第2章 光電檢測技術(shù)基礎(chǔ)

2.1 檢測量的誤差及數(shù)據(jù)處理

在光電檢測技術(shù)中，許多情況下需要檢測出待測量的具體數(shù)值。例如，對(duì)光度量和輻射度量的測量；光學(xué)零件透射比、反射比或漫射特性的測量；光電或熱電器件靈敏度、增益等參量的測量；零件幾何尺寸的測量；運(yùn)動(dòng)物體的線速度、轉(zhuǎn)速及流體的流速等的測量。而在有些光電檢測系統(tǒng)中，檢測量作為控制的信號(hào)，看起來并不需要直接給出檢測量的具體大小，但在控制系統(tǒng)的工作范圍、控制精度及可靠性的估算中，也離不開具體量值的隱含檢測。所以不論是隱含還是顯含，檢測量的測量都是必需的。

要獲得檢測量就要通過檢測器具來進(jìn)行，這就不可避免地要帶進(jìn)檢測誤差。因此在光電檢測技術(shù)中必須討論和分析有關(guān)檢測量的誤差，從中得到檢測數(shù)據(jù)的一般處理方法。

2.1.1 檢測過程及誤差分類

本節(jié)主要介紹檢測過程、檢測標(biāo)準(zhǔn)、誤差的產(chǎn)生、置信限和置信概率等問題。

1. 檢測過程及標(biāo)準(zhǔn)

光電檢測過程與一般物理量的測量過程相類似，是用待測量直接或間接與另一個(gè)同類已知量相比較，并以同類已知量的單位為單位，測定出待測量的具體值。例如，使用照度計(jì)測定某受光面的照度，這是直接測量法的例子，待測量是受光面的照度，而已知量及單位隱含在經(jīng)標(biāo)定后的照度計(jì)讀數(shù)之中。又如，測定某像管的增益G，它是熒光屏亮度La與陰極面照度Ek的比值，即G=La/Ek（cd/m2·lx）。具體檢測時(shí)，用照度計(jì)直接測定Ek，用亮度計(jì)直接測定La，通過計(jì)算得到待測量G的大小，這是間接測量的例子。

由檢測過程可知，必須有已知量作為比較或參考的標(biāo)準(zhǔn)，才能進(jìn)行檢測工作。比較標(biāo)準(zhǔn)通常有以下三類：

（1）真值A0

真值是指某物理量的理論值或定義值。例如，真空中的光速；某元素某譜線的波長等。這種參考標(biāo)準(zhǔn)只存在于純理論之中，而不存在于實(shí)際檢測之中。要檢測這些標(biāo)準(zhǔn)量（如光速），則又必須以其他參考量作為標(biāo)準(zhǔn)。所以可以認(rèn)為在檢測技術(shù)中，絕對(duì)的真值是不可知的，但是隨著技術(shù)的發(fā)展，又可以獲得逐步逼近真值的測量值。

（2）指定值As

指定值是由國家設(shè)立的各種盡可能維持不變的實(shí)物基準(zhǔn)或標(biāo)準(zhǔn)原器所規(guī)定的值。例如，長度實(shí)物基準(zhǔn)、國家黑體光度標(biāo)準(zhǔn)器等。指定值作為國家標(biāo)準(zhǔn)，常在國際間進(jìn)行比對(duì)和修正，成為各檢測量比較的基準(zhǔn)。

（3）實(shí)用值A

實(shí)際檢測過程中不可能都直接與國家基準(zhǔn)進(jìn)行比較測量。因此采用計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)傳遞的方法將指定值、基準(zhǔn)量逐級(jí)傳遞到各級(jí)計(jì)量站，以及具體的檢測儀器中。各級(jí)計(jì)量站或檢測儀器在進(jìn)行比較測量時(shí)，把上一級(jí)標(biāo)準(zhǔn)器的量值當(dāng)做近似的真值，把它們都叫做實(shí)用值、參考值或傳遞值。

例如照度值的傳遞，由國家光度標(biāo)準(zhǔn)器的發(fā)光強(qiáng)度作為指定值，轉(zhuǎn)移傳遞并寄存到各級(jí)計(jì)量站的標(biāo)準(zhǔn)光源中，標(biāo)準(zhǔn)光源通過光軌轉(zhuǎn)換為不同距離上的照度標(biāo)準(zhǔn)。一般照度計(jì)在上級(jí)計(jì)量站的光軌上進(jìn)行標(biāo)定，而照度的測量又是用標(biāo)定好的照度計(jì)進(jìn)行的。在上述序列中，每傳遞一次都把傳遞者所具有的值叫做實(shí)用值。如一級(jí)站向二級(jí)站傳遞時(shí)，把一級(jí)站的值叫實(shí)用值；二級(jí)站向照度計(jì)傳遞時(shí)，二級(jí)站的值也叫實(shí)用值；照度計(jì)進(jìn)行測量時(shí)，照度計(jì)的指示值仍叫實(shí)用值。

2. 誤差的產(chǎn)生及分類

在各種檢測過程中，不可避免地存在著誤差。這是由于在檢測過程中各種不穩(wěn)定因素綜合影響的結(jié)果。例如，測量方法存在原理性誤差；被測物由于測量本身帶來變化；各種檢測量的無規(guī)則起伏和一些意外的原因等。由此造成各瞬間所測結(jié)果不同。即在條件相同的情況下，多次測量的結(jié)果也不相同。

設(shè)某被測量的真值為A0，而測得值為x，于是有

式中，Δx為檢測的絕對(duì)誤差或誤差。

當(dāng)Δx很小時(shí)，可以認(rèn)為A0=x。所謂很小是相對(duì)于檢測目的和允許精度范圍而言的。

檢測誤差可按不同屬性進(jìn)行分類。

（1）誤差按檢測結(jié)果分類

可分為絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差。絕對(duì)誤差Δx=x-A0。相對(duì)誤差通常又可用兩種表示方法。一種叫做實(shí)際相對(duì)誤差，表達(dá)式為

