1.1.3 特殊行列式

下面利用行列式的定義來計算幾種特殊的n階行列式。

1.對角行列式

只有在對角線上有非零元素的行列式稱為對角行列式。

例1.5 證明對角行列式。

其中行列式（1.6）主對角線上的元素是λi（i=1，2，…，n），行列式（1.7）次對角線上的元素是λi（i=1，2，…，n），其他元素都是0。

證 利用n階行列式的定義逐次降階展開行列式（1.6）得

對行列式（1.7），注意到降階展開時，元素λ1，λ2，…，λn依次在第n，n-1，…，2，1列，故有

用同樣的方法可以將式（1.7）的結果加以類推。即

2.下（上）三角行列式

對角線以上（下）的元素都為零的行列式稱為下（上）三角行列式。

例1.6 試證下三角行列式

證 利用n階行列式的定義，逐次降階展開，故有

3.一個重要的行列式公式

例1.7 證明

證 對等式左邊行列式按第1行展開，得

所以原式成立。

一般地，可以用數學歸納法證明

公式（1.10）在行列式的計算與證明中經常使用。