1.2 動態系統的狀態空間模型

1.2.1 狀態空間的基本概念

系統的狀態空間模型是建立在狀態、狀態空間概念的基礎之上的。為此，首先對系統、狀態、狀態空間等基本概念進行定義和討論。

1.系統的基本概念

（1）系統

所謂系統，是由相互制約的各個部分有機結合，且具有一定功能的整體。從輸入、輸出關系看，自然界存在兩類系統：靜態系統和動態系統。

（2）靜態系統

對于任意時刻t，系統的輸出唯一地取決于同一時刻的輸入，這類系統稱為靜態系統。該類系統的特征是：任意時刻系統的輸出與同一時刻的輸入保持確定的關系，而對該時刻以前的輸入無任何依賴性，即無記憶，故靜態系統亦稱為無記憶系統。靜態系統的輸入、輸出關系為代數方程。

圖1-1所示的電阻電路就屬于靜態系統。若輸入電壓為u（t），對于任意時刻t，其輸出電流i（t）為

顯然，t時刻的輸出i（t）僅與t時刻的輸入u（t）有關，而與t時刻以前的輸入u（t）無關。

（3）動態系統

對任意時刻t，系統的輸出不僅與t時刻的輸入有關，而且與t時刻以前的累積有關（這種累積在t0（t0＜t）時刻以初值體現出來），這類系統稱為動態系統。由于t0時刻的初值含有過去運動的累積，故動態系統亦稱為有記憶系統。動態系統的輸入、輸出關系為微分方程。

考察圖1-2所示的電感電路，設電感電流i（t）為輸出，電壓u（t）為輸入，其輸入、輸出關系為

式中，i（t0）是初始時刻t0電感中流過的電流。

由式（1-2）可見，對含有電感這種儲能元件的系統來說，t時刻的電感電流i（t）不僅與時間區間（t0～t）內的輸入u（t）有關，且與t0時刻電感的初始電流有關，這種系統稱為動態系統。

2.動態系統的兩類數學描述

一個動態系統可用圖1-3所示方框圖表示。方框以外的部分稱為系統環境，環境對系統的作用稱為系統輸入，系統對環境的作用稱為系統輸出，輸入變量組用u1，u2，…，ur表示，輸出變量組用y1，y2，…，ym表示，它們均為系統的外部變量。

描述系統內部每個時刻運動狀況的變量稱為內部變量。若內部變量完全地表征了系統內部的運動狀態，則稱為狀態變量，狀態變量組用x1，x2，…，xn表示。輸入變量、狀態變量、輸出變量統稱為系統變量。

系統動態過程的數學描述實質上就是系統變量間因果關系的一個數學描述式。通常，可將系統的數學描述分為“外部描述”和“內部描述”兩種基本類型。

（1）外部描述

外部描述通常稱為輸入、輸出描述。這種描述將系統的輸出取為系統外部輸入的直接響應，回避了表征系統內部的動態過程，即把系統當成一個“黑匣”，認為系統的內部結構和內部信息全然不知，系統描述直接反映了輸出變量與輸入變量間的動態因果關系。

考察圖1-4所示的n級RC網絡，圖中虛線框內為具有放大器隔離的n級RC電路，系統只有一個輸入u，一個輸出y，并設放大器的輸入阻抗為無窮大，輸出阻抗為零，放大倍數為1。如同經典控制理論中所熟知的，系統以輸入u、輸出y作為變量的外部描述為式（1-3）所示的高階線性常系數微分方程，即

式中，y（i）=diy/dti；ai和b為實常數，i=1，2，…，n。

在已知輸入u的情況下，解方程式（1-3），可求出輸出響應y，但不能獲悉系統內部電容上電壓隨時間變化的動態過程。

（2）內部描述

狀態空間描述是內部描述的基本形式，這種描述是基于系統內部結構分析的一類數學模型。其由兩個數學方程組成：一個是反映系統內部狀態變量x1，x2，…，xn和輸入變量u1，u2，…，ur間因果關系的數學表達式，稱為狀態方程。其數學表達式的形式對于連續時間系統為一階微分方程組，對于離散時間系統為一階差分方程組；另一個是表征系統內部狀態變量x1，x2，…，xn及輸入變量u1，u2，…，ur與輸出變量y1，y2，…，ym轉換關系的數學表達式，稱為輸出方程，其數學表達式的形式為代數方程。重新考察圖1-4所示的網絡，利用電路知識容易得到如下一階微分方程組

