第2章 光電檢測技術基礎

2.1 檢測量的誤差及數據處理

在光電檢測技術中，許多情況下需要檢測出待測量的具體數值。例如，對光度量和輻射度量的測量；光學零件透射比、反射比或漫射特性的測量；光電或熱電器件靈敏度、增益等參量的測量；零件幾何尺寸的測量；運動物體的線速度、轉速及流體的流速等的測量。而在有些光電檢測系統中，檢測量作為控制的信號，看起來并不需要直接給出檢測量的具體大小，但在控制系統的工作范圍、控制精度及可靠性的估算中，也離不開具體量值的隱含檢測。所以不論是隱含還是顯含，檢測量的測量都是必需的。

要獲得檢測量就要通過檢測器具來進行，這就不可避免地要帶進檢測誤差。因此在光電檢測技術中必須討論和分析有關檢測量的誤差，從中得到檢測數據的一般處理方法。

2.1.1 檢測過程及誤差分類

本節主要介紹檢測過程、檢測標準、誤差的產生、置信限和置信概率等問題。

1. 檢測過程及標準

光電檢測過程與一般物理量的測量過程相類似，是用待測量直接或間接與另一個同類已知量相比較，并以同類已知量的單位為單位，測定出待測量的具體值。例如，使用照度計測定某受光面的照度，這是直接測量法的例子，待測量是受光面的照度，而已知量及單位隱含在經標定后的照度計讀數之中。又如，測定某像管的增益G，它是熒光屏亮度La與陰極面照度Ek的比值，即G=La/Ek（cd/m2·lx）。具體檢測時，用照度計直接測定Ek，用亮度計直接測定La，通過計算得到待測量G的大小，這是間接測量的例子。

由檢測過程可知，必須有已知量作為比較或參考的標準，才能進行檢測工作。比較標準通常有以下三類：

（1）真值A0

真值是指某物理量的理論值或定義值。例如，真空中的光速；某元素某譜線的波長等。這種參考標準只存在于純理論之中，而不存在于實際檢測之中。要檢測這些標準量（如光速），則又必須以其他參考量作為標準。所以可以認為在檢測技術中，絕對的真值是不可知的，但是隨著技術的發展，又可以獲得逐步逼近真值的測量值。

（2）指定值As

指定值是由國家設立的各種盡可能維持不變的實物基準或標準原器所規定的值。例如，長度實物基準、國家黑體光度標準器等。指定值作為國家標準，常在國際間進行比對和修正，成為各檢測量比較的基準。

（3）實用值A

實際檢測過程中不可能都直接與國家基準進行比較測量。因此采用計量標準傳遞的方法將指定值、基準量逐級傳遞到各級計量站，以及具體的檢測儀器中。各級計量站或檢測儀器在進行比較測量時，把上一級標準器的量值當做近似的真值，把它們都叫做實用值、參考值或傳遞值。

例如照度值的傳遞，由國家光度標準器的發光強度作為指定值，轉移傳遞并寄存到各級計量站的標準光源中，標準光源通過光軌轉換為不同距離上的照度標準。一般照度計在上級計量站的光軌上進行標定，而照度的測量又是用標定好的照度計進行的。在上述序列中，每傳遞一次都把傳遞者所具有的值叫做實用值。如一級站向二級站傳遞時，把一級站的值叫實用值；二級站向照度計傳遞時，二級站的值也叫實用值；照度計進行測量時，照度計的指示值仍叫實用值。

2. 誤差的產生及分類

在各種檢測過程中，不可避免地存在著誤差。這是由于在檢測過程中各種不穩定因素綜合影響的結果。例如，測量方法存在原理性誤差；被測物由于測量本身帶來變化；各種檢測量的無規則起伏和一些意外的原因等。由此造成各瞬間所測結果不同。即在條件相同的情況下，多次測量的結果也不相同。

