5.1 光在平板波導中的傳播[2],[21],[40],[57～65]

平板波導是一種最簡單、最基本的波導結構。本節(jié)將利用波動方程求解平板波導中的場分布;再利用波導的邊界條件，獲得波導的本征方程，即色散方程，進而討論波導的傳輸特性。

5.1.1 三層平板波導

最簡單的平面波導由薄膜、襯底、覆蓋層三層平板介質構成，如圖5.1-1所示。三層介質的折射率分別為n0、n1、n2，且n1>n2≥n0，薄膜厚度與波長同量級。襯底和覆蓋層延伸至無窮遠，且波導層的寬度遠大于它的厚度。光波在這種平板波導中傳輸時，只在x方向受到限制。設該波導在y方向是均勻的，則有?/?y=0。在此條件下，麥克斯韋方程的解與y坐標無關，可寫為

式中，β表示沿z方向傳播單位距離變化的相位數，稱為傳播常數。

時諧電磁波的麥克斯韋方程組為

將式（5.1-1）代入式（5.1-2），計算后寫成分量形式為

及

由此可見，麥克斯韋方程組可以分解為兩組獨立的方程組;其中一組方程的電磁場分量為Ey、Hx和H z，稱為TE波，即電場平行膜層并垂直于波傳播方向的模式;另一組包括Ex、Hy和Ez，稱為TM波，即磁場平行于膜層并垂直于波傳播方向的模式。

將式（5.1-3a）、式（5.1-3b）代入式（5.1-3c）得

同樣方法可得Hy滿足

式中，k0=2π/λ為光在真空中的波數。

5.1.2 波導模式分析

在一定的邊界條件下，通過求解方程（5.1-5）和方程（5.1-6），可以獲得特定的電磁場分布，這種特定的電磁場分布就稱為波導的模式。具有不同模式的光以各自不同的傳播常數傳播。

下面以平板波導為例來介紹幾種波導的模式。

（1）當β>k0n1時，顯然也有β>k0n2、k0n0，方程（5.1-5）在各區(qū)域的解均為指數形式。另外，根據邊界條件，Ey及其導數必須在邊界上連續(xù)，因此解的指數形式要求光場在離開波導后將按指數形式趨于無限，如圖5.1-2（a）所示。這種解沒有物理意義。

（2）當k0n0<k0n2<β<k0n1時，方程（5.1-5）在襯底和覆蓋層區(qū)域的解均為指數衰減形式，而在波導層具有余弦或正弦形式，并且在各邊界兩邊，兩種解滿足邊界連續(xù)性條件。由于這種解對應的光場能量被限制在波導層及其附近區(qū)域，因此光受到約束在波導內傳播，這種模稱為束縛模或導模，如圖5.1-2（b）和（c）所示。

（3）當k0n0<β<k0n2<k0n1時，方程（5.1-5）在覆蓋層區(qū)域的解為指數衰減形式，而在襯底和波導層具有余弦或正弦形式。這種解對應的模式稱為襯底輻射模，如圖5.1-2（d）所示。

（4）當β<k0n0<k0n2<k0n1時，方程（5.1-5）在各區(qū)域的解均為余弦或正弦形式。該解對應的模式稱為輻射模或包層模，如圖5.1-2（e）所示。

下面對平板波導的TE模式和TM模式進行分析。

5.1.3 TE導模

導模的傳播常數滿足，方程（5.1-5）的解為

式中，A、B、C和D為待定常數，p、q分別為覆蓋層和襯底中導波的振幅衰減系數，k1x為波導層中導波的橫向傳播常數，將式（5.1-7）代入式（5.1-5）可得

利用x=0和x=-h處，Ey的連續(xù)條件得到

利用x=0處，Hz或?Ey/?x的連續(xù)條件得到

聯(lián)立式（5.1-9）和式（5.1-11），得到

令

于是可以將式（5.1-7）寫成

利用x=-h處，Hz或?Ey/?x的連續(xù)條件得到

即

或

式（5.1-18）稱為本征方程。由于k0、p、q是β的函數，當n0、n1、n2、h、k0確定后，通過求解本征方程可以得到模式本征值。

5.1.4 TM導模

TM導模的形式與式（5.1-7）相似，可以寫成

利用x=0和x=-h處，Hy的連續(xù)條件得到

由Hy求得Ez為

利用x=0處，Ez的連續(xù)條件得到

于是

令

將式（5.1-19）寫成

利用x=-h處，Ez的連續(xù)條件得到

即

因此

式（5.1-30）稱為TM模的本征方程。

5.1.5 波導的歸一化參數

上面得到TE模和TM模的本征方程，分別為

式中

因為β為z方向的傳播常數，故

顯然β是一些分立的值，且介于襯底和薄膜的傳播常數之間，即

定義波導的有效折射率N為

通常也稱N為模折射率，它介于襯底折射率和薄膜折射率之間，即

為了更清楚地了解波導的色散特性，可將本征方程寫成歸一化形式。引入幾個與波導參數有關的歸一化量，即歸一化頻率V、歸一化折射率b，以及波導非對稱量aE和aM，它們的定義依次為

將上述各量代入本征方程可得

式中，η12和η10定義為

對式（5.1-39）進行數值計算后可作出各導模傳播常數β與歸一化頻率V的關系曲線，即色散曲線。由于歸一化色散曲線可以根據本征方程利用數值計算得到，因此本征方程又叫色散方程。圖5.1-3所示為平板波導的色散曲線。圖中，ωc0，ωc1，ωc2分別是m為0，1，2三個導模的截止頻率。β值的下限是n2k，上限是n1k。當ω（或h）增加時，波導能傳輸的導模數也增加。β>n1k是不可能的，所以這一區(qū)域稱為禁止區(qū)。而β<n2k，不滿足全反射條件導波截止，只能以輻射模方式傳輸。輻射模是連續(xù)譜。由圖還看出，導模的頻率一定，模階數越低，傳播常數越大。

