1.2 平面電磁波

已經(jīng)指出，式（1.8）和式（1.9）是兩個(gè)偏微分方程，它們的解可以有多種形式，如平面波、球面波和柱面波解。方程的解還可以寫(xiě)成各種頻率的簡(jiǎn)諧波及其疊加。所以，要決定解的具體形式，必須根據(jù)E和B滿足的邊界條件和初始條件求解方程。這里，以平面波為例，求解波動(dòng)方程，并討論在光學(xué)中有重要意義的平面簡(jiǎn)諧波解。

1.2.1 波動(dòng)方程的平面波解

現(xiàn)在討論波動(dòng)方程的一種最基本的解——平面波解。平面電磁波是指電場(chǎng)或磁場(chǎng)在與傳播方向正交的平面上各點(diǎn)具有相同值的波。假設(shè)平面波沿直角坐標(biāo)系xyz的z方向傳播（圖1.2），那么平面波的E和B僅與z、t有關(guān)，而與x、y無(wú)關(guān)。這樣，電磁場(chǎng)的波動(dòng)方程，即式（1.8）和式（1.9）化為

令

因而

類(lèi)似地，可以得到

因此

或者

對(duì)η積分得到

式中，g（ξ）是ξ的任意矢量函數(shù)。再對(duì)ξ積分得到

式中，f1和f2是z和t的兩個(gè)任意矢量函數(shù)，它們分別代表以速度v沿z正方向和z負(fù)方向傳播的平面波。如果我們以v＞0代表沿z正方向傳播的平面波，以v＜0代表沿z負(fù)方向傳播的平面波，上式也可以只取一種形式：

顯然，按同樣的方法求解式（1.14），也會(huì)得到磁波的波函數(shù)

若取一余弦函數(shù)（周期為2π）作為波動(dòng)方程的特解，則有

式中，λ是一個(gè)常量，A和A＇是常矢量。

1.2.2 平面簡(jiǎn)諧波

式（1.18）和式（1.19）是我們熟悉的平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)，對(duì)于光波來(lái)說(shuō)，它們就是平面單色光波的波函數(shù)。式中A和A＇分別是電場(chǎng)和磁場(chǎng)的振幅，λ是簡(jiǎn)諧波的波長(zhǎng)，它對(duì)應(yīng)于任一時(shí)刻在波傳播方向上余弦函數(shù)的整個(gè)自變量變化2π的兩點(diǎn)間的距離。余弦函數(shù)的整個(gè)自變量稱(chēng)為波的位相，所以波長(zhǎng)λ就是任一時(shí)刻位相相差2π的兩點(diǎn)間的距離。我們把某一時(shí)刻位相相同的點(diǎn)的空間位置叫做等相面或波面，其中最前面的波面稱(chēng)為波前。不難看出，式（1.18）和式（1.19）代表的波的等相面是平面（故稱(chēng)平面波）。再看余弦位相函數(shù)，它有十分重要的意義，因?yàn)樗鼪Q定場(chǎng)隨空間和時(shí)間的變化關(guān)系。例如，在時(shí)刻t=0，位相函數(shù)是z，在z=0的平面上場(chǎng)有最大值，即平面波處于波峰位置。在另一時(shí)刻，位相函數(shù)變?yōu)?img alt="" class="h-pic" src="https://epubservercos.yuewen.com/B726C3/3729312604305201/epubprivate/OEBPS/Images/figure_0018_0008.jpg?sign=1754757416-LfQIf1B7LsoFzBTexJKtkkmJIUiwKF3Z-0-71d68406ca18eb2d332e42e25ba69c01">，波峰移到處，即移到 z=vt的平面上。由此也可以看出，式（1.18）和式（1.19）表示沿z軸方向位相傳播速度為v的平面電磁波。

引入沿等相面法線方向的波矢量k（在各向同性介質(zhì)中，k的方向也是波能量的傳播方向），其大小（通常稱(chēng)波數(shù)）為

因?yàn)椴ǖ念l率（單位時(shí)間內(nèi)場(chǎng)周期變化的次數(shù)）

T為周期（場(chǎng)一次周期變化所需的時(shí)間），并把2πν稱(chēng)為角頻率ω，即

這樣，式（1.18）又可以寫(xiě)成下面兩種形式：

和

單色平面波波函數(shù)的最顯著的特點(diǎn)是它的時(shí)間周期性和空間周期性，這表示單色光波是一種時(shí)間無(wú)限延續(xù)、空間無(wú)限延伸的波動(dòng)；任何時(shí)間周期性和空間周期性的破壞，都意味著單色光波單色性的破壞。如圖1.3所示的“單色波的一段”，即有限長(zhǎng)波列這種波，不是嚴(yán)格意義上的單色波（參見(jiàn)2.5節(jié)）。

前面已經(jīng)用T，ν，ω這些量來(lái)表示單色光波的時(shí)間周期性，顯然為了表示單色光波的空間周期性，也可以利用λ，這些量，并分別把它們稱(chēng)為空間周期、空間頻率（單位長(zhǎng)度上的空間周期數(shù)）和空間角頻率。單色光波的時(shí)間周期性和空間周期性緊密相關(guān)，彼此通過(guò)傳播速度 v由式（1.21）聯(lián)系。