設某被測量的真值為A0，而測得值為x，于是有

式中，Δx為檢測的絕對誤差或誤差。

當Δx很小時，可以認為A0=x。所謂很小是相對于檢測目的和允許精度范圍而言的。

檢測誤差可按不同屬性進行分類。

（1）誤差按檢測結果分類

可分為絕對誤差和相對誤差。絕對誤差Δx=x-A0。相對誤差通常又可用兩種表示方法。一種叫做實際相對誤差，表達式為

另一種叫做額定相對誤差，表達式為

式中，xmax為最大測量值。例如在電工儀表中，表頭的誤差就采用額定相對誤差表示。例如，電表為0.5級，是指該電表各示值的誤差值不超過滿度值的0.5%。

通常鑒定某種測量儀表的精度或誤差，是在一系列附加工作條件下得出的，如環境溫度、相對溫度、大氣壓強和外磁場大小等。按鑒定測量儀表的不同要求，相應規定具體的檢測條件。

（2）誤差按它們的基本特性分類

可分為系統誤差、隨機誤差和過失誤差。其中過失誤差在認真的檢測中只是偶然出現，通?？梢员苊?。即使它們偶然出現，也可以按一定準則給以剔除，其方法將在后面給以介紹。這里著重討論前兩種誤差。

①系統誤差

在檢測過程中產生恒定不變的誤差（叫恒差），或者按一定規律變化的誤差（叫變差），統稱為系統誤差。系統誤差產生的原因有工具誤差、裝置誤差、方法誤差、外界誤差和人員誤差等。

在任何一個檢測系統中，都必須估計這類誤差的可能來源，并盡力消除它們；或者估計它們的可能值，并在結果中給以修正。檢測系統的準確度或叫精確度，即測量值與真值間的偏差在一定條件下由系統誤差決定。系統誤差越小，表明儀器檢測的準確度越高。

系統誤差的處理一般來說是技術處理問題，通過采用適當的方法，可以消除或減小這類誤差。

②隨機誤差

在盡力消除并改正了一切明顯的系統誤差之后，對同一待測量進行反復多次的等精度測量，每次測量的結果都不會完全相同，而呈現出無規則的隨機變化，這種誤差稱為隨機誤差。所謂多次等精度測量是指在實驗環境、實驗方法、實驗設備等條件相同或相對穩定的條件下，對處于相對穩定狀態下的同一對象進行的具有同一標準誤差的多次測量。

隨機誤差產生的原因大多數與系統誤差產生的原因相同，只是由于變化因素太多，或者由于各種因素的影響太微小、太復雜，以至無法掌握它們出現的具體規律，也無法有針對性地消除這一誤差。

隨機誤差的處理一般采用概率統計的方法。通常一個檢測系統的精密度或檢測值的重復性在一定條件下是由隨機誤差的大小來決定的。小誤差產生的概率越高，大誤差產生的概率越低，則說明該檢測系統的精密度越高，或重復性越好。

由于系統誤差和隨機誤差產生的原因相類似，因此兩者之間并無絕對的界線。同一原因造成的誤差有時可以明確地歸結為系統誤差，而無法明確歸屬的就列為隨機誤差。在處理時依情況不同而確定。當檢測系統的系統誤差很大時，應按系統誤差的處理準則明確其原因，給予盡可能的消除。當無明顯的系統誤差時，其誤差應按處理隨機誤差的方法給予處理。

在光電檢測系統中，常遇到的檢測量既不是物理學的基本量，也不是一般的導出量，而是通過幾個導出量的測量之后，按物理關系計算得到的待測量。例如前面提到的像管亮度增益G的檢測，這種待測量的檢測比基本量，如長度、重量等簡單量的測量要復雜得多。同時各種誤差的影響也很復雜，完全消除系統誤差有時是很困難的。因此常用標準樣品比對的方法來綜合確定檢測儀器的系統誤差，或加以消除，或在檢測值中給以修正。而檢測過程的隨機誤差就成了研究的主要內容。這就是常用隨機誤差或精密度來標志檢測儀器優劣的原因。

3. 置信限和置信概率

由于待測量的真值A0是不可知的，由式（2-2）可知，雖可測出測量值x，但誤差Δx的具體值也不可能準確得到，但是我們可以按照一些依據和手段來估計誤差Δx的值或稱不確定度的大小。這種估計的誤差范圍或誤差限叫做置信限。