另一種叫做額定相對(duì)誤差，表達(dá)式為

式中，xmax為最大測量值。例如在電工儀表中，表頭的誤差就采用額定相對(duì)誤差表示。例如，電表為0.5級(jí)，是指該電表各示值的誤差值不超過滿度值的0.5%。

通常鑒定某種測量儀表的精度或誤差，是在一系列附加工作條件下得出的，如環(huán)境溫度、相對(duì)溫度、大氣壓強(qiáng)和外磁場大小等。按鑒定測量儀表的不同要求，相應(yīng)規(guī)定具體的檢測條件。

（2）誤差按它們的基本特性分類

可分為系統(tǒng)誤差、隨機(jī)誤差和過失誤差。其中過失誤差在認(rèn)真的檢測中只是偶然出現(xiàn)，通常可以避免。即使它們偶然出現(xiàn)，也可以按一定準(zhǔn)則給以剔除，其方法將在后面給以介紹。這里著重討論前兩種誤差。

①系統(tǒng)誤差

在檢測過程中產(chǎn)生恒定不變的誤差（叫恒差），或者按一定規(guī)律變化的誤差（叫變差），統(tǒng)稱為系統(tǒng)誤差。系統(tǒng)誤差產(chǎn)生的原因有工具誤差、裝置誤差、方法誤差、外界誤差和人員誤差等。

在任何一個(gè)檢測系統(tǒng)中，都必須估計(jì)這類誤差的可能來源，并盡力消除它們；或者估計(jì)它們的可能值，并在結(jié)果中給以修正。檢測系統(tǒng)的準(zhǔn)確度或叫精確度，即測量值與真值間的偏差在一定條件下由系統(tǒng)誤差決定。系統(tǒng)誤差越小，表明儀器檢測的準(zhǔn)確度越高。

系統(tǒng)誤差的處理一般來說是技術(shù)處理問題，通過采用適當(dāng)?shù)姆椒ǎ梢韵驕p小這類誤差。

②隨機(jī)誤差

在盡力消除并改正了一切明顯的系統(tǒng)誤差之后，對(duì)同一待測量進(jìn)行反復(fù)多次的等精度測量，每次測量的結(jié)果都不會(huì)完全相同，而呈現(xiàn)出無規(guī)則的隨機(jī)變化，這種誤差稱為隨機(jī)誤差。所謂多次等精度測量是指在實(shí)驗(yàn)環(huán)境、實(shí)驗(yàn)方法、實(shí)驗(yàn)設(shè)備等條件相同或相對(duì)穩(wěn)定的條件下，對(duì)處于相對(duì)穩(wěn)定狀態(tài)下的同一對(duì)象進(jìn)行的具有同一標(biāo)準(zhǔn)誤差的多次測量。

隨機(jī)誤差產(chǎn)生的原因大多數(shù)與系統(tǒng)誤差產(chǎn)生的原因相同，只是由于變化因素太多，或者由于各種因素的影響太微小、太復(fù)雜，以至無法掌握它們出現(xiàn)的具體規(guī)律，也無法有針對(duì)性地消除這一誤差。

隨機(jī)誤差的處理一般采用概率統(tǒng)計(jì)的方法。通常一個(gè)檢測系統(tǒng)的精密度或檢測值的重復(fù)性在一定條件下是由隨機(jī)誤差的大小來決定的。小誤差產(chǎn)生的概率越高，大誤差產(chǎn)生的概率越低，則說明該檢測系統(tǒng)的精密度越高，或重復(fù)性越好。

由于系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差產(chǎn)生的原因相類似，因此兩者之間并無絕對(duì)的界線。同一原因造成的誤差有時(shí)可以明確地歸結(jié)為系統(tǒng)誤差，而無法明確歸屬的就列為隨機(jī)誤差。在處理時(shí)依情況不同而確定。當(dāng)檢測系統(tǒng)的系統(tǒng)誤差很大時(shí)，應(yīng)按系統(tǒng)誤差的處理準(zhǔn)則明確其原因，給予盡可能的消除。當(dāng)無明顯的系統(tǒng)誤差時(shí)，其誤差應(yīng)按處理隨機(jī)誤差的方法給予處理。

在光電檢測系統(tǒng)中，常遇到的檢測量既不是物理學(xué)的基本量，也不是一般的導(dǎo)出量，而是通過幾個(gè)導(dǎo)出量的測量之后，按物理關(guān)系計(jì)算得到的待測量。例如前面提到的像管亮度增益G的檢測，這種待測量的檢測比基本量，如長度、重量等簡單量的測量要復(fù)雜得多。同時(shí)各種誤差的影響也很復(fù)雜，完全消除系統(tǒng)誤差有時(shí)是很困難的。因此常用標(biāo)準(zhǔn)樣品比對(duì)的方法來綜合確定檢測儀器的系統(tǒng)誤差，或加以消除，或在檢測值中給以修正。而檢測過程的隨機(jī)誤差就成了研究的主要內(nèi)容。這就是常用隨機(jī)誤差或精密度來標(biāo)志檢測儀器優(yōu)劣的原因。

3. 置信限和置信概率

由于待測量的真值A0是不可知的，由式（2-2）可知，雖可測出測量值x，但誤差Δx的具體值也不可能準(zhǔn)確得到，但是我們可以按照一些依據(jù)和手段來估計(jì)誤差Δx的值或稱不確定度的大小。這種估計(jì)的誤差范圍或誤差限叫做置信限。

