2.4 點(diǎn)的加速度合成定理——三種運(yùn)動(dòng)加速度間的關(guān)系

本節(jié)分析三種運(yùn)動(dòng)加速度——絕對(duì)加速度、相對(duì)加速度和牽連加速度之間的關(guān)系。

2.3節(jié)的分析表明，速度合成定理對(duì)于任何形式的牽連運(yùn)動(dòng)都是適用的。但是下面的分析則表明，加速度問(wèn)題比較復(fù)雜，對(duì)于不同形式的牽連運(yùn)動(dòng)，會(huì)得到不同的結(jié)論。

如圖2-5所示，點(diǎn)M為動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)系為O＇x＇y＇z＇，定系為Oxyz。rM為絕對(duì)運(yùn)動(dòng)矢徑，r＇為相對(duì)運(yùn)動(dòng)矢徑，rO＇為動(dòng)系坐標(biāo)原點(diǎn)的矢徑。根據(jù)速度合成定理，有

va=vr+ve

對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，得

因?yàn)?/p>

所以

式中，為相對(duì)加速度，相對(duì)于動(dòng)系i＇, ＇j, k＇的方向保持不變，只有變化，因此也可寫(xiě)成

ωe × vr則反映由于牽連運(yùn)動(dòng)（轉(zhuǎn)動(dòng)）引起vr方向的變化。

又因?yàn)?/p>

v e=ωe × rM

所以

式中，αe × rM +ωe × ve=ae為牽連加速度。上式中的ωe × vr反映相對(duì)運(yùn)動(dòng)引起的ve大小的改變。

由上述結(jié)果，可得

記

稱為科氏加速度（Coriolis acceleration），從而得

式(2-7)即為點(diǎn)的加速度合成定理（theorem for composition of acceleration），動(dòng)點(diǎn)在某瞬時(shí)的絕對(duì)加速度等于該瞬時(shí)的牽連加速度、相對(duì)加速度與科氏加速度的矢量和。

可以證明，無(wú)論牽連運(yùn)動(dòng)為何種運(yùn)動(dòng)形式，式(2-7)都成立，因此它是點(diǎn)的加速度合成定理的普遍形式。

特殊地，當(dāng)動(dòng)系做平動(dòng)時(shí)，ωe=0，相應(yīng)地，a C=2ωe × v r=0。此時(shí)，加速度合成定理的形式為

即當(dāng)牽連運(yùn)動(dòng)為平動(dòng)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)在某瞬時(shí)的絕對(duì)加速度等于該瞬時(shí)的牽連加速度與相對(duì)加速度的矢量和。

例題2-7

凸輪在水平面上向右做減速運(yùn)動(dòng)，如例題圖2-7(a)所示。設(shè)凸輪半徑為R，圖示瞬時(shí)的速度和加速度分別為v和a。求桿AB在圖示位置時(shí)的加速度。

分析：桿AB做平動(dòng)，只要求出圖示位置時(shí)桿AB上任意一點(diǎn)的加速度即可。

解：

以桿AB上的點(diǎn)A為動(dòng)點(diǎn)，凸輪為動(dòng)系，則點(diǎn)A的絕對(duì)軌跡為直線，相對(duì)軌跡為凸輪輪廓曲線。由于牽連運(yùn)動(dòng)為平動(dòng)，點(diǎn)的加速度合成定理為

aa=ae+ar

式中，aa為所求的加速度，已知它的方向沿直線AB，但指向和大小尚待確定；點(diǎn)A的牽連加速度為凸輪上與動(dòng)點(diǎn)重合的點(diǎn)的加速度，即有ae=a；點(diǎn)A的相對(duì)軌跡為曲線，于是相對(duì)加速度分為兩個(gè)分量：切向分量的大小是未知的，法向分量的方向如例題圖2-7(a)所示，大小為

相對(duì)速度vr可根據(jù)速度合成定理求出，其方向如例題圖2-7(b)所示，大小為

于是

加速度合成定理可寫(xiě)成如下形式：

假設(shè)aa和arτ的指向如例題圖2-7(a)所示。為了計(jì)算aa的大小，將上式投影到法線上，得

解得

當(dāng)φ＜90°時(shí)，aa＞0，說(shuō)明假設(shè)的aa指向恰是其真實(shí)指向。

例題2-8

在凸輪頂桿機(jī)構(gòu)中，凸輪半徑為r，偏心距為OC=e，以等角速度ω繞軸O轉(zhuǎn)動(dòng)，如例題圖2-8(a)所示。求當(dāng)OC⊥OA瞬時(shí)頂桿的加速度。