置信限的估計將涉及概率問題。常將置信限估計把握的大小用置信性或置信概率來表示。于是在檢測中，誤差的估計常用置信限和置信概率這兩個量來表示。置信限取得大，則置信概率就高；反之亦然。當置信限取無窮大時，置信概率為1；反之當置信限取零時，則概率也是零，這些都是沒有實際意義的。通常的做法是在要求一定置信概率的條件下，討論置信限的大小，從而確定檢測系統或檢測值可能達到的精度。

2.1.2 隨機誤差

本節主要介紹隨機誤差的性質、處理方法和估計。

1. 隨機誤差的性質和標準偏差

隨機誤差不可能像系統誤差那樣一一找到產生的原因，并逐個給予消除。它只能通過仔細地設計測量所采用的具體方案，精密地準備測試設備，從而盡可能減小隨機誤差對檢測結果的影響。

在檢測過程中，利用概率統計的方法對隨機誤差進行處理，估計最終殘留的影響。應當注意，這種處理是在完全排除系統誤差的前提下進行的。

通過大量實際檢測的統計，總結出隨機誤差遵守正態分布的規律。設在一定條件下對真值為μ的某量 x進行多次重復的測量，也就是進行一列 N次等精度的測量，其結果是：x1，x2，…，xn，…，xN，各測得值出現的概率密度分布p（x）遵守正態函數或高斯函數分布的規律：

如果用每個測得值x離真值μ的偏差ξ，即真誤差來表示，ξ=x-μ，則有

式中，σ為正態分布的標準偏差，也就是各測得值x的均方差，或稱均方根差。

式中，符號“〈〉”表示統計平均的意思。例如：

即無窮多次抽樣的平均，顯然對應有

只有σ＞0，函數p（x）或p（ξ）才有意義，該函數關系如圖2-1所示，這就是正態分布曲線。由此可知，測得值x出現在區間（a，b）內的概率，在圖中表示為該區間曲線下的面積。而用公式表示為

當區間為正負無窮大時，則有

按照以上討論可知，隨機誤差的分布即正態分布有以下特點：

（1）絕對值相等的正誤差和負誤差出現的概率相同。

（2）曲線的鐘形分布使絕對值小的誤差出現的概率大，而絕對值大的誤差出現的概率小。

（3）絕對值很大的誤差出現的概率接近于零，也就是說誤差值有一定的極限。

（4）由于曲線為左右對稱的分布，所以在一列等精度的測量中，其誤差的代數和有趨于零的趨勢。

正態分布曲線的形狀在很大程度上取決于對應的標準偏差σ值的大小，而σ的大小又是由檢測儀器和檢測過程的精度決定的。曲線形狀隨σ大小變化的關系如圖2-2所示，其中σ1＜σ2＜σ3。由于總概率均為1，所以三條曲線下所包含的面積相等。從概率分布可知，σ越小分布越集中，說明小誤差的概率增大而大誤差的概率減小。由此可見，標準偏差雖不是一個具體誤差，卻反映了檢測誤差的分布，從而也表征了檢測的精密度。

從數學角度來看，當對正態分布函數取二階導數并為0時，即d2p（ξ）/dξ2=0，恰可求出解ξ=±σ?？梢姌藴势钋∈乔€拐點的變量坐標。可以說σ確定了曲線的平陡和誤差的概率分布。

x或ξ在某區域中的概率可用式（2-8）求出。當以x=μ或ξ=0的點作為中心對稱取區間時，則因曲線是左右對稱的偶函數，所以有

由于σ的特殊物理意義，在實際估計誤差時，通常對討論區間的取法采用σ的倍數k來表示，即把誤差特征量與區間聯系起來，使區間的取法更具有物理意義，并把k定義為置信系數。

令a=kσ，k=a/σ，于是有

如令ξ/σ=t=，則有

式中，erf（k）稱為誤差函數，或概率積分。Φ）叫做拉普拉斯函數。這兩個特殊形式的函數值與變量間的關系，在有關討論“測量與誤差”的手冊或書籍中有表可查，因此大大地減少了計算工作量。由于采用的術語在定義上可能稍有差異，因此查表時以下述關系式為準