及

在已知輸入u的情況下，解方程式（1-4）、式（1-5），不僅可求出輸出響應y，而且能獲悉系統內部電容上電壓隨時間變化的動態過程信息。因此，式（1-4）、式（1-5）是圖1-4的一種完全描述。

在本書第3章將會看到，外部描述僅描述系統的外部特性，不能反映系統內部的某些特性，具有兩個完全不同內部結構的系統也可能具有相同的外部特性，因而外部描述通常只是對系統的一種不完全的描述。內部描述由于揭示了系統內部的結構特性，因而是對系統的一種完全的描述，它能完全表征系統的所有動力學特征。

3.系統狀態空間描述的基本概念

（1）動態系統的狀態

動態系統的狀態是完全地描述動態系統運動狀況的信息，系統在某一時刻的運動狀況可以用該時刻系統運動的一組信息表征，定義系統運動信息的集合為狀態。

（2）狀態變量

定義完全表征動態系統時間域運動行為的信息組中的元素為狀態變量。狀態變量組常用符號x1（t），x2（t），…，xn（t）表示，且它們相互獨立（即變量的數目最小）。

上述狀態變量定義中，完全表征的含義為：只要給定初始時刻t0的任意初始狀態變量組x1（t0），x2（t0），…，xn（t0）和t＞t0時的輸入變量組u1（t），u2（t），…，ur（t），那么系統的任何一個內部變量在t＞t0的各時刻的運動行為也就隨之完全確定了。而狀態變量組x1（t），x2（t），…，xn（t）為數目最小的含義為：從物理角度上說，減少其中任意一個變量就會減少確定系統運動行為的信息量從而不能完全表征系統運動行為，而增加一個變量對完全表征系統運動行為又是多余的；從數學角度看，這組狀態變量是系統所有內部變量中線性無關的一個極大變量組，即x1（t），x2（t），…，xn（t）以外的系統內部變量均與其線性相關。

【例1-1】 確定圖1-5所示RLC電路的狀態變量。

解 由電路定律，以u（t）為輸入，uC（t）為輸出的輸入、輸出描述為

式中，uC=

若用狀態變量描述，按狀態變量的定義，要唯一地確定t時刻電路的運動行為，除了要知道輸入電壓u（t）外，還必須給出流過電感上的初始電流i（t0）和電容上的初始電壓uC（t0），或者說uC（t）和i（t）這兩個變量可用來完全地描述該電路的運動行為，且它們之間是獨立的，故uC（t）和i（t）是該電路的狀態變量。顯然，如果僅用i（t）一個變量去描述，則不能得知uC（t）的運動行為；若僅用uC（t）去描述，則不能得知i（t）的運動行為，故減少狀態變量組uC（t），i（t）中任意一個變量，就會破壞對系統運動行為表征的完整性。若用i（t），uC（t）和電容上的電荷q（t）這3個變量去描述，則因為CuC（t）=q（t），uC（t）與q（t）線性相關，得知uC（t）的運動行為就知道q（t）的運動行為，故增加q（t）這個變量是完全表征系統運動行為所不需要的。

（3）狀態向量

設x1（t）、x2（t），…，xn（t）是系統的一組狀態變量，將這些狀態變量視為向量x（t）的分量，則x（t）就稱為狀態向量，記為

（4）狀態空間

以x1，x2，…，xn為坐標軸構成的一個n維歐氏空間，稱為狀態空間。狀態空間的概念由向量空間的概念引出。在向量空間中，維數就是構成向量空間基底的變量個數，在狀態空間中，維數的概念與此相同，只不過狀態空間基底的變量是系統的狀態變量。

（5）狀態軌跡

狀態向量的端點在狀態空間中的位置代表了某一特定時刻系統的狀態。如果給定t0時刻系統的初始狀態x（t0），則狀態向量的初始位置就確定了。系統的狀態是時間t的函數。在不同時刻，系統狀態不同，則隨著t的變化，狀態向量x（t）的端點不斷移動，其移動的路徑就稱為系統的狀態軌跡。某二階系統的狀態軌跡如圖1-6所示。

