條支路、幾個節點、幾條回路、幾個網孔？

（2）列出各節點的電流方程。

（3）列出各條回路的回路電壓方程。