此外還應指出，以上兩種特殊形式的函數均為奇函數。

2. 算術平均值及其標準誤差

利用高斯分布處理隨機誤差的關系是利用一列等精度N次測量的結果，估計真值μ和標準偏差σ。下面分別討論這兩個量的估計方法。

在具體的測量中，μ是不可知的，但是根據概率理論可以對它進行估計。

對μ的最佳估計就是N次檢測結果x1，x2，…，xn，…，xN的算術平均值?？捎孟率奖硎?/p>

式中，符號“（-）”是指有限次抽樣的平均值，即上述統計平均值（）=μ，叫做數學期望，其值等于真值。實際檢測中，不可能對檢測量進行無窮多次測量，因此也無法得到真值。

當然有限N次抽樣的算術平均值不等于真值，即（）≠μ。因而在等精度條件下，每進行N次抽樣所得到的算術平均值之間也都略有不同，就是說（）也具有隨機性，它的分布也應是正態分布。可以用正態分布的有關性質來討論算術平均值的分布。用σx表示（）的標準偏差，或叫標準誤差。從而說明（）的誤差分布。利用方差運算法則有

所以有

為與x的標準偏差σ相區別，有時用s表示用）代替真值μ所產生的標準偏差或均方差。

由上式可知，當檢測次數N增大時，s就相應減小，也就是說（）的標準偏差減小，這時把算術平均值作為真值μ的估計值的誤差也就減小。但是，這一關系是非線性的，即s∝1 /。N從1開始增加時，s下降較快；隨著N的進一步增大，s下降變得緩慢。而檢測次數N的增大會給測量工作帶來很多困難。所以綜合了需要和可能，在實際檢測中常取N＜50，一般取4～20次即可。

3. 標準偏差的估計和它的均方差

標準偏差σ與真值μ一樣要在N=∞時才能獲得，這是難以實現的。因此也要利用有限次抽樣的結果，來估計標準偏差。

在一列有限N次等精度測量中，求得真值μ的估計值 而每次測量中所得的xn與間的剩余誤差或殘差為，那么N不論為何值，vn的總和為

可見，殘差的總和為零。這說明不能用殘差的總和估計誤差。式（2-18）的用途只是檢查xn的算術平均值x的計算是否有誤。

可用殘差的平方代替真誤差的平方ξ2來進行誤差或標準偏差的估計。同時由殘差總和為零的關系可知，在已知N-1個殘差時，第N個殘差就能求得，因此存在著一個約束條件，即它們的自由度是N-1，而不是N。用vn來估計σ的方法如下，從求其方差開始，引入式（2-17）有

通過換項則有

殘差的統計平均值應等于零，即〈v〉=0，則

上式叫做貝塞爾公式。由式中可見當N→∞時，x→μ，N-1→N，與式（2-7）相同。上述公式是有限次抽樣的結果，為與式（2-6）中的σ有所區別，貝塞爾公式的偏差估計值有時用表示。

同樣由于式（2-20）是有限N次抽樣的結果，其本身也是一個隨機變量，因而也存在著偏差，可用σσ來表征用代替σ的標準誤差，其值可按下式估計

可用具體數字代入上式，計算標準偏差估計值的誤差。當N=50時，；當N=4時，?？梢娺M行了50次的等精度測量，＾的標準誤差為本身的1/10；如少于50次的測量，其誤差還要大。所以說標準偏差的估計值＾的精密度并不高。實際工作時＾常取一位有效數字，最多取兩位有效數字，再多的位數是沒有意義的。

按照正態分布的理論，通過對概率分布密度函數的積分，可以獲得以標準偏差為倍數誤差區間中的概率值。

|ξ|≤0.675，P{|ξ|≤0.675}=0.50；|ξ|≤σ，P{|ξ|≤σ}=0.682689

|ξ|≤2σ，P{|ξ|≤2σ}=0.954500；|ξ|≤3σ，P{|ξ|≤3σ}=0.9973002

下面通過一個實例說明數據處理的方法和結果。光纖面板積分漫射光透射比的7次檢測結果為0.842，0.845，0.841，0.838，0.844，0.842和0.839，處理以上數據。