（6）狀態方程

描述系統狀態變量間或狀態變量與系統輸入變量間關系的一個一階微分方程組（連續系統）或一階差分方程組（離散系統），稱為狀態方程。

【例1-2】 建立圖1-5所示RLC電路的狀態方程。

解 由例1-1知，用電容上的電壓uC（t）和電感中的電流i（t）可完全描述系統的運動行為。故取uC（t）和i（t）作為狀態變量，根據電路原理有

將式（1-6）中狀態變量的一階導數放在方程左邊，其余項移至方程右邊，整理得一階微分方程組為

式（1-7）即為圖1-5所示RLC電路的狀態方程，并將其寫成向量-矩陣形式，即

令x1=uC（t），x2=i（t），記

式（1-8）可簡寫為

式中，A=

B=

（7）輸出方程

在指定系統輸出的情況下，該輸出與狀態變量及輸入變量間的函數關系式稱為系統的輸出方程。

例1-2中，若指定uC（t）為輸出，且輸出一般用y（t）表示，則輸出方程為

將式（1-10）寫成向量-矩陣形式，得

或

式（1-11）可簡寫成

式中，C=[1 0]。

（8）狀態空間表達式

狀態方程和輸出方程合起來構成對一個動態系統完整的描述，稱為動態系統的狀態空間表達式。圖1-5所示電路，若uC（t）為輸出，取x1=uC（t），x2=i（t）作為狀態變量，則其狀態空間表達式為

為正確理解狀態空間的基本概念，應注意如下幾點。

① 系統輸出和系統狀態在概念上的不同性。輸出是人們希望從系統中得到的響應，而狀態是完全地描述系統運動行為的一組信息。在線性系統中，輸出是狀態變量組中的某一個或某幾個變量的線性組合。另外，輸出總是可以測量的，而狀態變量信息并不一定都能測量到。

② 狀態變量的非唯一性。對一個動態系統，狀態變量組x1（t），x2（t），…，xn（t）的選取一般具有非唯一性。導致非唯一性的原因在于：系統內部變量的個數必大于狀態的維數n，而任意n個線性無關的內部變量都可能取為系統的狀態變量。對此以圖1-5所示RLC電路為例加以說明。

由式（1-13），取x1=uC（t），x2=i（t）作為狀態變量的狀態方程為

事實上，電容的端電壓取決于電容儲存的電荷q（t），有q（t）=CuC（t），所以亦可取q（t）、i（t）作為狀態變量，導出一階微分方程組為

令=q（t），=i（t），則有向量-矩陣形式的狀態方程為

若選狀態變量，，則有

故

將以上一階微分方程組表示的狀態方程寫成向量-矩陣形式，得

由此可見，在同一個系統中，究竟選取哪些變量作為狀態變量并不是唯一的，要依所研究的問題而定，重要的是所選的變量確實有資格作為狀態變量。選擇狀態變量的這種自由性正是狀態空間法的優點之一。

③ 任意兩組狀態變量之間的關系。對于一個動態系統，任意選取兩組狀態變量x1（t），x2（t），…，xn（t）和（t）（t），…（t），由于狀態變量的線性無關性，由線性代數可知，x1（t），x2（t），…，xn（t）可表示為（t）（t），…（t）的線性組合，即

將式（1-18）寫成向量-矩陣方程形式為

式中，

n；

T稱為變換矩陣。

同理，可將（i=1，2，…，n）表示為xi（i=1，2，…，n）的線性組合，得對應的向量-矩陣方程為

式中，P亦稱為變換矩陣。

由式（1-19）及式（1-20）得

x=TPx

=PT

即

TP=PT=I

表明變換矩陣T和P互為逆，即同一系統所任意選取的兩個狀態向量x和之間為線性非奇異變換關系。

④ 線性非奇異變換下，系統任意兩個狀態空間表達式的關系。系統的狀態空間表達式不具有唯一性，選取不同的狀態變量，便會有不同的狀態空間表達式，但它們均描繪同一系統。對于一個動態系統，一組狀態變量下的狀態空間表達式可用另一組狀態變量下的狀態空間表達式經線性非奇異變換得到。

仍以圖1-5所示RLC電路為例，如前所述，若選x1=uC（t），x2=i（t）為狀態變量，y=uC（t）為輸出變量，其狀態空間表達式如式（1-13）所示。若選=q（t），=i（t）為狀態變量，y=uC（t）作為輸出變量，由y=uC（t）=q（t）/C且據式（1-16）有狀態空間表達式

