1.4 變形和應變

物體受力發生變形是材料力學關注的主要內容。根據均勻連續性假設，如果知道了物體內各點扣除剛體位移以后的位移，也就確定了物體的宏觀變形。材料力學中關心的位移就是指完全由變形產生的位移。

然而，位移并不方便表征物體內一點的變形特征。如圖1-9所示，一端固定的桿在力F的作用下伸長，其上臨近的兩點A和B分別移動到A'和B'。若記點A產生的位移為uA，點B產生的位移為uB，則有uB = uA + （A'B' ? AB），其中A'B' ? AB（記為ΔuAB）正是由AB的變形（伸長）引起的。可見點B的位移包含了點A的位移，并不能表征點B的變形特征。同樣，點A的位移也包含了它前面臨近點的位移，不能表征點A的變形特征。ΔuAB是AB的總伸長量，顯然與AB的原長（設為Δx）有關。當Δx很小時，AB的變形（伸長）近似均勻，所以ΔuAB/Δx是表征該臨近微小區域變形特征的適當參量。材料力學（包括其他連續變形體力學）中正是沿用這樣的思路，通過在一點附近選取一微小的區域，如邊長分別為Δx、Δy、Δz的微小單元體，并仿照ΔuAB/Δx定義應變（strain），來描述物體中任意一點的變形特征。

在得到物體中每一點的局部變形后，通過求積分就可以獲得物體整體的變形。

如圖1-10（a）所示,在物體內任一點M鄰域取一邊長分別為Δx、Δy、Δz的微元體，當邊長趨于無限小時，它就代表了點M。該微元體的變形主要表現為兩類：邊長的改變和角度的改變，如圖1-10（b）和（c）所示的xy投影平面的情況。這兩類基本的變形合成了微元體更復雜的變形。為了定量表征這兩種基本變形，分別定義了如下正應變和切應變。

1.正應變（線應變）

如圖1-10（b）所示，設微元體變形后x、y軸方向的邊長改變量分別為Δu、Δv，則定義改變量與原長的比值為對應邊的平均正應變（normal strain），也稱線應變（linear strain），以εa表示，即

類似地，也可以定義z方向的平均正應變或線應變，即

式中， Δw為變形后z軸方向的邊長改變量。

當邊長無限小時，由以上各式取極限得

式中，εx、εy、εz分別稱為點M沿x、y、z方向的正應變或線應變。

實際上，若在構件內任取一段微小線段MN=Δs，變形后的長度為M′N′，如圖1-10（d）所示，則都可類似地定義該線段沿MN方向（記為s方向）的線應變為

2.切應變（剪應變）

微元體兩條相互正交的邊所夾直角的改變量，稱為點在這兩條邊所在平面內的切應變或剪應變（shear strain）。如圖1-10（c）所示，點M兩側的邊由變形前的直角π/2，變成了銳角，夾角的改變量為γ1+γ2。該改變量即為點M在xy平面內的切應變或剪應變，表示為γxy，通常用弧度來度量。在變形很小的情況下，夾角γ1 和γ2的弧度值近似等于各自的正切值，于是有

同樣，可定義點M在yz平面和zx平面內的切應變γyz和γzx。

線應變 ε 和切應變 γ 是描述變形構件內一點處變形的兩個基本力學量，表示一點的局部變形，它們都是無量綱的量。物體的整體變形是物體內所有各點變形的累加。材料力學所研究的問題一般限于小變形情況，即變形和由變形引起的位移很小，遠遠小于構件的幾何尺寸，所以在分析平衡和變形等問題時，可以按構件的原始尺寸和形狀進行計算。可以證明，對于微小的應變和位移，其平方、乘積等與其一次方相比可以作為高階小量忽略。

應變是連續變形體力學中一個十分重要的、用來定量描述一點變形特征的量。在直角坐標系中可用（εx，γxy，γyz；γyx，εy，γyz；γzx，γzy，εz）這樣一組分量表示一點的應變狀態。順便指出，描述一點受力狀況的應力（包括所有分量）和描述一點變形特征的應變（包括所有分量）既不是一個標量，也不是一個矢量，在數學上稱為張量（tensor）。更加系統的關于應力和應變的理論將在彈性力學中學習。