算術平均值

均方差或標準誤差

算術平均值的標準偏差

均方差的標準誤差

通過以上的計算，按照概率統計的術語可以說明測量的結果。

（1）待測面板的透射比為84.16%，這是通過檢測對該面板透射比真值的估計，但不是真值。在完全相同的條件下再進行一組檢測，其結果一般不是上述估計值；而多組檢測的結果形成平均值的正態分布，該分布的標準偏差是0.00095。

（2）如果以上述算術平均值84.16%作為面板透射比，那么這一檢測結果的置信限和置信概率可以按下述取得。

以上置信限可以有各種取法，依實際要求的置信概率來定。實際上不論對測量結果的處理還是對某臺檢測儀器精密度的鑒定，嚴格地講所提的要求都應包括置信概率和置信限兩個方面。

（3）對標準偏差的估計，在不同組的檢測中將有不同的結果。多組檢測的結果也形成正態分布，該分布的標準誤差為0.067%。可見和＾都是隨機變量，本身還有一定的誤差分布，所以在概率統計的處理過程中，為使所得數據更加保險，應向降低精度的方向進行統計。

有時對檢測結果還要進行最大誤差Δ 和測量精度JD的計算。最大誤差表征用平均值代替真值μ所帶來誤差的一種估計，可用下式定義

式中，k為置信系數。按測量要求一般取值為2～3。

測量精度一般采用相對偏移量來定義，即

前述面板透射比的例子中，如取k=2.5，則有Δ =0.002375，JD=0.28%。

4. 間接測量的誤差傳遞

在光電檢測中，待檢測量有時并不是通過直接檢測就能獲得的。例如前面例子中提到的像管增益測試，直接測量只能測出陰極面的輸入照度Ek和熒光屏的輸出亮度La，而增益G=La/Ek要通過計算才能獲得。因此，如何利用測量Ek和La的誤差來估計G的誤差，這就是間接測量的誤差傳遞要解決的問題。

設某間接測量的量y與各直接測量的量x1，x2，…，xn之間的關系為y=f（x1，x2，…，xn），各量的誤差分別是Δx1，Δx2，…，Δxn，間接測量量的誤差計算可按下式進行

幾種簡單函數關系的誤差傳遞計算法如下。

（1）y=kx時，其中k為常數，有

（2）y=x1±x2時，有

（3）y=x1x2時，有

（4）y=x1/x2時，有

例如，在檢測像增強器增益G時，直接測得陰極照度=2×10 -5lx，σEk=1×10 -7；陰極亮度=4×10-1cd/m2，σLa=4×10-3。則可計算出增益=2×104cd/m2·lx，σG=223.61；如取置信限為3σ，則測量結果應表示為G=2×104±671cd/m2·lx。

在檢測技術中為了對真值和標準偏差進行快速估計，還有一些其他簡單的方法可供使用。例如，對真值快速估計有中數法、二點法、三點法和五點法等；對標準偏差快速估計有平均偏差法、標準變程法、九點變程法和四點變程法等。隨著計算技術及各種計算機的發展，這些快速方法用得越來越少，這里不再做介紹。

5. 檢測靈敏閾對標準偏差估值的影響

在前述標準偏差的估計中，實際上都認定檢測儀器的分辨力是無限的，或者說檢測靈敏閾趨于零。實際檢測儀器的靈敏度都受到一定的限制，用ω來表示它們的靈敏閾。當或時，x的各檢測值沒有差異，都指示為xn或ξn。因此用貝塞爾公式計算出的值并不是σ的真正最佳估值，可用謝潑德修正式來進行修正