置信限的估計(jì)將涉及概率問題。常將置信限估計(jì)把握的大小用置信性或置信概率來表示。于是在檢測中，誤差的估計(jì)常用置信限和置信概率這兩個(gè)量來表示。置信限取得大，則置信概率就高；反之亦然。當(dāng)置信限取無窮大時(shí)，置信概率為1；反之當(dāng)置信限取零時(shí)，則概率也是零，這些都是沒有實(shí)際意義的。通常的做法是在要求一定置信概率的條件下，討論置信限的大小，從而確定檢測系統(tǒng)或檢測值可能達(dá)到的精度。

2.1.2 隨機(jī)誤差

本節(jié)主要介紹隨機(jī)誤差的性質(zhì)、處理方法和估計(jì)。

1. 隨機(jī)誤差的性質(zhì)和標(biāo)準(zhǔn)偏差

隨機(jī)誤差不可能像系統(tǒng)誤差那樣一一找到產(chǎn)生的原因，并逐個(gè)給予消除。它只能通過仔細(xì)地設(shè)計(jì)測量所采用的具體方案，精密地準(zhǔn)備測試設(shè)備，從而盡可能減小隨機(jī)誤差對(duì)檢測結(jié)果的影響。

在檢測過程中，利用概率統(tǒng)計(jì)的方法對(duì)隨機(jī)誤差進(jìn)行處理，估計(jì)最終殘留的影響。應(yīng)當(dāng)注意，這種處理是在完全排除系統(tǒng)誤差的前提下進(jìn)行的。

通過大量實(shí)際檢測的統(tǒng)計(jì)，總結(jié)出隨機(jī)誤差遵守正態(tài)分布的規(guī)律。設(shè)在一定條件下對(duì)真值為μ的某量 x進(jìn)行多次重復(fù)的測量，也就是進(jìn)行一列 N次等精度的測量，其結(jié)果是：x1，x2，…，xn，…，xN，各測得值出現(xiàn)的概率密度分布p（x）遵守正態(tài)函數(shù)或高斯函數(shù)分布的規(guī)律：

如果用每個(gè)測得值x離真值μ的偏差ξ，即真誤差來表示，ξ=x-μ，則有

式中，σ為正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)偏差，也就是各測得值x的均方差，或稱均方根差。

式中，符號(hào)“〈〉”表示統(tǒng)計(jì)平均的意思。例如：

即無窮多次抽樣的平均，顯然對(duì)應(yīng)有

只有σ＞0，函數(shù)p（x）或p（ξ）才有意義，該函數(shù)關(guān)系如圖2-1所示，這就是正態(tài)分布曲線。由此可知，測得值x出現(xiàn)在區(qū)間（a，b）內(nèi)的概率，在圖中表示為該區(qū)間曲線下的面積。而用公式表示為

當(dāng)區(qū)間為正負(fù)無窮大時(shí)，則有

按照以上討論可知，隨機(jī)誤差的分布即正態(tài)分布有以下特點(diǎn)：

（1）絕對(duì)值相等的正誤差和負(fù)誤差出現(xiàn)的概率相同。

（2）曲線的鐘形分布使絕對(duì)值小的誤差出現(xiàn)的概率大，而絕對(duì)值大的誤差出現(xiàn)的概率小。

（3）絕對(duì)值很大的誤差出現(xiàn)的概率接近于零，也就是說誤差值有一定的極限。

（4）由于曲線為左右對(duì)稱的分布，所以在一列等精度的測量中，其誤差的代數(shù)和有趨于零的趨勢(shì)。

正態(tài)分布曲線的形狀在很大程度上取決于對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)偏差σ值的大小，而σ的大小又是由檢測儀器和檢測過程的精度決定的。曲線形狀隨σ大小變化的關(guān)系如圖2-2所示，其中σ1＜σ2＜σ3。由于總概率均為1，所以三條曲線下所包含的面積相等。從概率分布可知，σ越小分布越集中，說明小誤差的概率增大而大誤差的概率減小。由此可見，標(biāo)準(zhǔn)偏差雖不是一個(gè)具體誤差，卻反映了檢測誤差的分布，從而也表征了檢測的精密度。

從數(shù)學(xué)角度來看，當(dāng)對(duì)正態(tài)分布函數(shù)取二階導(dǎo)數(shù)并為0時(shí)，即d2p（ξ）/dξ2=0，恰可求出解ξ=±σ。可見標(biāo)準(zhǔn)偏差恰是曲線拐點(diǎn)的變量坐標(biāo)。可以說σ確定了曲線的平陡和誤差的概率分布。

x或ξ在某區(qū)域中的概率可用式（2-8）求出。當(dāng)以x=μ或ξ=0的點(diǎn)作為中心對(duì)稱取區(qū)間時(shí)，則因曲線是左右對(duì)稱的偶函數(shù)，所以有

由于σ的特殊物理意義，在實(shí)際估計(jì)誤差時(shí)，通常對(duì)討論區(qū)間的取法采用σ的倍數(shù)k來表示，即把誤差特征量與區(qū)間聯(lián)系起來，使區(qū)間的取法更具有物理意義，并把k定義為置信系數(shù)。

令a=kσ，k=a/σ，于是有

如令ξ/σ=t=，則有

式中，erf（k）稱為誤差函數(shù)，或概率積分。Φ）叫做拉普拉斯函數(shù)。這兩個(gè)特殊形式的函數(shù)值與變量間的關(guān)系，在有關(guān)討論“測量與誤差”的手冊(cè)或書籍中有表可查，因此大大地減少了計(jì)算工作量。由于采用的術(shù)語在定義上可能稍有差異，因此查表時(shí)以下述關(guān)系式為準(zhǔn)

此外還應(yīng)指出，以上兩種特殊形式的函數(shù)均為奇函數(shù)。

2. 算術(shù)平均值及其標(biāo)準(zhǔn)誤差

利用高斯分布處理隨機(jī)誤差的關(guān)系是利用一列等精度N次測量的結(jié)果，估計(jì)真值μ和標(biāo)準(zhǔn)偏差σ。下面分別討論這兩個(gè)量的估計(jì)方法。

