1.2 平面電磁波

已經指出，式（1.8）和式（1.9）是兩個偏微分方程，它們的解可以有多種形式，如平面波、球面波和柱面波解。方程的解還可以寫成各種頻率的簡諧波及其疊加。所以，要決定解的具體形式，必須根據E和B滿足的邊界條件和初始條件求解方程。這里，以平面波為例，求解波動方程，并討論在光學中有重要意義的平面簡諧波解。

1.2.1 波動方程的平面波解

現在討論波動方程的一種最基本的解——平面波解。平面電磁波是指電場或磁場在與傳播方向正交的平面上各點具有相同值的波。假設平面波沿直角坐標系xyz的z方向傳播（圖1.2），那么平面波的E和B僅與z、t有關，而與x、y無關。這樣，電磁場的波動方程，即式（1.8）和式（1.9）化為

令

因而

類似地，可以得到

因此

或者

對η積分得到

式中，g（ξ）是ξ的任意矢量函數。再對ξ積分得到

式中，f1和f2是z和t的兩個任意矢量函數，它們分別代表以速度v沿z正方向和z負方向傳播的平面波。如果我們以v＞0代表沿z正方向傳播的平面波，以v＜0代表沿z負方向傳播的平面波，上式也可以只取一種形式：

顯然，按同樣的方法求解式（1.14），也會得到磁波的波函數

若取一余弦函數（周期為2π）作為波動方程的特解，則有

式中，λ是一個常量，A和A＇是常矢量。

1.2.2 平面簡諧波

式（1.18）和式（1.19）是我們熟悉的平面簡諧波的波函數，對于光波來說，它們就是平面單色光波的波函數。式中A和A＇分別是電場和磁場的振幅，λ是簡諧波的波長，它對應于任一時刻在波傳播方向上余弦函數的整個自變量變化2π的兩點間的距離。余弦函數的整個自變量稱為波的位相，所以波長λ就是任一時刻位相相差2π的兩點間的距離。我們把某一時刻位相相同的點的空間位置叫做等相面或波面，其中最前面的波面稱為波前。不難看出，式（1.18）和式（1.19）代表的波的等相面是平面（故稱平面波）。再看余弦位相函數，它有十分重要的意義，因為它決定場隨空間和時間的變化關系。例如，在時刻t=0，位相函數是z，在z=0的平面上場有最大值，即平面波處于波峰位置。在另一時刻，位相函數變為，波峰移到處，即移到 z=vt的平面上。由此也可以看出，式（1.18）和式（1.19）表示沿z軸方向位相傳播速度為v的平面電磁波。

引入沿等相面法線方向的波矢量k（在各向同性介質中，k的方向也是波能量的傳播方向），其大小（通常稱波數）為

因為波的頻率（單位時間內場周期變化的次數）

T為周期（場一次周期變化所需的時間），并把2πν稱為角頻率ω，即

這樣，式（1.18）又可以寫成下面兩種形式：

和

單色平面波波函數的最顯著的特點是它的時間周期性和空間周期性，這表示單色光波是一種時間無限延續、空間無限延伸的波動；任何時間周期性和空間周期性的破壞，都意味著單色光波單色性的破壞。如圖1.3所示的“單色波的一段”，即有限長波列這種波，不是嚴格意義上的單色波（參見2.5節）。

前面已經用T，ν，ω這些量來表示單色光波的時間周期性，顯然為了表示單色光波的空間周期性，也可以利用λ，這些量，并分別把它們稱為空間周期、空間頻率（單位長度上的空間周期數）和空間角頻率。單色光波的時間周期性和空間周期性緊密相關，彼此通過傳播速度 v由式（1.21）聯系。

由式（1.21）可以看出，單色光波的時間周期性和空間周期性的一個有意義的關系：對于在不同介質中的具有相同（時間）頻率的單色光波，其空間頻率并不相同。事實上，由式（1.21），空間周期（即波長）

由于在不同介質中，單色光波有不同的傳播速度，所以它的空間周期和空間頻率將不相同。設單色光波在真空中的空間周期（波長）為λ0，則有λ0 =c/ν，因此λ和λ0的關系為

式中，n是介質的折射率。

1.2.3 一般坐標系下的波函數

在上面的討論中，我們假設平面波沿xyz坐標系的z軸方向傳播，或者說，我們選取了一個特殊坐標系，使其z軸沿平面波的傳播方向，由此得出平面波的波函數如式（1.23）等。現在，我們來寫出在一般坐標系下的波函數。假設平面波沿空間某一方向傳播（圖1.4），這一方向并不沿xyz坐標系的任一坐標軸，這時可設想將新坐標軸z′取在平面波波矢量k的方向，并且在新坐標系下平面波的波函數可以寫為