例如，在面板透射比一例中，假設ω=0.005時，σ的估計值應修正為

σ2=（0.0025）2+0.0052/12=8.33×10 -6，即σ=0.0029

在實際測量中，如果或，而σ的取值又不超過兩位數時，則可不進行這一修正計算。

6. 大誤差測值出現的處理

在實際檢測過程中，由于過失或其他偶然的原因，有時會出現大誤差的測值，這對檢測結果影響很大，必須給予慎重處理。其主要方法是：

（1）認真檢查有無瞬時系統誤差產生，及時發現并處理。

（2）增加檢測的次數，以減小大誤差測值對檢測結果的影響。

（3）利用令人信服的判據，對檢測數據進行判定后，將不合理數據給予剔除。

下面重點介紹兩種處理數據的判據。

（1）3σ的萊特準則

該準則是按檢測的全部數據計算其標準偏差的估計值σ，判據規定，當發現個別數據的殘差以|vn| ＞3σ時，將該數據剔除。在這一方法中，通常是在檢測次數N很大的前提下取得的，所以在N較小時這一判據并不一定可靠。

（2）肖維涅判據

在一列N次等精度的檢測中，如不出現|ξ| ＞a的誤差，那就是說在該條件下測值出現的概率很小，P{|ξ| ＞a}很小。當檢測次數N足夠大時，概率P與頻率P＾=M/N很接近或認為近似相等，式中M是在N次檢測中誤差絕對值大于a的次數，于是概率很小的意思就是

或

因為檢測過程必須按整數次進行，所以M的出現必然是整數。為使NP{|ξ| ＞a}的值在湊整后，M值實際上仍視為零的條件是

或

上式表示是以a為界在外區間中的總概率。而以a為界內區間的總概率可用下式表示

式中，有a=kσ的關系。

所謂肖維涅判據是：在一列N次等精度測量中，某個檢測值xn的殘差的絕對值|vn|=，超過由式（2-39）和式（2-40）所決定的界限值a時，就可認為vn是異常的誤差值，對應測值xn應給予剔除。

表2-1給出了肖維涅判據，即N與k=a/σ之間的關系。具體使用方法是：根據檢測次數N，按表2-1查出k=a/σ之值，根據測值計算的σ值，利用a=kσ的關系，計算出a的值，將每個測值的誤差vn與a比較，當出現vn＞a時，將對應的測值xn剔除。

在使用肖維涅判據時，如果發現多個測值的誤差大于a，那么只能將其中最大的一個剔除掉。然后重新計算σ，再按新的條件進行判別。注意每次判別只能去除一個最大的超判據測值，直到測值全部在判據規定的范圍內為止。

為正確使用肖維涅判據，還應注意以下事項：

（1）肖維涅判據是在頻率接近概率的條件下獲得的，所以在N＜10時，使用該判據比較勉強。

（2）當N=185時，肖維涅判據與3σ萊特判據相當。當N＜185時，該判據比3σ判據窄。而當N＞185時，該判據比3σ判據寬。

（3）在判別過程中，如果剔除數太多時，則應懷疑誤差是否按正態分布，或考察是否存在其他問題。

2.1.3 系統誤差

本節主要介紹系統誤差的一般處理原則，消除或減弱系統誤差的方法，以及處理中的一些問題。

1. 系統誤差及一般處理原則

在2.1.2節的討論中，發現無規則的隨機誤差可以按概率統計的方法給予恰當的處理。而對于有規律的系統誤差的處理卻找不到恰當的通用方法，通常只能從經驗中歸納出一些帶有普遍意義的原則，按照這些原則，盡可能地減弱系統誤差對檢測結果的影響。這些原則是：

（1）在進行某項參量的檢測之前，應盡可能地預見到一切有可能產生系統誤差的因素，并針對這些不同因素，設法消除或減弱系統誤差，使之達到可以接受的程度。

（2）采用一些有效的檢測原理和檢測方法，來消除或盡力減弱系統誤差對檢測結果的影響。

（3）在對檢測數據進行處理時，設法檢查是否有未被注意到的變值系統誤差。如周期性的、漸增性的或漸減性的系統誤差等。

（4）在精心采用檢測設備和精心進行檢測之后，應設法估計出未能消除而殘留下的系統誤差的大小，以及它們最終對檢測結果的影響。也就是說估計出殘余系統誤差的數值范圍以便進行必要的修正。

