1.1.2 n階行列式

在上面的討論中，是將三階行列式轉化為二階行列式來計算的。下面，循此思路給出n階行列式的遞歸法定義。

定義1.1 將n2個數aij（i，j=1，2，…，n）排列成n行n列（橫的稱行，豎的稱列），并在左、右兩邊各加一豎線的算式，即

稱為n階行列式，它代表一個由確定的運算關系所得到的數值。例如，當n=2時

當n＞2時，定義為

其中數a1j為第1行第j列的元素；A1j=（-1）1+jM1j稱為a1j的代數余子式；M1j為由Dn劃去第1行和第j列后余下元素構成的n-1階行列式。

從定義1.1可以知道一個n階行列式代表一個數值，并且這個數值由第1行所有元素與其相應的代數余子式乘積之和而得到。我們常將此定義簡稱為n階行列式按第1行展開。

對于一般場合下，Mij為由Dn劃去第i行和第j列后余下元素構成的n-1階行列式，即

稱為元素aij的余子式；元素aij的代數余子式為Aij=（-1）i+jMij。

例如四階行列式

中，元素a23的余子式即為劃去第2行和第3列元素后的三階行列式

元素a23的代數余子式為余子式M23前再加一符號因子，即

例1.3 計算三階行列式

解 由定義

例1.4 計算四階行列式

解 由定義

通過本例的計算，可以體會到第1行的零元素越多，則由定義按第1行展開時計算越簡便。以后將會看到，一個行列式可以按任意一行或任意一列展開。