在具體的測量中，μ是不可知的，但是根據(jù)概率理論可以對(duì)它進(jìn)行估計(jì)。

對(duì)μ的最佳估計(jì)就是N次檢測結(jié)果x1，x2，…，xn，…，xN的算術(shù)平均值。可用下式表示

式中，符號(hào)“（-）”是指有限次抽樣的平均值，即上述統(tǒng)計(jì)平均值（）=μ，叫做數(shù)學(xué)期望，其值等于真值。實(shí)際檢測中，不可能對(duì)檢測量進(jìn)行無窮多次測量，因此也無法得到真值。

當(dāng)然有限N次抽樣的算術(shù)平均值不等于真值，即（）≠μ。因而在等精度條件下，每進(jìn)行N次抽樣所得到的算術(shù)平均值之間也都略有不同，就是說（）也具有隨機(jī)性，它的分布也應(yīng)是正態(tài)分布。可以用正態(tài)分布的有關(guān)性質(zhì)來討論算術(shù)平均值的分布。用σx表示（）的標(biāo)準(zhǔn)偏差，或叫標(biāo)準(zhǔn)誤差。從而說明（）的誤差分布。利用方差運(yùn)算法則有

所以有

為與x的標(biāo)準(zhǔn)偏差σ相區(qū)別，有時(shí)用s表示用）代替真值μ所產(chǎn)生的標(biāo)準(zhǔn)偏差或均方差。

由上式可知，當(dāng)檢測次數(shù)N增大時(shí)，s就相應(yīng)減小，也就是說（）的標(biāo)準(zhǔn)偏差減小，這時(shí)把算術(shù)平均值作為真值μ的估計(jì)值的誤差也就減小。但是，這一關(guān)系是非線性的，即s∝1 /。N從1開始增加時(shí)，s下降較快；隨著N的進(jìn)一步增大，s下降變得緩慢。而檢測次數(shù)N的增大會(huì)給測量工作帶來很多困難。所以綜合了需要和可能，在實(shí)際檢測中常取N＜50，一般取4～20次即可。

3. 標(biāo)準(zhǔn)偏差的估計(jì)和它的均方差

標(biāo)準(zhǔn)偏差σ與真值μ一樣要在N=∞時(shí)才能獲得，這是難以實(shí)現(xiàn)的。因此也要利用有限次抽樣的結(jié)果，來估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)偏差。

在一列有限N次等精度測量中，求得真值μ的估計(jì)值 而每次測量中所得的xn與間的剩余誤差或殘差為，那么N不論為何值，vn的總和為

可見，殘差的總和為零。這說明不能用殘差的總和估計(jì)誤差。式（2-18）的用途只是檢查xn的算術(shù)平均值x的計(jì)算是否有誤。

可用殘差的平方代替真誤差的平方ξ2來進(jìn)行誤差或標(biāo)準(zhǔn)偏差的估計(jì)。同時(shí)由殘差總和為零的關(guān)系可知，在已知N-1個(gè)殘差時(shí)，第N個(gè)殘差就能求得，因此存在著一個(gè)約束條件，即它們的自由度是N-1，而不是N。用vn來估計(jì)σ的方法如下，從求其方差開始，引入式（2-17）有

通過換項(xiàng)則有

殘差的統(tǒng)計(jì)平均值應(yīng)等于零，即〈v〉=0，則

上式叫做貝塞爾公式。由式中可見當(dāng)N→∞時(shí)，x→μ，N-1→N，與式（2-7）相同。上述公式是有限次抽樣的結(jié)果，為與式（2-6）中的σ有所區(qū)別，貝塞爾公式的偏差估計(jì)值有時(shí)用表示。

同樣由于式（2-20）是有限N次抽樣的結(jié)果，其本身也是一個(gè)隨機(jī)變量，因而也存在著偏差，可用σσ來表征用代替σ的標(biāo)準(zhǔn)誤差，其值可按下式估計(jì)

可用具體數(shù)字代入上式，計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)偏差估計(jì)值的誤差。當(dāng)N=50時(shí)，；當(dāng)N=4時(shí)，。可見進(jìn)行了50次的等精度測量，＾的標(biāo)準(zhǔn)誤差為本身的1/10；如少于50次的測量，其誤差還要大。所以說標(biāo)準(zhǔn)偏差的估計(jì)值＾的精密度并不高。實(shí)際工作時(shí)＾常取一位有效數(shù)字，最多取兩位有效數(shù)字，再多的位數(shù)是沒有意義的。

按照正態(tài)分布的理論，通過對(duì)概率分布密度函數(shù)的積分，可以獲得以標(biāo)準(zhǔn)偏差為倍數(shù)誤差區(qū)間中的概率值。

|ξ|≤0.675，P{|ξ|≤0.675}=0.50；|ξ|≤σ，P{|ξ|≤σ}=0.682689

|ξ|≤2σ，P{|ξ|≤2σ}=0.954500；|ξ|≤3σ，P{|ξ|≤3σ}=0.9973002

下面通過一個(gè)實(shí)例說明數(shù)據(jù)處理的方法和結(jié)果。光纖面板積分漫射光透射比的7次檢測結(jié)果為0.842，0.845，0.841，0.838，0.844，0.842和0.839，處理以上數(shù)據(jù)。