2. 消除或減弱系統誤差的典型檢測技術

為了說明在考慮檢測原理時，如何盡力消除或減弱系統誤差，下面以基本電量的一些直接檢測為例，說明適當地選用合理的方法對減小系統誤差是有利的。在光電檢測技術中，也可類比應用。

（1）示零法

示零法的原理是將被檢測量的作用和已知量的作用相互抵消，使它們的總效應為零。這時被測量等于已知量。

示零法測定未知電壓的原理如圖2-3所示。設未知電壓為Ux，已知標準電池的電動勢為E，通過可變電阻器R分壓，經調整R1和R2之比，使得A、B兩點電位相同，通過示零檢流計的電流為零。則有

這就是通用電位差計的工作原理。檢流計G的作用只是判斷A和B兩點間有無電流，可選用靈敏度高的檢流計。該方法中的誤差主要取決于標準電池的誤差，通常標準電池的誤差可以做得很小。

電工測量中的惠斯登電橋也是利用示零法的原理，如圖2-4所示。當檢流計示零時，則有在電阻測量的這一方法中，同樣可采用高靈敏度的電流計。此外該檢測的精度主要取決于標準電阻R1、R2和R3的誤差。

（2）微差法

微差法檢測的原理是：檢測待測量x與一個數值相近的已知量N之間的差值（N-x），這時待測量x=N-（N-x）。這種方法不是徹底的示零法，常叫做虛零法，在電橋中則稱失衡電橋法。

圖2-5所示用來測定某穩壓電源輸出電壓微小變動的原理示意圖。這時標準電源電壓U維持不變，用毫伏表代替示零檢流計G作為指示器，以測定兩電源電壓之差Uo。

下面來估計該方法檢測的相對誤差。設微差或穩壓電源的變動量U1和穩壓輸出值Ux之比為U1/Ux≈1%，即U1≈0.01Ux。檢測采用精度較低的毫伏表，設其相對誤差為ΔU1/U1=±5%，估算檢測Ux的相對誤差。

設Ux≈U，并將有關數據代入上式，則有

若標準電位的相對誤差ΔU/U?0.05%，則有

可見，檢測中只用精度為5%的毫伏表，而檢測結果的誤差只有0.1%。也就是說，在指示儀表上直接讀出了比儀表本身精度更高的結果，從而減弱了系統誤差帶來的影響。此外，在非完全指零的微差法中，不用可調的標準器，從而減少檢測的手續，也減小了可調部分可能帶來的誤差。

（3）代替法

代替法的工作原理是，采用可以調節的標準器，在檢測回路中代替被檢測量，并且不引起測量儀器示值的改變。這時可調標準器的量值等于待測量的大小，以達到減小系統誤差的目的。

例如，圖2-4所示的四臂電橋中，平衡時各電阻值之間的關系為Rx=R1R3/R2。R1、R2和R3都有一定誤差，設分別為Δ1、Δ2和Δ3，待測量Rx相應的誤差為Δx，所以電橋平衡時參量間的實際關系是

展開上式，并略去二階以上的小量，則近似可得

所以誤差為

這時檢測值Rx的誤差受到R1、R2和R3誤差的綜合影響。

當采用代替法時，用可調標準器RN代替Rx，RN的誤差為ΔN，電橋平衡時有

取可調標準電阻器的阻值RN+ΔN作為待測電阻Rx的檢測值，即

這時Rx的示值精度只受標準器RN的誤差ΔN的影響，消除了各電阻誤差所構成系統誤差對檢測結果的影響。而標準器的誤差可做得很小。

（4）補償法

補償法也是利用標準器來進行測量的一種特殊形式的代替法。它的工作原理是進行兩次測量。第一次測量平衡時的關系為RN+ Rx=R1R3/R2；第二次測量去掉Rx，調整RN至，測量平衡時的關系為，待測量。