由式（1.21）可以看出，單色光波的時(shí)間周期性和空間周期性的一個(gè)有意義的關(guān)系：對(duì)于在不同介質(zhì)中的具有相同（時(shí)間）頻率的單色光波，其空間頻率并不相同。事實(shí)上，由式（1.21），空間周期（即波長(zhǎng)）

由于在不同介質(zhì)中，單色光波有不同的傳播速度，所以它的空間周期和空間頻率將不相同。設(shè)單色光波在真空中的空間周期（波長(zhǎng)）為λ0，則有λ0 =c/ν，因此λ和λ0的關(guān)系為

式中，n是介質(zhì)的折射率。

1.2.3 一般坐標(biāo)系下的波函數(shù)

在上面的討論中，我們假設(shè)平面波沿xyz坐標(biāo)系的z軸方向傳播，或者說(shuō)，我們選取了一個(gè)特殊坐標(biāo)系，使其z軸沿平面波的傳播方向，由此得出平面波的波函數(shù)如式（1.23）等。現(xiàn)在，我們來(lái)寫(xiě)出在一般坐標(biāo)系下的波函數(shù)。假設(shè)平面波沿空間某一方向傳播（圖1.4），這一方向并不沿xyz坐標(biāo)系的任一坐標(biāo)軸，這時(shí)可設(shè)想將新坐標(biāo)軸z′取在平面波波矢量k的方向，并且在新坐標(biāo)系下平面波的波函數(shù)可以寫(xiě)為

為了在xyz坐標(biāo)系中表示出平面波，應(yīng)注意到

式中，k0是k的單位矢量，r是平面波波面Σ上任一點(diǎn)P（坐標(biāo)為x、y、z）的位置矢量，于是

上式即為一般坐標(biāo)系下平面波的表達(dá)式。容易看出，平面波的波面是k·r為常數(shù)的平面。

若設(shè)k的方向余弦（即k0在x、y、z坐標(biāo)軸上的投影）為cosα、cosβ、cosγ，任意點(diǎn)P的坐標(biāo)為x、y、z，那么式（1.26）也可以寫(xiě)成如下形式：

顯然，在特殊坐標(biāo)系下，即當(dāng)k的方向取為z軸時(shí)，有

因而式（1.26）化為式（1.23）。

k·r=kz

1.2.4 復(fù)數(shù)形式的波函數(shù)

為運(yùn)算方便起見(jiàn)，常把平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)寫(xiě)成復(fù)數(shù)形式。例如波函數(shù)，即式（1.26）可寫(xiě)成

這是由于，一方面式（1.26）實(shí)際上是式（1.28）的實(shí)數(shù)部分，另一方面可以證明，對(duì)復(fù)數(shù)表達(dá)式進(jìn)行線性運(yùn)算（加、減、微分、積分）之后再取實(shí)數(shù)部分，與對(duì)余弦函數(shù)式進(jìn)行同樣運(yùn)算所得的結(jié)果相同。所以，我們可以用式（1.28）來(lái)表示平面簡(jiǎn)諧波，只是對(duì)于實(shí)際存在的場(chǎng)應(yīng)理解為式（1.28）的實(shí)數(shù)部分。

用式（1.28）代替式（1.26）來(lái)表示平面簡(jiǎn)諧波，這種代替完全是形式上的，目的是用比較簡(jiǎn)單的復(fù)指數(shù)函數(shù)運(yùn)算來(lái)代替比較煩瑣的三角函數(shù)運(yùn)算，使計(jì)算簡(jiǎn)化。例如，在光學(xué)的許多問(wèn)題中，求振幅的平方A2很重要，因?yàn)楣鈴?qiáng)度（I）正比于A2（參閱1.4節(jié)），而要求得A2，只需將復(fù)數(shù)形式的波函數(shù)乘以其共軛復(fù)數(shù)，即

1.2.5 平面簡(jiǎn)諧波的復(fù)振幅

由復(fù)數(shù)形式的波函數(shù)，即式（1.28）可見(jiàn)，其位相因子包括空間位相因子exp（ik·r）和時(shí)間位相因子exp（-iωt）兩部分，可以把它們分開(kāi)寫(xiě)為

并把振幅和空間位相因子部分

稱(chēng)為復(fù)振幅。這樣，波函數(shù)就等于復(fù)振幅和時(shí)間位相因子exp（-iωt）的乘積。復(fù)振幅表示場(chǎng)振動(dòng)的振幅和位相隨空間的變化（對(duì)于平面波，空間各點(diǎn)的振幅相同），時(shí)間位相因子表示場(chǎng)振動(dòng)隨時(shí)間的變化。顯然，對(duì)于簡(jiǎn)諧波傳播到的空間各點(diǎn)，場(chǎng)振動(dòng)的時(shí)間位相因子exp（-iωt）都相同，因此當(dāng)我們只關(guān)心場(chǎng)振動(dòng)的空間分布時(shí)（如在光的干涉和衍射等問(wèn)題中），時(shí)間位相因子就無(wú)關(guān)緊要，通常可以略去不寫(xiě)，而只用復(fù)振幅來(lái)表示一個(gè)簡(jiǎn)諧波。