算術(shù)平均值

均方差或標(biāo)準(zhǔn)誤差

算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差

均方差的標(biāo)準(zhǔn)誤差

通過以上的計(jì)算，按照概率統(tǒng)計(jì)的術(shù)語可以說明測量的結(jié)果。

（1）待測面板的透射比為84.16%，這是通過檢測對(duì)該面板透射比真值的估計(jì)，但不是真值。在完全相同的條件下再進(jìn)行一組檢測，其結(jié)果一般不是上述估計(jì)值；而多組檢測的結(jié)果形成平均值的正態(tài)分布，該分布的標(biāo)準(zhǔn)偏差是0.00095。

（2）如果以上述算術(shù)平均值84.16%作為面板透射比，那么這一檢測結(jié)果的置信限和置信概率可以按下述取得。

以上置信限可以有各種取法，依實(shí)際要求的置信概率來定。實(shí)際上不論對(duì)測量結(jié)果的處理還是對(duì)某臺(tái)檢測儀器精密度的鑒定，嚴(yán)格地講所提的要求都應(yīng)包括置信概率和置信限兩個(gè)方面。

（3）對(duì)標(biāo)準(zhǔn)偏差的估計(jì)，在不同組的檢測中將有不同的結(jié)果。多組檢測的結(jié)果也形成正態(tài)分布，該分布的標(biāo)準(zhǔn)誤差為0.067%。可見和＾都是隨機(jī)變量，本身還有一定的誤差分布，所以在概率統(tǒng)計(jì)的處理過程中，為使所得數(shù)據(jù)更加保險(xiǎn)，應(yīng)向降低精度的方向進(jìn)行統(tǒng)計(jì)。

有時(shí)對(duì)檢測結(jié)果還要進(jìn)行最大誤差Δ 和測量精度JD的計(jì)算。最大誤差表征用平均值代替真值μ所帶來誤差的一種估計(jì)，可用下式定義

式中，k為置信系數(shù)。按測量要求一般取值為2～3。

測量精度一般采用相對(duì)偏移量來定義，即

前述面板透射比的例子中，如取k=2.5，則有Δ =0.002375，JD=0.28%。

4. 間接測量的誤差傳遞

在光電檢測中，待檢測量有時(shí)并不是通過直接檢測就能獲得的。例如前面例子中提到的像管增益測試，直接測量只能測出陰極面的輸入照度Ek和熒光屏的輸出亮度La，而增益G=La/Ek要通過計(jì)算才能獲得。因此，如何利用測量Ek和La的誤差來估計(jì)G的誤差，這就是間接測量的誤差傳遞要解決的問題。

設(shè)某間接測量的量y與各直接測量的量x1，x2，…，xn之間的關(guān)系為y=f（x1，x2，…，xn），各量的誤差分別是Δx1，Δx2，…，Δxn，間接測量量的誤差計(jì)算可按下式進(jìn)行

幾種簡單函數(shù)關(guān)系的誤差傳遞計(jì)算法如下。

（1）y=kx時(shí)，其中k為常數(shù)，有

（2）y=x1±x2時(shí)，有

（3）y=x1x2時(shí)，有

（4）y=x1/x2時(shí)，有

例如，在檢測像增強(qiáng)器增益G時(shí)，直接測得陰極照度=2×10 -5lx，σEk=1×10 -7；陰極亮度=4×10-1cd/m2，σLa=4×10-3。則可計(jì)算出增益=2×104cd/m2·lx，σG=223.61；如取置信限為3σ，則測量結(jié)果應(yīng)表示為G=2×104±671cd/m2·lx。

在檢測技術(shù)中為了對(duì)真值和標(biāo)準(zhǔn)偏差進(jìn)行快速估計(jì)，還有一些其他簡單的方法可供使用。例如，對(duì)真值快速估計(jì)有中數(shù)法、二點(diǎn)法、三點(diǎn)法和五點(diǎn)法等；對(duì)標(biāo)準(zhǔn)偏差快速估計(jì)有平均偏差法、標(biāo)準(zhǔn)變程法、九點(diǎn)變程法和四點(diǎn)變程法等。隨著計(jì)算技術(shù)及各種計(jì)算機(jī)的發(fā)展，這些快速方法用得越來越少，這里不再做介紹。

5. 檢測靈敏閾對(duì)標(biāo)準(zhǔn)偏差估值的影響

在前述標(biāo)準(zhǔn)偏差的估計(jì)中，實(shí)際上都認(rèn)定檢測儀器的分辨力是無限的，或者說檢測靈敏閾趨于零。實(shí)際檢測儀器的靈敏度都受到一定的限制，用ω來表示它們的靈敏閾。當(dāng)或時(shí)，x的各檢測值沒有差異，都指示為xn或ξn。因此用貝塞爾公式計(jì)算出的值并不是σ的真正最佳估值，可用謝潑德修正式來進(jìn)行修正

例如，在面板透射比一例中，假設(shè)ω=0.005時(shí)，σ的估計(jì)值應(yīng)修正為

σ2=（0.0025）2+0.0052/12=8.33×10 -6，即σ=0.0029

在實(shí)際測量中，如果或，而σ的取值又不超過兩位數(shù)時(shí)，則可不進(jìn)行這一修正計(jì)算。

6. 大誤差測值出現(xiàn)的處理

在實(shí)際檢測過程中，由于過失或其他偶然的原因，有時(shí)會(huì)出現(xiàn)大誤差的測值，這對(duì)檢測結(jié)果影響很大，必須給予慎重處理。其主要方法是：

（1）認(rèn)真檢查有無瞬時(shí)系統(tǒng)誤差產(chǎn)生，及時(shí)發(fā)現(xiàn)并處理。

（2）增加檢測的次數(shù)，以減小大誤差測值對(duì)檢測結(jié)果的影響。

（3）利用令人信服的判據(jù)，對(duì)檢測數(shù)據(jù)進(jìn)行判定后，將不合理數(shù)據(jù)給予剔除。

下面重點(diǎn)介紹兩種處理數(shù)據(jù)的判據(jù)。

（1）3σ的萊特準(zhǔn)則

該準(zhǔn)則是按檢測的全部數(shù)據(jù)計(jì)算其標(biāo)準(zhǔn)偏差的估計(jì)值σ，判據(jù)規(guī)定，當(dāng)發(fā)現(xiàn)個(gè)別數(shù)據(jù)的殘差以|vn| ＞3σ時(shí)，將該數(shù)據(jù)剔除。在這一方法中，通常是在檢測次數(shù)N很大的前提下取得的，所以在N較小時(shí)這一判據(jù)并不一定可靠。