為了在xyz坐標系中表示出平面波，應注意到

式中，k0是k的單位矢量，r是平面波波面Σ上任一點P（坐標為x、y、z）的位置矢量，于是

上式即為一般坐標系下平面波的表達式。容易看出，平面波的波面是k·r為常數的平面。

若設k的方向余弦（即k0在x、y、z坐標軸上的投影）為cosα、cosβ、cosγ，任意點P的坐標為x、y、z，那么式（1.26）也可以寫成如下形式：

顯然，在特殊坐標系下，即當k的方向取為z軸時，有

因而式（1.26）化為式（1.23）。

k·r=kz

1.2.4 復數形式的波函數

為運算方便起見，常把平面簡諧波的波函數寫成復數形式。例如波函數，即式（1.26）可寫成

這是由于，一方面式（1.26）實際上是式（1.28）的實數部分，另一方面可以證明，對復數表達式進行線性運算（加、減、微分、積分）之后再取實數部分，與對余弦函數式進行同樣運算所得的結果相同。所以，我們可以用式（1.28）來表示平面簡諧波，只是對于實際存在的場應理解為式（1.28）的實數部分。

用式（1.28）代替式（1.26）來表示平面簡諧波，這種代替完全是形式上的，目的是用比較簡單的復指數函數運算來代替比較煩瑣的三角函數運算，使計算簡化。例如，在光學的許多問題中，求振幅的平方A2很重要，因為光強度（I）正比于A2（參閱1.4節），而要求得A2，只需將復數形式的波函數乘以其共軛復數，即

1.2.5 平面簡諧波的復振幅

由復數形式的波函數，即式（1.28）可見，其位相因子包括空間位相因子exp（ik·r）和時間位相因子exp（-iωt）兩部分，可以把它們分開寫為

并把振幅和空間位相因子部分

稱為復振幅。這樣，波函數就等于復振幅和時間位相因子exp（-iωt）的乘積。復振幅表示場振動的振幅和位相隨空間的變化（對于平面波，空間各點的振幅相同），時間位相因子表示場振動隨時間的變化。顯然，對于簡諧波傳播到的空間各點，場振動的時間位相因子exp（-iωt）都相同，因此當我們只關心場振動的空間分布時（如在光的干涉和衍射等問題中），時間位相因子就無關緊要，通常可以略去不寫，而只用復振幅來表示一個簡諧波。

為了進一步了解復振幅的空間變化，我們來討論平面簡諧波在一個平面上的復振幅分布。為討論方便起見，假設平面簡諧波的波矢量k平行于xz平面（圖1.5（a）），其方向余弦為cosα，0，cosγ，而考察平面取為z=0平面（即xOy平面）。在這種情況下，由式（1.30），在z=0平面上的復振幅分布為

或者寫為

式中，γ是波矢量k與z軸的夾角。以上兩式表明，復振幅的變化只依賴于位相因子，等位相點的軌跡是x為常量的直線，也是垂直于x軸的直線，如圖1.5（b）所示。容易看出，等相線實際上是平面波的等相面與z=0平面的交線。圖1.5（a）和（b）分別畫出了位相依次相差2π的一些等相面和z=0平面上相應的等相線。

前面已經提到，光強度正比于場振幅的平方，并有式（1.29）。顯然，該式也可用復振幅表示為

上式是一個由復振幅分布求光強度分布的常用公式。它適用于單色平面波，也適用于其他形式的單色波。

式（1.33）涉及復振幅的復數共軛，下面我們來看它代表的波（稱共軛波）的意義。還是以如圖1.5所示的平面波為例，該平面波在z=0平面上的復振幅分布為

而與該平面波共軛的波在z=0平面上的復振幅分布為

上式表明共軛波是一個與z軸夾角為-γ，波矢量k平行于xz平面的平面波（圖1.6）①。

①這是與代表的波都來自z=0平面左側的共軛波。另外，由于所以，沿-k方向即與 波反方向傳播的平面波也是共軛波。

以上幾點討論，只考慮了電波，沒有考慮磁波，這是因為今后我們注意的是光學問題。從光與物質的作用來看，光波中的電場和磁場的重要性并不相同。例如，光波對物質中帶電粒子的作用，光波磁場的作用遠比光波電場的作用弱。另外，實驗證明使照相底版感光的是電場而不是磁場（見2.2節），對視網膜起作用的也是電場而不是磁場。所以，在光學中通常把電矢量E稱為光矢量，把E的振動稱為光振動。在討論光的場振動性質時，可以只考慮電矢量E。但是，必須記住，從波的傳播來看，光波和其他電磁波一樣，電場和磁場矢量處于同等的地位，它們緊密聯系，不可分離。下面我們來看看它們在這方面的性質。

1.2.6 平面電磁波的性質

1.電磁波是橫波

取式（1.28）的散度

由麥克斯韋方程組（1.6）第1式，Δ·E=0，因此

上式表明，電場波動是橫波，電矢量的振動方向恒垂直于波的傳播方向。

同樣，把磁波的波函數寫成復數形式

并由麥克斯韋方程組第2式，Δ·B=0，也得到

表明磁場波動也是橫波，磁矢量的振動方向也垂直于波的傳播方向。

2.E和H互相垂直

由方程組（1.6）第3式

并且

因而得到

由于

所以，式（1.37）又可以寫為

式中，k0是波矢量k的單位矢量。由上式可見，E和B互相垂直，彼此又垂直于波的傳播方向k0；k0、E和B三者構成右手螺旋系統。

3.E和B同相

由式（1.38），可得到

由于E和H的振幅之比為一正實數，所以兩矢量振動始終同位相，電磁波傳播時它們同步變化。

綜合以上幾點，可以把沿z軸方向傳播，電矢量在xOz平面內振動的平面簡諧波表示為如圖1.7所示。