事實上，狀態向量x=[x1x2]T和之間存在線性非奇異變換關系，即

式中，T=

為非奇異變換陣，則T-1=

為T的逆矩陣。

將非奇異變換關系式（1-22）代入式（1-13），即可推出狀態向量下的狀態空間表達式（1-21），即

（9）工程問題中狀態變量的選取

① 動態系統需用微分方程描述是因為動態系統含有儲能元件，因而，動態系統是一個能存儲輸入信息的系統。t0時刻以前的輸入信息產生t0時刻儲能元件上的初始能量，根據儲能元件的能量方程，相應的物理變量的初值亦確定。根據狀態變量的含義，如果知道t=t0時刻狀態變量的值，只要給出t＞t0以后的輸入，對于確定系統未來的運動狀態就是充分的。對同一系統的任何一種不同的狀態空間表達式而言，其狀態變量的數目是唯一的，必等于系統的階數，即系統中獨立儲能元件的個數。因此，在具體工程問題中，可選取獨立儲能元件的能量方程中的物理變量作為系統的狀態變量。

② 狀態變量不一定是物理可測量的，有時僅有數學意義而無任何物理意義。在具體工程問題中，為了實現狀態的反饋控制，以選擇容易測量的量作為狀態變量為宜。例如，選擇機械系統中的線（角）位移和線（角）速度作為狀態變量，電路中電容上的電壓和流經電感的電流作為狀態變量。

③ 用n階微分方程描述的系統，當n個初始條件x（t0）（t0），…，x（n-1）（t0）及t≥t0的輸入u（t）給定時，可唯一確定微分方程的解，即系統將來的狀態。故x（t）（t），…，x（n-1）（t）這n個獨立的變量可選做狀態變量。

1.2.2 動態系統狀態空間表達式的一般形式

1.單輸入單輸出線性定常連續系統

設單輸入單輸出線性定常n階連續系統，n個狀態變量為x1，x2，…，xn，其狀態方程的一般形式為

輸出方程的一般形式為

則其向量-矩陣方程形式的狀態空間表達式為

式（1-25）簡記為

式中，x=[x1x2… xn]T為n維狀態向量，上標T為轉置符號

是n×n維方陣，反映了系統內部狀態變量間的聯系，稱為系統矩陣或狀態矩陣；

是n×1維矩陣，反映了輸入對狀態變量的作用，稱為輸入矩陣或控制矩陣；C=[c1 c2 … cn]是1×n維矩陣，反映了輸出與狀態的組合關系，稱為輸出矩陣或觀測矩陣；D是標量，反映輸出與輸入的直接關聯。

2.多輸入多輸出線性定常連續系統

對于有r個輸入u1、u2，…，ur，m個輸出y1，y2，…，ym的多輸入多輸出n階線性定常連續系統，狀態方程的一般形式為

輸出方程的一般形式為

則其向量-矩陣方程形式的狀態空間表達式為

式（1-29）簡記為∑（A，B，C，D），即

式中，x=[x1x2… xn]T是n維狀態向量；y=[y1y2… ym]T是m維輸出向量；u=[u1u2… ur]T是r維輸入向量；

是n×n維系統矩陣（或狀態矩陣）；

是n×r維輸入矩陣（或控制矩陣）；

是m×n維輸出矩陣；

是m×r維輸入/輸出關聯矩陣（或直接傳遞矩陣）。應該指出，在工程上，系統輸入對系統輸出直接作用的情況是不多見的，即大多數情況下D=0。

由此可見，采用向量-矩陣方程形式使復雜的多輸入多輸出系統的數學表達式得以簡化，當系統狀態變量的數目、輸入變量的數目或輸出變量的數目增加時，并不增加方程的復雜性。

3.多輸入多輸出線性時變連續系統

式（1-30）為多輸入多輸出線性定常連續系統的狀態空間表達式，其特征是系數矩陣的各元素均為常數。若A、B、C、D矩陣中的某些元素或全部元素是時間t的函數，對應的系統稱為線性時變連續系統，其向量-矩陣方程形式的狀態空間表達式為

