2.2 點的運動方程合成——三種運動方程間的關系

本節分析三種運動——絕對運動、相對運動和牽連運動之間的關系。一般來說，若已知動系運動（即牽連運動）的規律，則可以通過坐標變換來建立點在定系中的坐標（或矢徑）與在動系中的坐標（或矢徑）的關系。如圖2-2所示，定系為O1x1y1z1，沿其坐標軸的單位矢量分別為i1, j1, k1；動系為O2x2y2z2，沿其坐標軸的單位矢量分別為i2, j2, k2。r1為絕對運動的矢徑，r2為相對運動的矢徑。

由圖2-2可知

因為

r1=x1i1+y1j1+z1k1, r2=x2i2+y2j2+z2k2

所以

x1i1+y1j1+z1k1=xO2i1+yO2j1+zO2k1+x2i2+y2j2+z2k2

即

(x1-xO2)i1+(y1-yO2)j1+(z1-zO2)k1=x2i2+y2j2+z2k2

將上式兩邊依次點乘i1, j1, k1，可得

將上式寫成矩陣的形式為

若記

則式(2-1)為

式中，C12稱為變換矩陣（transformation matrix）。特殊地，若動系與定系的坐標原點重合，則有

二維情況的簡化

對于二維問題，其定系為Oxy，動系為O＇x＇y＇，動點為M，如圖2-3所示。其變換矩陣為

若絕對運動方程為

x=x(t), y=y(t)

相對運動方程為

x＇=x＇(t), y＇=y＇(t)

牽連運動的方程為

xO＇=xO＇(t), yO＇=yO＇(t), φ=φ(t)

則不難得到三種運動方程間的關系為

例題2-1

點M相對于動系Ox＇y＇沿半徑為r的圓周以速度v做勻速圓周運動（圓心為O1），動系Ox＇y＇相對于定系Oxy以勻角速度ω繞點O做定軸轉動，如例題圖2-1所示。初始時Ox＇y＇與Oxy重合，點M與O重合。已知OO 1=r，試求點M的絕對運動方程。

分析：本題是已知點M的相對運動方程，求點M的絕對運動方程。為此，只要利用式(2-1)寫出上述兩種運動方程之間的關系即可。

解：

點M的絕對運動方程與相對運動方程滿足如下關系：

連接O1M,由圖可知：。于是，得點M的相對運動方程為

牽連運動的方程為

xO＇=xO=0, yO＇=yO=0, φ=ωt

利用坐標變換關系式(a)，可得點M的絕對運動方程為

例題2-2

用車刀切削工件的端面，車刀刀尖M沿水平軸x做往復運動，如例題圖2-2所示。設Oxy為定坐標系，刀尖的運動方程為x=b sinωt。工件以等角速度ω逆時針方向轉動。求車刀在工件圓端面上切出的痕跡。

分析：本題是已知車刀刀尖的絕對運動方程，求刀尖M相對于工件的軌跡方程。

解：

車刀刀尖的絕對運動方程和相對運動方程間的坐標變換關系為

取刀尖M為動點，動系固定在工件上，則動點M在動系Ox＇y＇和定系Oxy中的坐標關系為

將點M的絕對運動方程(x, y)=(b sinωt, 0)代入式(a)中，得

上式即為車刀相對于工件的運動方程。

從上式中消去時間t，得刀尖的相對運動軌跡方程為

可見，車刀在工件上切出的痕跡是一個半徑為的圓，該圓的圓心C在動坐標軸Oy＇上，圓周通過工件的中心O，如例題圖2-2中的虛線所示。