引入誤差，兩次測量電橋平衡時的關系為

當電阻值為RN時，設其誤差為Δ0+ΔN；當電阻為時，誤差為。所以有

由該結果可知，標準器誤差中Δ0部分的影響完全消除了，只剩下由于阻值變化帶來的誤差之差值，對檢測結果的影響甚小。

（5）對照法

對照法檢測的工作原理是：在同一檢測系統中，通過改變測量的不同安排，測量出兩個結果，把它們相互對照，從中檢測出系統誤差。有時也可求出系統誤差的大小。

例如某比較電橋R1/R2=1和一個可變標準電阻RN，用來檢測未知標準電阻Rx。第一次檢測時把RN放在四臂電橋的R3處，則有

第二次檢測將RN和Rx對換，設將RN調至R′N時，電橋平衡，則有

若，那么有R1/R2=R2/R1=1，說明兩比較臂無系統誤差，于是。若RN≠，則有R1/R2=1+Δ≠1，這時可將兩次檢測結果相對照，即把式（2-55）和式（2-56）等號兩邊各自相乘

上式中不出現R1和R2，也就是說對照法消除了這兩個電阻帶來的誤差。

如果把兩次檢測結果聯系起來則有

所以有

通過以上的推導，找到了計算該電橋誤差的方法。

對非比較電橋來說，以下兩式依然成立

對照法檢測可以推廣到呈現出某種對稱性的檢測系統中去。在系統中相應地進行兩次略有不同的安排，通過互相對稱的測量，從兩次測量的結果和它們之間的物理關系求得最終結果。這就是所謂的對稱觀測法或交叉讀數法。

3. 系統誤差處理中的幾個問題

系統誤差完全消除往往是不可能的，有時因相互關系復雜也很難下手進行消除。這里只是討論系統誤差處理中的幾個問題，并不是一套有效的處理方法。

（1）系統誤差消除的準則

這一準則主要是討論系統誤差減弱到什么程度時就可以忽略不計。

如果某一項殘余系統誤差或幾項殘余系統誤差的代數和的絕對值為|δx|，而當測量總誤差時的絕對值為|Δx|，那么當Δx是兩位有效數字時，|δx|滿足下式要求，則可舍去。

當Δx是一位有效數字時，|δx|滿足下式要求，則可舍去。

上述條件的實質是，按照四舍五入的原則，上述|δx|已不構成檢測誤差的有效數，再進一步消除系統誤差已無意義。

如果系統誤差大于上述條件，又無法進一步消除時，應估計殘余誤差的極限值。

（2）系統誤差的改正

當系統誤差既無法進一步消除又不能給予舍棄時，只能按其量的大小給以改正。

設無系統誤差而有隨機誤差時的N次測量結果為：x1，x2，…，xn，…，xN，當有系統誤差Δn時，該誤差可以分為系統恒差ξ0和系統對應N次測試的變差ξ1，ξ2，…，ξn，…，ξN。這時對應N次測量結果為，…，…，其中

N次檢測的平均值可按下式求出

根據這一推算結果，在改正系統誤差時可分兩部分進行。在改正系統恒差ξ0時，可在每個檢測量中減去，也可以在取得平均值后再減去恒差ξ0。在改正系統變差ξn時，可在每個測量數中按對應值進行改正。也可以在取得平均值后，按變差的平均值，即 進行修正，這是與系統恒差改正的不同之處。

（3）系統誤差存在與否的檢驗

系統誤差可以分為系統恒差和系統變差，系統變差又有許多不同類型，如瞬發系統誤差、非正態分布的系統誤差等。后者又可分為周期性系統變差和累進性系統變差等。這些系統誤差產生的原因和性質均不相同，所以只能用不同的方法或準則來判斷有無某種系統誤差的存在。

當檢測系統存在系統恒差ξ0時，實際測量的結果為

式中，μ為待測量的真值；ξn為隨機誤差量。

式（2-65）也可以寫為

這時仍為正態分布。有可能把μ′認為是真值，ξn為隨機誤差值，這樣并不能發現系統恒差的嚴重性。因此通常判斷有無系統恒差是采用與標準值比較的方法或用標準樣品進行比對來確定。

當檢測系統存在瞬發系統誤差ξt時，可以利用肖維涅準則進行判斷和處理。

對于存在非正態分布的系統誤差時，可采用前面計算平均誤差的方法進行判別。

此外，對于周期性誤差可利用阿貝判據判定。而對于累進性系統誤差可利用馬利科夫判據來進行處理。