1.1 行列式的定義

1.1.1 二階和三階行列式

行列式這個概念究竟是如何形成的呢？這就得從求解方程個數和未知量個數相等的一次（線性）方程組入手。

在初等代數中，用加、減消元法求解一個二元一次方程組

的具體步驟是：先從方程組（1.1）里消去x2而求得x1，這只要將方程組（1.1）的第1、第2兩個式子分別乘以a22與-a12，然后再相加，就得到

（a11a22-a12a21）x1=a22b1-a12b2

同理，也可從方程組（1.1）里消去x1而求得x2，這只要將方程組（1.1）的第1、第2兩個式子分別乘以-a21與a11，然后相加，得到

（a11a22-a12a21）x2=a11b2-a21b1

即

如果未知量x1，x2的系數a11a22-a12a21≠0，那么，這個線性方程組（1.1）有唯一解：

為了便于使用與記憶，我們引進二階行列式的概念。

如果把線性方程組（1.1）中未知量x1，x2的系數按原來的位置寫成2行2列的數表，并用2根豎線加以標出，那么，便得到一個二階行列式，對此除引入字母Δ作為記號外，還規定：

式（1.2）最右邊的式子稱為二階行列式Δ的展開式。

于是，線性方程組（1.1）的解可以表示為

若記

則線性方程組（1.1）的解可以簡潔地表示為

由此可見，二階行列式的引入與二元一次方程組有關，它表示排成2行、2列的4個數在規定運算下得到的一個數值。

類似地，對于三元一次方程組

為了簡單地表達它的解，我們引進三階行列式的概念。三階行列式就是排成3行、3列的9個數的一張數表，其展開式規定為

例1.1 計算三階行列式

所以，三階行列式也是在規定運算下的一個數值，它可轉化為二階行列式的計算得到。三階行列式可以用來表達三元一次方程組（1.4）的解。如果方程組（1.4）系數行列式

那么方程組有唯一解，其解同樣可以簡潔地表示為

其中

在方程組（1.4）的解的表達式（1.5）中，xi（i=1，2，3）分母均是方程組（1.4）的系數行列式Δ，xi的分子是將系數行列式Δ中的第i列換成方程組（1.4）中的常數項，其余列不動所得到的行列式，并簡記為Δi（i=1，2，3）。

例1.2 解方程組

解 方程組的系數行列式為

又計算得

所以方程組的解為

顯然，對于未知數個數等于方程個數的二元、三元線性方程組，當它們的系數行列式不等于零時，利用行列式這一工具求解十分簡便，結果也容易記憶。我們自然聯想到：對于未知數個數等于方程個數的n元（n＞3）線性方程組，是否也有類似的結果？這就需要引入n階（n＞3）行列式的定義。