分析：頂桿做平動(dòng)，因此桿上點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)即可代表頂桿的運(yùn)動(dòng)。偏心凸輪繞軸O轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，頂桿上的點(diǎn)A與凸輪恒接觸，相對(duì)于凸輪沿其輪廓線運(yùn)動(dòng)，由于點(diǎn)A的相對(duì)軌跡可知，故選點(diǎn)A為動(dòng)點(diǎn)。相應(yīng)地，動(dòng)系固連于凸輪上。絕對(duì)運(yùn)動(dòng)為沿鉛垂軸的直線運(yùn)動(dòng)（規(guī)律未知）；相對(duì)運(yùn)動(dòng)為沿凸輪輪廓的圓周運(yùn)動(dòng)（規(guī)律未知）；牽連運(yùn)動(dòng)為繞軸O的勻角速度轉(zhuǎn)動(dòng)（規(guī)律已知）。

解：

根據(jù)上述分析，此時(shí)牽連運(yùn)動(dòng)為等角速度轉(zhuǎn)動(dòng)，相對(duì)軌跡是曲線，所以加速度合成定理可表示為

式中，aa大小未知，方向可假設(shè)向上；，方向沿y1軸指向點(diǎn)O;，方向沿相對(duì)軌跡的法線指向圓心C;aC=2 ω× vr, a C=2 ωv r=2 r ω2，方向如例題圖2-8(b)所示；大小未知，沿相對(duì)軌跡切線方向，假設(shè)指向如例題圖2-8(b)所示。

所以，加速度合成式中只有兩個(gè)未知量，全部可求解。為了方便求解，可選擇恰當(dāng)?shù)耐队拜S，如將式(a)投影至軸n，可得

各個(gè)已知量代入式(b)，又有，經(jīng)運(yùn)算后得

結(jié)果aa＞0，表明假設(shè)方向正確。至于，請(qǐng)讀者另選恰當(dāng)?shù)耐队拜S自行計(jì)算。

例題2-9

刨床的急回機(jī)構(gòu)如例題圖2-9所示。曲柄OA的一端A與滑塊用鉸鏈連接。當(dāng)曲柄OA以勻角速度ω繞固定軸O轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，滑塊在搖桿O1B上滑動(dòng)，并帶動(dòng)搖桿O1B繞固定軸O1擺動(dòng)。設(shè)曲柄長(zhǎng)OA=r，兩軸間的距離OO1=l。求當(dāng)曲柄在水平位置時(shí)搖桿的角加速度。

分析：為了求當(dāng)曲柄在水平位置時(shí)搖桿的角加速度，需要首先求得曲柄上任意一點(diǎn)的切向加速度。可以用動(dòng)系做轉(zhuǎn)動(dòng)的加速度合成定理求解。

解：

選取曲柄端點(diǎn)A作為研究的動(dòng)點(diǎn)，把動(dòng)系O1x＇y＇固定在搖桿O1B上，并與O1B一起繞軸O1擺動(dòng)。由于動(dòng)系做轉(zhuǎn)動(dòng)，因此加速度合成定理為

由于，欲求搖桿O1B的角加速度α，只需求出即可。下面分別分析上式中的各項(xiàng)。

aa：因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)的絕對(duì)運(yùn)動(dòng)是以O為圓心的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，故只有法向加速度，方向如例題圖2-9所示，大小為aa=ω2r。

a e：搖桿上與動(dòng)點(diǎn)相重合的點(diǎn)的加速度。搖桿擺動(dòng)，其上點(diǎn)A的切向加速度為，垂直于O1A，假設(shè)指向如例題圖2-9所示；法向加速度為，其大小為方向如例題圖2-9所示。由于在例題2-4中已求得ω1為

所以

ar：因?yàn)橄鄬?duì)軌跡為直線，故ar沿O1A方向，大小未知。

aC：由aC=2ωe × vr知aC=2ω1vrsin90°，由例題2-4可知

于是，有

方向如例題圖2-9所示。

為了求得，應(yīng)將加速度合成定理式(a)向O1x＇軸投影，即

aax＇=aex＇+arx＇+aCx＇

或

解得

式中，l2-r2＞0，故為負(fù)值，表示真實(shí)方向與圖中假設(shè)的指向相反。

搖桿O1A的角加速度為

方向如例題圖2-9所示。

例題2-10

如圖2-10(a)所示，已知半圓形凸輪半徑為r，圖示瞬時(shí)θ=30°，凸輪以速度vB和加速度aB平動(dòng)。桿OA靠在凸輪上。試求此瞬時(shí)桿的角速度ω和角加速度α。

分析：本題的關(guān)鍵是求得此瞬時(shí)桿上任意一點(diǎn)的速度和切向加速度。下面分別利用速度合成定理和加速度合成定理進(jìn)行分析，并用兩種方法進(jìn)行速度求解。