（2）肖維涅判據(jù)

在一列N次等精度的檢測中，如不出現(xiàn)|ξ| ＞a的誤差，那就是說在該條件下測值出現(xiàn)的概率很小，P{|ξ| ＞a}很小。當(dāng)檢測次數(shù)N足夠大時(shí)，概率P與頻率P＾=M/N很接近或認(rèn)為近似相等，式中M是在N次檢測中誤差絕對(duì)值大于a的次數(shù)，于是概率很小的意思就是

或

因?yàn)闄z測過程必須按整數(shù)次進(jìn)行，所以M的出現(xiàn)必然是整數(shù)。為使NP{|ξ| ＞a}的值在湊整后，M值實(shí)際上仍視為零的條件是

或

上式表示是以a為界在外區(qū)間中的總概率。而以a為界內(nèi)區(qū)間的總概率可用下式表示

式中，有a=kσ的關(guān)系。

所謂肖維涅判據(jù)是：在一列N次等精度測量中，某個(gè)檢測值xn的殘差的絕對(duì)值|vn|=，超過由式（2-39）和式（2-40）所決定的界限值a時(shí)，就可認(rèn)為vn是異常的誤差值，對(duì)應(yīng)測值xn應(yīng)給予剔除。

表2-1給出了肖維涅判據(jù)，即N與k=a/σ之間的關(guān)系。具體使用方法是：根據(jù)檢測次數(shù)N，按表2-1查出k=a/σ之值，根據(jù)測值計(jì)算的σ值，利用a=kσ的關(guān)系，計(jì)算出a的值，將每個(gè)測值的誤差vn與a比較，當(dāng)出現(xiàn)vn＞a時(shí)，將對(duì)應(yīng)的測值xn剔除。

在使用肖維涅判據(jù)時(shí)，如果發(fā)現(xiàn)多個(gè)測值的誤差大于a，那么只能將其中最大的一個(gè)剔除掉。然后重新計(jì)算σ，再按新的條件進(jìn)行判別。注意每次判別只能去除一個(gè)最大的超判據(jù)測值，直到測值全部在判據(jù)規(guī)定的范圍內(nèi)為止。

為正確使用肖維涅判據(jù)，還應(yīng)注意以下事項(xiàng)：

（1）肖維涅判據(jù)是在頻率接近概率的條件下獲得的，所以在N＜10時(shí)，使用該判據(jù)比較勉強(qiáng)。

（2）當(dāng)N=185時(shí)，肖維涅判據(jù)與3σ萊特判據(jù)相當(dāng)。當(dāng)N＜185時(shí)，該判據(jù)比3σ判據(jù)窄。而當(dāng)N＞185時(shí)，該判據(jù)比3σ判據(jù)寬。

（3）在判別過程中，如果剔除數(shù)太多時(shí)，則應(yīng)懷疑誤差是否按正態(tài)分布，或考察是否存在其他問題。

2.1.3 系統(tǒng)誤差

本節(jié)主要介紹系統(tǒng)誤差的一般處理原則，消除或減弱系統(tǒng)誤差的方法，以及處理中的一些問題。

1. 系統(tǒng)誤差及一般處理原則

在2.1.2節(jié)的討論中，發(fā)現(xiàn)無規(guī)則的隨機(jī)誤差可以按概率統(tǒng)計(jì)的方法給予恰當(dāng)?shù)奶幚怼６鴮?duì)于有規(guī)律的系統(tǒng)誤差的處理卻找不到恰當(dāng)?shù)耐ㄓ梅椒ǎǔＶ荒軓慕?jīng)驗(yàn)中歸納出一些帶有普遍意義的原則，按照這些原則，盡可能地減弱系統(tǒng)誤差對(duì)檢測結(jié)果的影響。這些原則是：

（1）在進(jìn)行某項(xiàng)參量的檢測之前，應(yīng)盡可能地預(yù)見到一切有可能產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的因素，并針對(duì)這些不同因素，設(shè)法消除或減弱系統(tǒng)誤差，使之達(dá)到可以接受的程度。

（2）采用一些有效的檢測原理和檢測方法，來消除或盡力減弱系統(tǒng)誤差對(duì)檢測結(jié)果的影響。

（3）在對(duì)檢測數(shù)據(jù)進(jìn)行處理時(shí)，設(shè)法檢查是否有未被注意到的變值系統(tǒng)誤差。如周期性的、漸增性的或漸減性的系統(tǒng)誤差等。

（4）在精心采用檢測設(shè)備和精心進(jìn)行檢測之后，應(yīng)設(shè)法估計(jì)出未能消除而殘留下的系統(tǒng)誤差的大小，以及它們最終對(duì)檢測結(jié)果的影響。也就是說估計(jì)出殘余系統(tǒng)誤差的數(shù)值范圍以便進(jìn)行必要的修正。

2. 消除或減弱系統(tǒng)誤差的典型檢測技術(shù)

為了說明在考慮檢測原理時(shí)，如何盡力消除或減弱系統(tǒng)誤差，下面以基本電量的一些直接檢測為例，說明適當(dāng)?shù)剡x用合理的方法對(duì)減小系統(tǒng)誤差是有利的。在光電檢測技術(shù)中，也可類比應(yīng)用。

