2.5 系統(tǒng)的離散化和連續(xù)化

利用MATLAB控制系統(tǒng)工具箱中提供的函數(shù)可將連續(xù)系統(tǒng)的模型離散化，也可將離散系統(tǒng)的模型連續(xù)化，而且可將系統(tǒng)離散化后的模型按另一采樣周期重新離散化。相關(guān)函數(shù)如表2-4所示。

1.連續(xù)系統(tǒng)的離散化

已知連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式

在采樣周期T下離散化后的狀態(tài)空間表達(dá)式可表示為

其中，G =eAT，。

在MATLAB中，若已知連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)模型∑（A，B）和采樣周期T，便可利用函數(shù)

[G，H] =c2d（A，B，T）

方便地求得系統(tǒng)離散化后的系數(shù)矩陣G和H。

對具有輸入純延時(shí)τ的連續(xù)時(shí)間狀態(tài)系統(tǒng)

在采樣周期T下，離散后的狀態(tài)空間表達(dá)式也可表示為

相應(yīng)地，MATLAB的轉(zhuǎn)換函數(shù)c2dt（）的調(diào)用格式為

[G，H，Cd，Dd] =c2dt（A，B，C，D，T，tau）

其中，A，B，C，D為連續(xù)系統(tǒng)的系數(shù)矩陣；T為采樣周期；tau為輸入純延時(shí)τ；返回值G，H，Cd，Dd為離散化后的系數(shù)矩陣。

MATLAB控制系統(tǒng)工具箱中還給出了功能更強(qiáng)的求取連續(xù)系統(tǒng)離散化矩陣的函數(shù)c2dm（），其調(diào)用格式為

[G，H，C，D] =c2dm（A，B，C，D，T，′選項(xiàng)′）

或 [numd，dend] =c2dm（num，den，T，′選項(xiàng)′）

式中，選項(xiàng)如表2-5所示；num，den為連續(xù)系統(tǒng)傳遞函數(shù)的分子分母系數(shù)；numd，dend為離散化后脈沖傳遞函數(shù)的分子分母系數(shù)；其余參數(shù)定義同前。可見此函數(shù)既可用于狀態(tài)空間形式又可用于傳遞函數(shù)。

【例2-22】 對連續(xù)系統(tǒng)

在采樣周期T=0.1時(shí)進(jìn)行離散化。

解 利用以下MATLAB命令，可對系統(tǒng)按4種方法進(jìn)行離散化。

      ＞＞K=6；Z=[ -3]；P=[ -1；-2；-5]；T=0.1；[A，B，C，D] =zp2ss（Z，P，K）
      ＞＞[G1，H1] =c2d（A，B，T），[G2，H2，C2，D2] =c2dm（A，B，C，D，T，′zoh′）
      ＞＞[G3，H3，C3，D3] =c2dm（A，B，C，D，T，′foh′），
      ＞＞[G4，H4，C4，D4] =c2dm（A，B，C，D，T，′tustin′）

【例2-23】 已知系統(tǒng)如圖2-11所示。利用MATLAB求系統(tǒng)在 T=1s時(shí)的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)G（z）。

解 MATLAB命令及其執(zhí)行結(jié)果如下

2.離散函數(shù)的連續(xù)化

在MATLAB中也提供了從離散化系統(tǒng)轉(zhuǎn)換為連續(xù)系統(tǒng)各系數(shù)矩陣求取的功能函數(shù)，其調(diào)用格式分別如下

[A，B] =d2c（G，H，T）

或

[A，B，C，D] =d2cm（G，H，C，D，T，′選項(xiàng)′）

其中選項(xiàng)見表2-5。

3.離散時(shí)間系統(tǒng)重采樣

在MATLAB中也提供了將系統(tǒng)離散化后模型按另一采樣周期重新離散化的功能函數(shù)，其調(diào)用格式如下

sys1=d2d（sys，T）

或

sys1=d2c（sys，[ ]，N）

其中，第一式將離散時(shí)間LTI對象sys（關(guān)于LTI對象的定義見第9章）重采樣，從而構(gòu)成新的離散時(shí)間系統(tǒng)sys1，采樣周期為T，單位s。該調(diào)用等價(jià)于命令：

sys1=c2d（d2c（sys，T））

第二式將給離散時(shí)間LTI對象sys加入輸入延時(shí)。輸入延時(shí)必須是采樣周期的整數(shù)倍，它由N給出。如果N為標(biāo)量，則各輸入通道具有相同的輸入延時(shí)；如果N為向量，則分別定義各輸入通道的輸入延時(shí)。

【例2-24】 離散時(shí)間系統(tǒng)在采樣周期T=0.1s時(shí)為

現(xiàn)將以上離散時(shí)間系統(tǒng)在采樣周期T=0.05s時(shí)進(jìn)行重新采樣。

解 MATLAB命令如下

      ＞＞K=1；Z=[0.7]；P=[0.5]；T=0.1；sys=zpk（Z，P，K，T），sys1=d2d（sys，0.05）

結(jié)果顯示：