5.1.6 截止頻率和模式數量

根據前面分析，在波導中存在導模的條件為k0n2<β<k0n1。當β≤n2k0 時，襯底中的場分布將由原來的指數衰減形式轉化成正弦或余弦振蕩形式，即由原來的隱失波變成行波。在這種情況下，能量將從襯底中泄漏，導致該模不能在這種波導中傳播。因此可以將導模截止條件定義為

顯然，此時有b=0。將截止條件應用于色散方程（5.1-39），得到m階導模的截止頻率為

因為

如果將導模截止時的波長稱為截止波長，記為λc，則m階導模的截止波長為

波導內能傳播的TE模或TM模的個數為

符號[]imf表示取大于這個括號內數值的最小整數。因為η10>1，所以TM模式數總是小于TE模式數。波導能傳播的導模總數等于TE模式和TM模式數量之和。

5.1.7 導模攜帶的功率和波導的有效厚度

導模在單位寬度（y方向）上攜帶的功率等于

式中，Sz為坡印廷矢量z分量的時間平均值，對于TE模，則有

將式（5.1-15）、式（5.1-3a）代入式（5.1-46），并分三個區(qū)域積分，得到TE模在覆蓋層、薄膜、襯底中的功率分別為

在計算P1和P2時，利用了式（5.1-9）、式（5.1-10）中A和B的關系及本征方程式（5.1-28）。波導傳輸的TE模總功率為

其中

he f為波導芯層的有效厚度。式（5.1-48）表明，振幅系數可用導模的功率P表示，即

如果定義波導的限制因子Γ=P1/P，則

對于TM模，有，所以

將式（5.1-27）代入式（5.1-52），分區(qū)域積分得TM導模攜帶的功率為

TM模芯層的有效厚度hef為

式（5.1-53）表明，振幅系數C可用導模的功率P表示。由Ez在邊界上的連續(xù)條件可知D 2=，因此D也可用P表示。

5.1.8 模式的正交性和完備性

在數學上，傳播常數稱為本征值，導模和輻射模的電磁場分布為本征函數，因此將導模和輻射模稱為本征模。下面將討論光在理想波導中傳播時，波導本征模的正交性和完備性。這里所謂的理想波導是指折射率沿縱向分布相同，沿橫向分布具有波導結構特征，并且波導介質沒有吸收損耗。

1.正交性

在無源介質中，頻率為ω的時諧電磁波滿足麥克斯韋方程，即

在沒有吸收或增益的介質中，介電常數為實數，對上式取共軛可得

設E1、H1和E2、H2分別為滿足麥克斯韋方程組的兩個線性獨立解所對應的場。將E1、H1和E2、H2分別應用于式（5.1-55）和式（5.1-56），并引入矢量A，令

在無損介質中，折射率n（或）為實數，即n=n*。容易驗證，矢量A的散度為零，即

令E1、H1和E2、H2分別為波導的兩個模式l、m，并設

將上式代入式（5.1-58）可得

式中，下標“T、z”分別表示場的橫向分量和縱向分量。對上式在xy平面進行面積分可得

式中，dσ為面元，線積分路徑C為等式左邊面積分區(qū)域Σ的邊界。此處，區(qū)域Σ可取為整個xy平面。當l、m都為導模或兩者之一為導模時，由于導模在無限遠處的場為零，因此上式中的環(huán)路積分為零，于是有

事實上，當l、m都為輻射模時，上式仍然成立。當l≠m時，一般βl≠βm，因此有

也可以將上式寫成

上式對波導所有的本征模都成立。波導的本征模既包括沿z方向傳播的行波，也包括沿-z方向傳播的反射波。沿z方向的行波和沿-z方向的反射波之間各量對應關系為

將-l、m階模應用于式（5.1-64），并利用式（5.1-65）可得

將式（5.1-64）與式（5.1-66）相加可得

當l=m時，則有

以上討論了本征模的正交性。為方便起見，可以將本征模的正交性統(tǒng)一表示為

2.完備性

根據嚴格的偏微分方程理論可以證明，理想波導的本征模函數系不僅滿足正交性，還具有完備性，即所有導波模和輻射模函數構成正交完備系。因此，任何在波導結構中實際存在的電磁場分布均可表示為一組離散的導波模式和具有連續(xù)譜的輻射模式的疊加，即

由于本征模是電場和磁場的組合，因此電場和磁場的展開系數相同。在上式中，第一項表示導模的貢獻。由于導模是離散的，因此導模的疊加表示成求和形式。第二項則表示輻射模的貢獻。輻射模具有連續(xù)譜分布，輻射模疊加表示為積分形式。式（5.1-70）中，積分變量κ為

這里傳播常數β可以取正值或負值，分別對應沿z軸或-z軸傳播的模式。展開式中各項系數由正交性條件決定，即

由此可見，入射到光波導的光波將分解為不同的本征模進行傳播。其中展開項中為導模的分量可以在波導中無損耗地傳播到出射端，而輻射模分量將在傳播過程中從波導結構中輻射出去，一般不能傳播到出射端。輻射模分量攜帶的光功率將產生能量損耗，這部分損耗稱為入射端的耦合損耗。

由式（5.1-69）和式（5.1-70）可以得到

式中，。式（5.1-73）左邊表示入射的總功率，右邊表示各模式功率之和。在理想波導中，各模彼此獨立傳播，互不干擾，各模之間沒有能量交換或耦合。