2.3 平面機構自由度

2.3.1 平面機構自由度的計算公式

如前所述，任一作平面運動的自由構件存在3個自由度。當兩個構件組成運動副之后，它們之間的相對運動受到約束，相應的自由度數目減少。不同類型的運動副引入的約束數目不同；每個低副使構件失去兩個自由度，即增加了兩個約束；每個高副使構件失去一個自由度，即增加了一個約束。每一個平面構件的約束數目與自由度數目之和恒等于3。

如果一個平面機構有n個活動構件 (機架除外)，在未用運動副連接之前，這些活動構件的自由度總數為3n。當用運動副將構件連接起來組成機構后，機構中各構件具有的自由度數目則隨之減少。PL表示機構中低副的數目，PH 表示高副的數目，則機構中全部運動副所引入的約束總數為2PL+PH。因此，整個機構的自由度F為

式 (2-1)便是平面機構自由度的計算公式。由公式可知，平面機構自由度F不但與活動構件的數目有關，而且與運動副的類型 (低副或高副)和數目有關。

2.3.2 機構具有確定運動的條件

機構自由度是指機構可能實現獨立運動的數目。顯然，機構要想運動，它的自由度必須大于0。由于每個原動件通常只具有一個自由度 (如電動機轉子具有一個獨立轉動，內燃機活塞具有一個獨立移動)，因此，只有當機構的自由度F等于該機構中的原動件數量W時，機構才不會隨意亂動。換句話說，機構中各構件間具有確定相對運動的條件為

由于機構原動件的運動是由外界給定的，屬已知條件，所以只需求出該機構的自由度，就可判斷機構中各構件間的相對運動是否確定。

【例2-3】 試計算圖2-10所示機構的自由度。

解 在圖2-10所示的機構中，共有4個活動構件1、2、3、4，即n=4；A、B、C、D、E處各組成1個轉動副，整個機構中無移動副，故低副總數目PL=5；整個機構中也沒有高副，故PH=0。由式 (2-1)可得該機構的自由度F為

F=3n-2PL-PH=3×4-2×5-0=2

即該機構的自由度為2，說明該機構需要2個原動件，各構件間的相對運動才能確定。

若機構的自由度等于0時，說明機構中活動構件的自由度總數與運動副引入的約束總數相等，自由度全部被取消，各構件之間不可能存在任何相對運動，這種構件的組合稱為靜定的剛性結構。

例如，在圖2-11(a)中，4個活動構件用6個轉動副相連，其自由度為F=3n-2PL-PH=3×4-2×6=0，顯然，它是一個靜定的剛性結構。圖2-11(b)所示的三角架，其自由度為F=3n-2PL-PH=3×2-2×3=0，它也是一個靜定的剛性結構。而圖2-11(c)所示的構件組合，其自由度為F=3n-2PL-PH=3×3-2×5=-1，說明約束過多，該構件的組合稱為超靜定的剛性結構。

2.3.3 計算平面機構自由度時的注意事項

應用式 (2-1)計算平面機構的自由度時，對下述幾種特殊情況必須加以注意。

1.復合鉸鏈

兩個以上的構件在同一處用轉動副相連接，則該連接稱為復合鉸鏈。例如，圖2-12(a)所示3個構件在B處即構成復合鉸鏈。由圖2-12(b)可知，構件3與4間、2與4間各組成一個轉動副，即B處共有兩個轉動副。一般來說，若有K個構件用復合鉸鏈相連接，則該處的轉動副數目應等于 (K-1)個。在計算平面機構的自由度時，應特別注意是否存在復合鉸鏈，并正確確定轉動副的數目。

下面舉例說明。

【例2-4】 機構如圖2-12(a)所示，試求該機構的自由度。

解 機構中有5個活動構件，即n=5。在A、B、C、D、E處共組成6個轉動副和1個移動副，其中B點為復合鉸鏈，有兩個轉動副，即PL=7，高副數目PH=0。由式 (2-1)可得該機構的自由度為