為了進(jìn)一步了解復(fù)振幅的空間變化，我們來(lái)討論平面簡(jiǎn)諧波在一個(gè)平面上的復(fù)振幅分布。為討論方便起見(jiàn)，假設(shè)平面簡(jiǎn)諧波的波矢量k平行于xz平面（圖1.5（a）），其方向余弦為cosα，0，cosγ，而考察平面取為z=0平面（即xOy平面）。在這種情況下，由式（1.30），在z=0平面上的復(fù)振幅分布為

或者寫(xiě)為

式中，γ是波矢量k與z軸的夾角。以上兩式表明，復(fù)振幅的變化只依賴于位相因子，等位相點(diǎn)的軌跡是x為常量的直線，也是垂直于x軸的直線，如圖1.5（b）所示。容易看出，等相線實(shí)際上是平面波的等相面與z=0平面的交線。圖1.5（a）和（b）分別畫(huà)出了位相依次相差2π的一些等相面和z=0平面上相應(yīng)的等相線。

前面已經(jīng)提到，光強(qiáng)度正比于場(chǎng)振幅的平方，并有式（1.29）。顯然，該式也可用復(fù)振幅表示為

上式是一個(gè)由復(fù)振幅分布求光強(qiáng)度分布的常用公式。它適用于單色平面波，也適用于其他形式的單色波。

式（1.33）涉及復(fù)振幅的復(fù)數(shù)共軛，下面我們來(lái)看它代表的波（稱(chēng)共軛波）的意義。還是以如圖1.5所示的平面波為例，該平面波在z=0平面上的復(fù)振幅分布為

而與該平面波共軛的波在z=0平面上的復(fù)振幅分布為

上式表明共軛波是一個(gè)與z軸夾角為-γ，波矢量k平行于xz平面的平面波（圖1.6）①。

①這是與代表的波都來(lái)自z=0平面左側(cè)的共軛波。另外，由于所以，沿-k方向即與 波反方向傳播的平面波也是共軛波。

以上幾點(diǎn)討論，只考慮了電波，沒(méi)有考慮磁波，這是因?yàn)榻窈笪覀冏⒁獾氖枪鈱W(xué)問(wèn)題。從光與物質(zhì)的作用來(lái)看，光波中的電場(chǎng)和磁場(chǎng)的重要性并不相同。例如，光波對(duì)物質(zhì)中帶電粒子的作用，光波磁場(chǎng)的作用遠(yuǎn)比光波電場(chǎng)的作用弱。另外，實(shí)驗(yàn)證明使照相底版感光的是電場(chǎng)而不是磁場(chǎng)（見(jiàn)2.2節(jié)），對(duì)視網(wǎng)膜起作用的也是電場(chǎng)而不是磁場(chǎng)。所以，在光學(xué)中通常把電矢量E稱(chēng)為光矢量，把E的振動(dòng)稱(chēng)為光振動(dòng)。在討論光的場(chǎng)振動(dòng)性質(zhì)時(shí)，可以只考慮電矢量E。但是，必須記住，從波的傳播來(lái)看，光波和其他電磁波一樣，電場(chǎng)和磁場(chǎng)矢量處于同等的地位，它們緊密聯(lián)系，不可分離。下面我們來(lái)看看它們?cè)谶@方面的性質(zhì)。

1.2.6 平面電磁波的性質(zhì)

1.電磁波是橫波

取式（1.28）的散度

由麥克斯韋方程組（1.6）第1式，Δ·E=0，因此

上式表明，電場(chǎng)波動(dòng)是橫波，電矢量的振動(dòng)方向恒垂直于波的傳播方向。

同樣，把磁波的波函數(shù)寫(xiě)成復(fù)數(shù)形式

并由麥克斯韋方程組第2式，Δ·B=0，也得到

表明磁場(chǎng)波動(dòng)也是橫波，磁矢量的振動(dòng)方向也垂直于波的傳播方向。

2.E和H互相垂直

由方程組（1.6）第3式

并且

因而得到

由于

所以，式（1.37）又可以寫(xiě)為

式中，k0是波矢量k的單位矢量。由上式可見(jiàn)，E和B互相垂直，彼此又垂直于波的傳播方向k0；k0、E和B三者構(gòu)成右手螺旋系統(tǒng)。

3.E和B同相

由式（1.38），可得到

由于E和H的振幅之比為一正實(shí)數(shù)，所以兩矢量振動(dòng)始終同位相，電磁波傳播時(shí)它們同步變化。

綜合以上幾點(diǎn)，可以把沿z軸方向傳播，電矢量在xOz平面內(nèi)振動(dòng)的平面簡(jiǎn)諧波表示為如圖1.7所示。