4.1 各向異性介質中的電磁場方程[2],[14],[21],[45]

在空間無自由電荷和傳導電流情況下，麥克斯韋方程組為

對于光在各向異性介質傳播的情況，上面四個方程與各向同性介質中的方程一樣，不同的是相應的本構關系不同。在各向同性介質中，本構關系為

其中，εr為標量，μr≈1。在各向異性介質中，一般仍然有μr≈1，而εr變為張量。

4.1.1 各向異性介質的介電張量

在各向異性介質中，D與E之間滿足

式中，ε和εr分別為介電張量和相對介電張量，表示為

ε和εr滿足

介電張量是二階張量，共有九個分量?？梢宰C明，介電張量是二階對稱張量，因此只有六個獨立分量。若選擇適當的坐標系，可以將對稱張量化為對角形式，即

其中，εx、εy、εz稱為介質的主介電常數。當介質具有一定的對稱性時，介電張量的獨立分量數目還要減少。各向異性材料主要是晶體材料，根據晶體的對稱性可將晶體分為七大晶系，分別是三斜晶系、單斜晶系、正交晶系、三角晶系、四方晶系、六角晶系和立方晶系。經對角化后，具有不同對稱性晶體的介電張量矩陣如表4.1-1所示。

下面討論介電張量的對稱性。由麥克斯韋方程組前兩式

將E點乘式（4.1-8b），減去H點乘式（4.1-8a）得

用坡印廷矢量S將上式改寫為

根據能量守恒定律，能流密度散度的負值等于單位時間內能量密度W的增量，即

因此

或

根據張量的求和規則，上式右側第一項指標i、j互換，等式仍然成立，于是有

上式對每個場分量均成立，因此有

4.1.2 晶體的主折射率

對于各向同性介質，其折射率n與介電常數εr的關系為

n=

對于各向異性介質，其折射率也具有各向異性，相應于前面提及的主介電常數，引入主折射率的概念，即令

ni= （i=x，y，z）

在主軸坐標系中，有

Di=ε0εriEi（i=x，y，z）

由此可見，在主軸方向上，D與E平行。

4.1.3 光波在晶體中的能量傳播

設在晶體中傳播的單色平面光波的各場矢量為

將上式各場量代入麥克斯韋方程組第一式（4.1-1a），得

式中，x0、y0、z0分別為x、y、z軸的單位矢量。由式（4.1-17）可得

此式說明，磁場強度矢量H與電場強度矢量E、波矢k正交。同理得

即

此式說明，電位移矢量D與磁場強度矢量H、波矢k正交。而坡印廷矢量為

S與E、H垂直。于是可知各矢量之間的幾何關系，如圖4.1-1所示。

從圖4.1-1中可以看出，E、D、k、S均在與H垂直的平面P1內。E與D之間的夾角為α，k與S之間的夾角也為α。S代表光波能量的傳播方向，即光線方向，而波矢k的方向即波陣面的法線方向，也就是等相面前進的方向。一般來說，當光波在各向異性介質中傳播時，光波能量的傳播方向與波陣面的傳播方向并不一致，相應的速度即光波能量的傳播速度和相速也不同。

由電磁場的知識可知，電磁波的總能量密度是其電能密度與磁能密度之和，即

將式（4.1-18）及式（4.1-20）代入式（4.1-22）可得

式中，k0、s0分別為k與S的單位矢量。進一步將式（4.1-23）寫成

而光波傳播的相速為

光波能量傳播速度即光線速度為

引入光線折射率nr，令nr=c/vr，由式（4.1-24）得

相速與光線速度之間的關系為

可見，相速是光線速度在波法線方向上的投影，并且等相面的傳播速度不會超過能量的傳播速度。

4.1.4 菲涅耳法線方程

由式（4.1-18）及式（4.1-20）可得

式中，k=kk0= (ωn /c)k0。根據矢量運算公式A×(B×C)=B(A·C)-C(A·B)，得

或

寫成分量形式得

或

因為電位移矢量D與波矢k正交，即D·k=0，于是有

上式為菲涅耳法線方程。注意到

由菲涅耳法線方程可得

若將

展開，可得

這是一組關于Ei（i=x，y，z）的齊次線性方程組，該方程組具有非零解的條件是系數行列式為零，因此得到

上式稱為久期方程，是一個關于n2的二次方程。當光線方向一定時，解方程得n2 的兩個本征值

n'2、n″2，代入方程組得本征矢E'與E″分別為

對應的D'與D″為

可以證明，D'與D″正交，即D'·D″=0。證明過程如下:

事實上，n'與n″分別滿足公式（4.1-34），顯然有

根據以上討論可以得出下面幾點結論。

（1）在一般情況下，對應于晶體中每一個特定的波法線方向k，存在兩個本征傳播模，每一個傳播模是一束單色線偏振光。

（2）這兩束線偏振光的電位移矢量相互垂直，即D'⊥D″，并且兩者都垂直于k，即D'⊥k，D″⊥k。

（3）這兩束線偏振光在晶體中具有不同的傳播速度，即相應的折射率n'與n″不同。

（4）對應于同一個波矢k，與D'、D″相應的電場矢量分別為E'、E″。E'與E″一般不一定正交，S'、S″方向也不一樣，于是出現雙折射現象。

4.1.5 菲涅耳光線方程

由矢量E和D之間的關系

用D點乘上式得

即

或者

α為E與D之間的夾角，也為k與S之間的夾角，或者光線速度vr和法線速度（相速）vp之間的夾角，且有

根據光線折射率定義

將式（4.1-47）寫為

根據矢量E和D之間的幾何關系，可得

在介電主軸坐標系中，寫成分量形式為

因為電場矢量E與坡印廷矢量S正交，即E·S=0，于是

或者

上式為菲涅耳光線方程。式中，vx、vy、vz稱為主光線速度，分別表示電場強度矢量沿各介電主軸時的光線速度。

4.1.6 對偶法則

比較D=ε0n2 [E-k0(k0·E) ]和可以發現兩個公式各量之間存在著規則的對應關系，更普遍的對應關系如表4.1-2所示。在表4.1-2中，如果其中一行的一些量滿足某一關系式，則將這一關系式中的每一個量換成表4.1-2中另一行的對應量，所獲得的新的關系式也成立。表4.1-2所揭示的對應關系稱為對偶法則。利用對偶法則可以方便地把描寫波法線的公式變換為描寫光線的公式;反之亦然。

4.1.7 菲涅耳法線方程的應用

1.立方晶體

立方晶體的相對介電張量可寫為

由久期方程得n2有兩個相等的實根，即

這個結果說明立方晶體在各個方向上均有相等的折射率，是光學各向同性材料。當光在其中傳播時，不產生雙折射現象。

2.單軸晶體

三角晶體、四角晶體、六角晶體的相對介電張量可寫為

可見，這些晶體的相對介電張量具有以z軸為對稱軸的旋轉對稱性，具有這種性質的晶體稱為單軸晶體。由久期方程得n2有兩個實根，分別為

當光沿z軸傳播時,，因此在z軸方向上有

這說明光在沿z軸傳播時不發生雙折射。當光沿垂直于z軸方向傳播時,，于是有

一般地，當光波在單軸晶體中傳播時，存在兩種光波。其中，折射率與傳播方向無關的光波稱為尋常光，或稱為o光;另一種為折射率與傳播方向有關的光波，稱為非尋常光，或稱為e光。下面討論這兩種光在單軸晶體中傳播時，其振動方向與傳播方向之間的關系。因為光軸沿z軸方向，由于旋轉對稱性，x軸與y軸可以任意選擇。不妨選擇適當的坐標系，如圖4.1-2所示，使波法線k0方向平行于yz平面，并設k0與z軸的夾角為θ，則有

（1）對于尋常光，由方程（4.1-38），可得

將εrx=εry=，εrz=，n2=n'2=代入上列各式得

由于后兩式的系數行列式不為零，即

故Ey=Ez=0，在這種情況下，光波場有非零解的條件只能是Ex≠0。其解為

將Eo與k0點乘得

并且由本構關系可得

可見，對于o光，電場強度矢量E與波法線k垂直，與電位移矢量D平行，且垂直于光軸（z軸）與k0所張的平面，因而o光的波法線方向與光線方向一致。

（2）對非尋常光，則有

將εrx=εry=，εrz=，n2=n″2代入上式得

式中

根據式（4.1-69a），由于，故Ex=0。由于式（4.1-69b）與式（4.1-69c）的系數行列式為零，即

故Ey、Ez有非零解。由式（4.1-69b）及式（4.1-69c）得

其中θ'為坡印廷矢量S與z軸的夾角。于是，e光電場強度矢量可寫為

式中，C為某常數。De矢量為

顯然

一般θ≠θ'，因此e光的Ee與De不平行。Ee與De之間的夾角為α，并滿足

由式（4.1-61）與式（4.1-74）可得

上式說明De⊥k0。得到電場強度后，進一步可以求出磁場強度H和坡印廷矢量S為

及

由此可見，E、D、k、S均在yz平面內。對于e光，其振動矢量平行于光軸（z軸）與k0所張的平面，并且e光的波法線方向與光線方向有一定夾角。