（1）示零法

示零法的原理是將被檢測量的作用和已知量的作用相互抵消，使它們的總效應(yīng)為零。這時(shí)被測量等于已知量。

示零法測定未知電壓的原理如圖2-3所示。設(shè)未知電壓為Ux，已知標(biāo)準(zhǔn)電池的電動(dòng)勢(shì)為E，通過可變電阻器R分壓，經(jīng)調(diào)整R1和R2之比，使得A、B兩點(diǎn)電位相同，通過示零檢流計(jì)的電流為零。則有

這就是通用電位差計(jì)的工作原理。檢流計(jì)G的作用只是判斷A和B兩點(diǎn)間有無電流，可選用靈敏度高的檢流計(jì)。該方法中的誤差主要取決于標(biāo)準(zhǔn)電池的誤差，通常標(biāo)準(zhǔn)電池的誤差可以做得很小。

電工測量中的惠斯登電橋也是利用示零法的原理，如圖2-4所示。當(dāng)檢流計(jì)示零時(shí)，則有在電阻測量的這一方法中，同樣可采用高靈敏度的電流計(jì)。此外該檢測的精度主要取決于標(biāo)準(zhǔn)電阻R1、R2和R3的誤差。

（2）微差法

微差法檢測的原理是：檢測待測量x與一個(gè)數(shù)值相近的已知量N之間的差值（N-x），這時(shí)待測量x=N-（N-x）。這種方法不是徹底的示零法，常叫做虛零法，在電橋中則稱失衡電橋法。

圖2-5所示用來測定某穩(wěn)壓電源輸出電壓微小變動(dòng)的原理示意圖。這時(shí)標(biāo)準(zhǔn)電源電壓U維持不變，用毫伏表代替示零檢流計(jì)G作為指示器，以測定兩電源電壓之差Uo。

下面來估計(jì)該方法檢測的相對(duì)誤差。設(shè)微差或穩(wěn)壓電源的變動(dòng)量U1和穩(wěn)壓輸出值Ux之比為U1/Ux≈1%，即U1≈0.01Ux。檢測采用精度較低的毫伏表，設(shè)其相對(duì)誤差為ΔU1/U1=±5%，估算檢測Ux的相對(duì)誤差。

設(shè)Ux≈U，并將有關(guān)數(shù)據(jù)代入上式，則有

若標(biāo)準(zhǔn)電位的相對(duì)誤差ΔU/U?0.05%，則有

可見，檢測中只用精度為5%的毫伏表，而檢測結(jié)果的誤差只有0.1%。也就是說，在指示儀表上直接讀出了比儀表本身精度更高的結(jié)果，從而減弱了系統(tǒng)誤差帶來的影響。此外，在非完全指零的微差法中，不用可調(diào)的標(biāo)準(zhǔn)器，從而減少檢測的手續(xù)，也減小了可調(diào)部分可能帶來的誤差。

（3）代替法

代替法的工作原理是，采用可以調(diào)節(jié)的標(biāo)準(zhǔn)器，在檢測回路中代替被檢測量，并且不引起測量儀器示值的改變。這時(shí)可調(diào)標(biāo)準(zhǔn)器的量值等于待測量的大小，以達(dá)到減小系統(tǒng)誤差的目的。

例如，圖2-4所示的四臂電橋中，平衡時(shí)各電阻值之間的關(guān)系為Rx=R1R3/R2。R1、R2和R3都有一定誤差，設(shè)分別為Δ1、Δ2和Δ3，待測量Rx相應(yīng)的誤差為Δx，所以電橋平衡時(shí)參量間的實(shí)際關(guān)系是

展開上式，并略去二階以上的小量，則近似可得

所以誤差為

這時(shí)檢測值Rx的誤差受到R1、R2和R3誤差的綜合影響。

當(dāng)采用代替法時(shí)，用可調(diào)標(biāo)準(zhǔn)器RN代替Rx，RN的誤差為ΔN，電橋平衡時(shí)有

取可調(diào)標(biāo)準(zhǔn)電阻器的阻值RN+ΔN作為待測電阻Rx的檢測值，即

這時(shí)Rx的示值精度只受標(biāo)準(zhǔn)器RN的誤差ΔN的影響，消除了各電阻誤差所構(gòu)成系統(tǒng)誤差對(duì)檢測結(jié)果的影響。而標(biāo)準(zhǔn)器的誤差可做得很小。

（4）補(bǔ)償法

補(bǔ)償法也是利用標(biāo)準(zhǔn)器來進(jìn)行測量的一種特殊形式的代替法。它的工作原理是進(jìn)行兩次測量。第一次測量平衡時(shí)的關(guān)系為RN+ Rx=R1R3/R2；第二次測量去掉Rx，調(diào)整RN至，測量平衡時(shí)的關(guān)系為，待測量。

引入誤差，兩次測量電橋平衡時(shí)的關(guān)系為

當(dāng)電阻值為RN時(shí)，設(shè)其誤差為Δ0+ΔN；當(dāng)電阻為時(shí)，誤差為。所以有

由該結(jié)果可知，標(biāo)準(zhǔn)器誤差中Δ0部分的影響完全消除了，只剩下由于阻值變化帶來的誤差之差值，對(duì)檢測結(jié)果的影響甚小。

（5）對(duì)照法

對(duì)照法檢測的工作原理是：在同一檢測系統(tǒng)中，通過改變測量的不同安排，測量出兩個(gè)結(jié)果，把它們相互對(duì)照，從中檢測出系統(tǒng)誤差。有時(shí)也可求出系統(tǒng)誤差的大小。

例如某比較電橋R1/R2=1和一個(gè)可變標(biāo)準(zhǔn)電阻RN，用來檢測未知標(biāo)準(zhǔn)電阻Rx。第一次檢測時(shí)把RN放在四臂電橋的R3處，則有