F=3n-2PL-PH=3×5-2×7-0=1

即此機構只有一個自由度，由于該機構的原動件數與其自由度數相等，故滿足機構中各構件間具有確定相對運動的條件。

2.局部自由度

機構中常出現一種與整個機構運動無關的自由度，稱為局部自由度或多余自由度，在計算平面機構自由度時應予除去。圖2-13(a)所示的滾子從動件凸輪機構，當原動件凸輪2轉動時，通過滾子3驅使從動件4以一定運動規律在機架1中作上下往復運動。不難看出，在這個機構中，不論滾子3繞其中心軸是否轉動，都絲毫不會影響從動件4的運動。因此，滾子繞其中心軸的轉動是一個局部自由度。為了在計算時去掉這個局部自由度，可設想將滾子3與從動件4焊成一體 (轉動副也隨之消失)，如圖2-13 (b)所示。在圖2-13 (b)中，n=2，PL=2，PH=1，則該機構的自由度為

F=3n-2PL-PH=3×2-2×2-1=1

雖然滾子3的局部自由度不影響整個機構的運動，但它可使高副接觸處的滑動摩擦變成滾動摩擦，減少了磨損，所以在實際機械中常常會出現局部自由度的情況。

3.虛約束

在機構中，如某個約束與其他約束作用相同，而不起獨立限制運動的作用，這種起重復約束作用的約束稱為虛約束。在計算平面機構的自由度時，應當除去虛約束。

在圖2-14(a)所示的機構中，構件AB、EF和CD均平行且相等，若不除去虛約束，該機構自由度F=3n-2PL-PH=3×4-2×6=0。按照計算的結果，認為圖2-14(a)所示的機構是不能運動的，但實際上該機構能夠產生運動，因為這里出現了虛約束。AB、EF和CD均平行且相等，構件EF和CD必然分別以F、D點為圓心作等同的圓周運動，即構件EF和CD對整個機構起著相同的約束作用，故構件5和轉動副E、F引入的約束是虛約束，在計算機構自由度時，應當除去。除去虛約束之后，n=3，PL=4，PH=0，則該機構的自由度為F=3n-2PL-PH=3×3-2×4-0=1。

如果構件5不平行于構件1和3，如圖2-14(b)所示，則EF桿是真實約束。在計算該機構的自由度時，必須考慮構件5及轉動副E、F處的約束。

在機構中，虛約束常出現在下述幾種情況下。

(1)兩個構件組成多個移動副，且導路平行或重合時，只有一個移動副起約束作用，其余都是虛約束，如圖2-15所示。

(2)兩個構件組成多個轉動副，且軸線重合時，只有一個轉動副起約束作用，其余都為虛約束，如圖2-16所示兩個軸承支承一根軸，只能看作一個轉動副。

(3)兩個構件組成多個高副，且各高副接觸點處公法線重合時，只考慮一處高副所引入的約束，其余都為虛約束，如圖2-17所示。

(4)機構中對運動不起獨立約束作用的對稱部分，其對稱部分可視為虛約束。如圖2-18所示的行星輪系，采用兩個完全相同的行星輪2、2′，并使它們的輪心均勻地分布在同一圓周上。實際上只需一個行星輪便可傳遞運動，其余行星輪的約束作用都是重復的，故是虛約束。此處采用兩個完全相同的行星輪，其目的是為了改善構件的受力。

在實際機構中，虛約束雖對機構的運動不起約束作用，但它可以保證機構順利運動，或增強構件的剛性或改善構件的受力。因此，虛約束的應用是相當廣泛的。在計算機構自由度時，應認真分析機構中是否有虛約束，如有虛約束，應先除去，然后再進行計算。

【例2-5】 計算圖2-19(a)所示機構的自由度。

解 圖2-19(a)所示的機構中共有7個活動構件，即n=7。在A、B、D、O、G處各組成1個轉動副；C點為復合鉸鏈，有兩個轉動副；頂桿與機架在E和E′處組成兩個導路平行的移動副，其中之一為虛約束，除去移動副E′，故在E、G處各組成1個移動副；另滾子F有一個局部自由度，應予除去。經處理后，原機構可簡化為圖2-19 (b)所示的機構，該機構中低副總數PL=9(7個轉動副和2個移動副)，高副數目PH=1。由式 (2-1)可得該機構的自由度為

F=3n-2PL-PH=3×7-2×9-1=2

此機構的自由度為2，需要2個原動件。