式中，A（t）=

B（t）=

C（t）=

D（t）=

4.非線性系統

一般來說，實際物理系統都是非線性的。用狀態空間表達式描述非線性系統的動態特性，其狀態方程是一組一階非線性微分方程，輸出方程是一組非線性代數方程，即

用向量-矩陣表示，則為

式中，F，G均為向量函數；fi（i=1，2，…，n），gj（j=1，2，…，m）分別為F、G的元素，fi（i=1，2，…，n），gj（j=1，2，…，m）均是x1，x2，…，xn，u1，u2，…，ur的某類非線性函數。

由于式（1-32）、式（1-33）或式（1-34）中顯含時間t，其所描述的系統為非線性時變系統。若式（1-32）、式（1-33）或式（1-34）中不顯含時間t，則為非線性定常系統，其狀態空間表達式的一般形式為

1.2.3 狀態空間模型的圖示

1.方塊圖

線性系統狀態空間表達式可用方塊圖來表示。式（1-30）所描述的系統方塊圖如圖1-7所示。它形象地表明了系統輸入與輸出的因果關系，狀態與輸入、輸出的組合關系。每一方塊的輸入、輸出關系規定為

輸出向量=（方塊所示矩陣）×（輸入向量）

圖1-7中，矩陣A，B，C，D用A（t），B（t），C（t），D（t）替代，即為式（1-31）所描述的線性時變系統的方塊圖。

2.狀態模擬圖

在狀態空間分析法中，常采用模擬計算機仿真中的模擬結構圖來表示系統的狀態空間表達式。繪制這種圖形常用到3類元件：積分器、加法器、比例器。繪制步驟是：積分器的數目應等于狀態變量數，將積分器畫在適當位置（積分器用內含積分符號的方框表示），各積分器的輸出表示相應的某個狀態變量；然后根據狀態方程和輸出方程所表達的運算關系，畫出對應的加法器和比例器（加法器用符號?表示，比例器用內含比例系數的方框表示）；最后用帶箭頭的傳輸線將各元件連接起來。由于圖中采用符號來表示實際的積分器、加法器、比例器，而積分器的輸出表示的是某個狀態變量，故又稱這種狀態空間表達式的模擬結構圖為狀態模擬圖（或狀態變量圖）。