第二次檢測將RN和Rx對(duì)換，設(shè)將RN調(diào)至R′N時(shí)，電橋平衡，則有

若，那么有R1/R2=R2/R1=1，說明兩比較臂無系統(tǒng)誤差，于是。若RN≠，則有R1/R2=1+Δ≠1，這時(shí)可將兩次檢測結(jié)果相對(duì)照，即把式（2-55）和式（2-56）等號(hào)兩邊各自相乘

上式中不出現(xiàn)R1和R2，也就是說對(duì)照法消除了這兩個(gè)電阻帶來的誤差。

如果把兩次檢測結(jié)果聯(lián)系起來則有

所以有

通過以上的推導(dǎo)，找到了計(jì)算該電橋誤差的方法。

對(duì)非比較電橋來說，以下兩式依然成立

對(duì)照法檢測可以推廣到呈現(xiàn)出某種對(duì)稱性的檢測系統(tǒng)中去。在系統(tǒng)中相應(yīng)地進(jìn)行兩次略有不同的安排，通過互相對(duì)稱的測量，從兩次測量的結(jié)果和它們之間的物理關(guān)系求得最終結(jié)果。這就是所謂的對(duì)稱觀測法或交叉讀數(shù)法。

3. 系統(tǒng)誤差處理中的幾個(gè)問題

系統(tǒng)誤差完全消除往往是不可能的，有時(shí)因相互關(guān)系復(fù)雜也很難下手進(jìn)行消除。這里只是討論系統(tǒng)誤差處理中的幾個(gè)問題，并不是一套有效的處理方法。

（1）系統(tǒng)誤差消除的準(zhǔn)則

這一準(zhǔn)則主要是討論系統(tǒng)誤差減弱到什么程度時(shí)就可以忽略不計(jì)。

如果某一項(xiàng)殘余系統(tǒng)誤差或幾項(xiàng)殘余系統(tǒng)誤差的代數(shù)和的絕對(duì)值為|δx|，而當(dāng)測量總誤差時(shí)的絕對(duì)值為|Δx|，那么當(dāng)Δx是兩位有效數(shù)字時(shí)，|δx|滿足下式要求，則可舍去。

當(dāng)Δx是一位有效數(shù)字時(shí)，|δx|滿足下式要求，則可舍去。

上述條件的實(shí)質(zhì)是，按照四舍五入的原則，上述|δx|已不構(gòu)成檢測誤差的有效數(shù)，再進(jìn)一步消除系統(tǒng)誤差已無意義。

如果系統(tǒng)誤差大于上述條件，又無法進(jìn)一步消除時(shí)，應(yīng)估計(jì)殘余誤差的極限值。

（2）系統(tǒng)誤差的改正

當(dāng)系統(tǒng)誤差既無法進(jìn)一步消除又不能給予舍棄時(shí)，只能按其量的大小給以改正。

設(shè)無系統(tǒng)誤差而有隨機(jī)誤差時(shí)的N次測量結(jié)果為：x1，x2，…，xn，…，xN，當(dāng)有系統(tǒng)誤差Δn時(shí)，該誤差可以分為系統(tǒng)恒差ξ0和系統(tǒng)對(duì)應(yīng)N次測試的變差ξ1，ξ2，…，ξn，…，ξN。這時(shí)對(duì)應(yīng)N次測量結(jié)果為，…，…，其中

N次檢測的平均值可按下式求出

根據(jù)這一推算結(jié)果，在改正系統(tǒng)誤差時(shí)可分兩部分進(jìn)行。在改正系統(tǒng)恒差ξ0時(shí)，可在每個(gè)檢測量中減去，也可以在取得平均值后再減去恒差ξ0。在改正系統(tǒng)變差ξn時(shí)，可在每個(gè)測量數(shù)中按對(duì)應(yīng)值進(jìn)行改正。也可以在取得平均值后，按變差的平均值，即 進(jìn)行修正，這是與系統(tǒng)恒差改正的不同之處。

（3）系統(tǒng)誤差存在與否的檢驗(yàn)

系統(tǒng)誤差可以分為系統(tǒng)恒差和系統(tǒng)變差，系統(tǒng)變差又有許多不同類型，如瞬發(fā)系統(tǒng)誤差、非正態(tài)分布的系統(tǒng)誤差等。后者又可分為周期性系統(tǒng)變差和累進(jìn)性系統(tǒng)變差等。這些系統(tǒng)誤差產(chǎn)生的原因和性質(zhì)均不相同，所以只能用不同的方法或準(zhǔn)則來判斷有無某種系統(tǒng)誤差的存在。

當(dāng)檢測系統(tǒng)存在系統(tǒng)恒差ξ0時(shí)，實(shí)際測量的結(jié)果為

式中，μ為待測量的真值；ξn為隨機(jī)誤差量。

式（2-65）也可以寫為

這時(shí)仍為正態(tài)分布。有可能把μ′認(rèn)為是真值，ξn為隨機(jī)誤差值，這樣并不能發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)恒差的嚴(yán)重性。因此通常判斷有無系統(tǒng)恒差是采用與標(biāo)準(zhǔn)值比較的方法或用標(biāo)準(zhǔn)樣品進(jìn)行比對(duì)來確定。

當(dāng)檢測系統(tǒng)存在瞬發(fā)系統(tǒng)誤差ξt時(shí)，可以利用肖維涅準(zhǔn)則進(jìn)行判斷和處理。

對(duì)于存在非正態(tài)分布的系統(tǒng)誤差時(shí)，可采用前面計(jì)算平均誤差的方法進(jìn)行判別。

此外，對(duì)于周期性誤差可利用阿貝判據(jù)判定。而對(duì)于累進(jìn)性系統(tǒng)誤差可利用馬利科夫判據(jù)來進(jìn)行處理。