解：

(1) 速度分析。

解法1：

取凸輪圓心B為動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)系固定在桿OA上。此時(shí)，絕對(duì)運(yùn)動(dòng)為直線運(yùn)動(dòng)，va=vB, aa=aB；牽連運(yùn)動(dòng)為定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，ω和α未知；相對(duì)運(yùn)動(dòng)為直線運(yùn)動(dòng)，軌跡與OA平行。根據(jù)速度合成定理，有

各速度的方向如例題圖2-10(b)所示。于是，有

解法2：

假想用小環(huán)M套住桿OA和凸輪輪緣，如例題圖2-10(c)所示。取M為動(dòng)點(diǎn)，第一動(dòng)系Ox1y1固連于桿OA。相對(duì)運(yùn)動(dòng)沿直線OA方向，相對(duì)速度為vr1；牽連運(yùn)動(dòng)為定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，牽連速度ve1=OM.ω。由速度合成定理，可得

va=ve1+vr1

取第二動(dòng)系為O2x2y2。相對(duì)運(yùn)動(dòng)為沿凸輪輪緣的圓弧運(yùn)動(dòng)，相對(duì)速度vr2與輪緣相切（沿OA）；牽連運(yùn)動(dòng)為平動(dòng)，牽連速度ve2=vB。由速度合成定理，可得

va=ve2+vr2 ve1+vr1=ve2+vr2

因此，有

向軸ξ投影（如例題圖2-10(d)所示），得

(2) 加速度分析。

根據(jù)加速度合成定理，有

aa=ae+ar+aC

因?yàn)閯?dòng)系做轉(zhuǎn)動(dòng)，所以

式中，aa=aB, aC=2ω× vr。

將上式向軸ξ投影（如例題圖2-10(e)所示），可得

因?yàn)?/p>

所以

例題2-11

半徑為r的圓輪以等角速度ω繞軸O轉(zhuǎn)動(dòng)，從而帶動(dòng)靠在輪上的桿O1A繞軸O1擺動(dòng)，如例題圖2-11(a)所示。已知OO1=3r，試求圖示位置桿O1A的角速度與角加速度。

分析：本題的解題思路和上題類似，即利用速度合成定理和加速度合成定理求得圖示位置桿O1A上任意一點(diǎn)的速度和切向加速度。

解：

在機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，圓輪與擺桿始終保持接觸，但沒(méi)有一個(gè)持續(xù)的接觸點(diǎn)。注意，輪心C至桿O1A的距離始終為半徑r，因此點(diǎn)C相對(duì)于桿O1A的軌跡是與桿O1A相平行的一條直線段，于是可選點(diǎn)C為動(dòng)點(diǎn)，桿O1A上固連動(dòng)系O1x1y1，則絕對(duì)運(yùn)動(dòng)為以O為圓心、r為半徑的圓周運(yùn)動(dòng)（規(guī)律已知）；相對(duì)運(yùn)動(dòng)為與桿O1A平行的直線運(yùn)動(dòng)（規(guī)律未知）。牽連運(yùn)動(dòng)為繞軸O1的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)（待求）。速度合成定理為

式中，va⊥OC, v=rω；且，即ve⊥O1C，大小未知；vr沿相對(duì)軌跡切向。作速度合成的平行四邊形，如例題圖2-11(a)所示。

若令∠CO1O=θ，則

故

vr=va=rω

于是

牽連運(yùn)動(dòng)為定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，加速度合成定理可表示為

經(jīng)分析可知，各加速度分量中，只有牽連切向加速度及相對(duì)加速度的大小為未知，其他均為已知，畫(huà)出各個(gè)分量，如例題圖2-11(b)所示。其中

a r的指向及a eτ的指向均為假設(shè)。將式(a)投影于軸O1y1，得

所以

其中負(fù)號(hào)表明的實(shí)際指向與假設(shè)的相反。桿O1A的角加速度為

討論：

本題為選擇動(dòng)點(diǎn)和動(dòng)坐標(biāo)系的方式提供了一種新的思路：以傳動(dòng)機(jī)構(gòu)中某剛體上一個(gè)非接觸點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)，相應(yīng)地，動(dòng)坐標(biāo)系固連于傳動(dòng)件中另一個(gè)剛體上。這種選擇方法，與前面討論過(guò)的兩種機(jī)構(gòu)（例題2-8和例題2-9）的選擇是一致的，均易于根據(jù)約束條件確定動(dòng)點(diǎn)的相對(duì)軌跡，從而易于分析vr和ar，也就便于解題。由此可見(jiàn)，選擇動(dòng)點(diǎn)和動(dòng)系時(shí)，不但有原則上的一致性，而且在針對(duì)具體問(wèn)題時(shí)還有一定的靈活性。因而，讀者要重視對(duì)具體問(wèn)題進(jìn)行具體分析。