【例1-3】 3階系統的狀態空間表達式為

試畫出其模擬結構圖（狀態變量圖）。

解 該系統有3個狀態變量，對應3個積分器的輸出，而每個積分器的輸入量就是對應狀態變量的導數。該系統的狀態變量圖如圖1-8所示。

1.2.4 由系統機理建立狀態空間模型示例

動態系統均含有儲能元件，能量的變化伴隨有系統的運動變化。因此，可根據支配系統運動的物理定律，建立動態系統的狀態方程，在指定系統的輸出后即可列寫系統的輸出方程。

【例1-4】 圖1-9所示為帶有輸入濾波器的有源比例、積分（PI）調節器電路圖，ur為調節器的輸入，u0為調節器的輸出，建立其狀態空間表達式。

解（1）選擇狀態變量

該調節器含有兩個獨立的儲能元件C0，C1，可選電容C0，C1上的電壓uC0，uC1作為狀態變量，電壓和電流為關聯參考方向。

（2）利用電路基本理論，建立原始方程

考慮到有源放大器的開環增益很大，A點為虛地點。對于A點左邊回路，有

將式（1-36）、式（1-37）、式（1-38）代入式（1-39）并整理，得

對于A點右邊回路，有

（3）導出狀態方程和輸出方程

將式（1-40）和式（1-41）中狀態變量的一階導數寫在方程的左邊，其余項寫在方程的右邊，得以一階微分方程組表示的狀態方程為

由圖1-9知，輸出變量方程為

（4）列寫狀態空間表達式

將式（1-42）、式（1-43）寫成向量-矩陣形式并合起來，則得向量-矩陣形式的狀態空間表達式，即

令x1=uC0，x2=uC1，u=ur，y=u0，由式（1-44）可得狀態空間表達式的一般式，即

若引入

則得狀態空間表達式的簡潔形式，即

【例1-5】 考察圖1-10所示電路，取電壓源e為輸入變量，R1上的電壓為輸出變量，建立該電網絡的狀態空間表達式，電壓和電流為關聯參考方向。

解（1）選取狀態變量

網絡中只含有電容C、電感L兩個獨立儲能元件，選電容端電壓uC、流經電感L的電流iL作為狀態變量。

（2）利用電路基本定理列原始方程

回路Ⅰ：

回路Ⅱ：

將iC=

代入式（1-47），得

（3）導出狀態變量的一階微分方程組

將式（1-49）和式（1-48）中狀態變量iL、uC的一階導數移至方程的左邊，而將其余項移到方程右邊，得狀態變量的一階微分方程組為

（4）導出狀態方程和輸出方程

將狀態變量的一階導數看成待定量，用解代數方程方法求解式（1-50），即可求出狀態方程。將式（1-50）可寫成向量-矩陣形式的方程，即

解之，得向量-矩陣形式的狀態方程為

輸出方程為

（5）列寫狀態空間表達式

將式（1-52）和式（1-53）合起來即為狀態空間表達式，若令x1=iL，x2=uC，u=e，，則可得狀態空間表達式的一般式，即

【例1-6】 圖1-11所示的機械平移系統模型，滑塊M1、M2的質量分別是M1、M2；彈簧K1、K2的彈性系數分別為K1、K2；阻尼器B阻尼系數為B。試建立以外力f為輸入，滑塊M1、M2的位移、為輸出的狀態空間表達式（忽略靜摩擦與滑動摩擦）。

解（1）選擇狀態變量

圖1-11中的滑塊M1、M2和彈簧K1、K2為相互獨立的儲能元件，故滑塊M1、M2的速度v1、v2及位移、可選作該系統的狀態變量。

（2）列出機械運動的原始方程

由位移與速度的關系，有

根據牛頓運動定律，對于M1有

同理，對于M2有

（3）導出狀態方程和輸出方程

整理式（1-55）～式（1-58），得以一階微分方程組表示的狀態方程為

輸出方程為

（4）列寫狀態空間表達式

令x1=，x2=，x3=v1，x4=v2，f=u，則有狀態空間表達式為

【例1-7】 圖1-12所示為電樞控制的他勵直流電動機拖動示意圖，勵磁電流if恒定，通過調節電樞供電電壓ua實現調速。其中，R，L分別為電樞回路的電阻和電感；e為電樞反電勢；J為電動機軸上的等效總轉動慣量；T為電動機電磁轉矩；Tz為折合到電動機軸上的總負載轉矩；B為電動機軸上的黏性摩擦系數。試建立以電樞電壓ua、總負載轉矩Tz為輸入，電動機軸的轉速n為輸出的狀態空間表達式（不考慮電樞反應）。

解（1）選擇狀態變量

因為電感L和轉動慣量J為獨立的儲能元件，故可選相應的電樞回路電流i和電動機軸轉速n這兩個相互獨立的變量為狀態變量。

（2）列寫原始的運動方程

由基爾霍夫電壓定律，列寫電樞回路電壓方程為

設電動機軸的角速度為ω（rad/s），由牛頓力學定律，列寫電動機轉動方程為

式中，

根據電機學，電動機的電磁轉矩及感應電動勢分別為

式中，KT=CTΦ，Ke=CeΦ，Φ為直流電動機每極合成磁通，CT，Ce分別是由電動機結構決定的轉矩常數、電動勢常數。

（3）導出狀態方程和輸出方程

整理式（1-62）～式（1-65），得以一階微分方程組表示的狀態方程為

輸出方程為

（4）列寫狀態空間表達式

令x1=i，x2=n，由式（1-66）和式（1-67）可得向量-矩陣形式的狀態空間表達式為

【例1-8】 圖1-13所示為二級液位系統示意圖，輸入流量為Q，輸出流量為Q2，h1、C1和h2、C2分別為液箱1和液箱2的液位、液容，兩個液箱之間閥的液阻為R1，輸出端閥的液阻為R2。設液體流動為層流（則系統可看作線性的），試建立其狀態空間表達式。

解（1）選擇狀態變量

根據流體流動的能量方程，可選相應的物理量h1、h2作為狀態變量。

（2）列寫原始的運動方程

出口流量與液位差成比例，即

（3）導出狀態方程和輸出方程

整理式（1-69）～式（1-72），得狀態變量一階微分方程組為

輸出方程為

（4）列寫狀態空間表達式的一般式

令x1=h1，x2=h2，Q=u，y=Q2，且將式（1-73）和式（1-74）合起來，寫成向量-矩陣形式，則得系統狀態空間表達式的一般式為