2.3 軸向拉壓桿件的應力

正如緒論中指出，內力不能用來判斷桿件的強度，例如，同一材料制成的粗細不同的桿，在相同拉力下，軸力相同，但若同時增大拉力則細桿必然先斷，所以必須借助應力判斷桿的強度。本節講述如何根據對變形特征的實驗觀察，提出軸向拉壓桿件變形的假設，從而由內力確定任一橫截面和斜截面上的應力。

2.3.1 軸向拉壓桿件橫截面上的應力

雖然知道內力實際是一種分布作用力，但由截面法只能計算橫截面上這些分布作用力的合力，即軸力，而不能確定軸力在橫截面上各點的集度，即不知道橫截面上的應力分布。為了獲得軸向拉壓桿件橫截面上的應力分布規律，首先應通過實驗研究桿件的變形特征。

取一等直桿，如圖2-9（a）所示，為了便于觀察桿件的變形特征，先在桿表面作一系列平行于軸線的縱向線及垂直于軸線的橫向線。然后在桿件兩端施加一對軸向拉力F，使桿件產生軸向拉伸變形，如圖2-9（b）所示。

比較圖2-9（a）和圖2-9（b），可以觀察到如下現象：

（1） 變形后各橫線仍保持直線，任意兩相鄰橫線沿軸線發生相對平移；

（2） 變形后橫線仍然垂直于縱線，縱線仍舊保持與軸線的平行。原矩形網格仍保持為矩形。

受上述實驗現象（1）的啟發，可進行如下假設：原為平面的橫截面，變形后仍保持平面。該假設通常稱為軸向拉壓時的平面假設（plane assumption）。

若將桿件視為由無數縱向纖維組成的，根據平面假設，由上述實驗現象（2）可知，桿件受拉時所有縱向纖維均勻伸長，即桿件任意橫截面上各點處的變形相同。

桿件在外力作用下的內力是伴隨變形一起產生的。由上述試驗結果可知，軸向受拉桿件橫截面上各點只有正應力σ，而無切應力τ，所以軸力由橫截面的正應力（對應的分布力）合成：

根據平面假設，任意兩橫截面間各條縱向纖維的伸長量相同，由此不難推斷，在桿件橫截面上各點處有相同的內力分布集度，即正應力σ在橫截面上是均勻分布的，如圖2-9（c）所示。若截面上軸力為FN，橫截面面積為A，則橫截面上各點的正應力均為

即橫截面上的正應力與軸力FN成正比，與橫截面的面積A成反比。

雖然式（2-2）是以軸向拉伸為例推導的，但對于軸向壓縮同樣適用。軸向拉伸時的正應力稱為拉應力，軸向壓縮時的正應力稱為壓應力。正應力的符號通常規定為：拉應力為正，壓應力為負。

變截面直桿ABC如例題圖2-2（a）所示，已知d1 = 30 mm，d2 = 20 mm，試求圖中1-1、2-2截面上的正應力。

分析：首先利用截面法求得兩個截面上的軸力，然后利用式（2-2）計算正應力。需要注意，兩個截面的面積不同。

解：

1） 求截面1-1、2-2上的內力

假想在截面1-1處將桿分為兩部分，取左半部分，其受力如例題圖2-2（b）所示。應用平衡方程：

∑Fx = 0， F N1+30=0

得截面1-1上的內力為

F N1=?30 kN

同樣地，將桿在截面2-2處截開，取右半部分為研究對象，其受力如例題圖2-2（c）所示。應用平衡方程：

∑Fx = 0， 20?F N2=0

得截面2-2上的內力為

F N2=20 kN

2） 求截面1-1、2-2上的正應力

截面1-1，應用式（2-2）得

截面2-2，由式（2-2）得

（1） 式（2-2）可以近似用于計算軸力沿軸線任意變化和/或截面尺寸沿軸線緩慢變化時的橫截面正應力。如圖2-10所示的變截面立柱在自重下的正應力，此時，軸力、截面面積及正應力都將是截面位置空間坐標x的函數。

（2）在集中載荷作用點附近的區域，前面的平面假設不成立，如圖2-11（a）所示。所以，在該區域應力分布比較復雜，如圖2-11（b）所示，由式（2-2）不能正確計算橫截面上的正應力，只能給出平均值。但是，隨著遠離集中載荷作用點，應力分布逐漸趨于均勻分布，如圖2-11（c）和（d）所示。于是，在距離載荷作用端略遠處仍可用式（2-2）計算正應力。而且實驗證實，桿端加載方式的不同，只對載荷作用區域附近橫截面上的應力分布有明顯影響，而對距離載荷作用區域略遠處（距離約為橫截面的尺寸）的應力分布影響很小，如圖2-11（d）所示。這一結論稱為圣維南原理（Saint-Venant principle）。根據圣維南原理，無論桿端的載荷作用方式如何，均可以其合力代替，并利用式（2-2）計算遠離載荷作用點處的橫截面正應力。

（3） 為了滿足實際工程的需要，有些桿件會在其上鉆孔、攻絲、切口或制成階梯狀變截面桿等，導致桿件截面形狀、尺寸發生突變，如圖2-12所示。理論分析和實驗結果均表明，在構件形狀、尺寸突變的橫截面上，應力分布不是均勻的，應力會在局部急劇增加，如圖2-12（a）所示的受拉開孔薄板和圖2-12（b）所示的受拉寬度突變矩形截面薄板。所以，由式（2-2）不能正確計算這些橫截面上的應力，只能給出其平均值。這種由于桿件形狀尺寸突變引起局部應力急劇增大的現象，稱為應力集中（stress concentration）。距離構件形狀、尺寸突變的區域稍遠處，應力集中又迅速下降，趨于均勻分布，又可利用式（2-2）進行計算。

應力集中的程度可用應力集中系數（factor of stress concentration）表征。其定義為桿件形狀尺寸改變處橫截面上的應力最大值與該截面的平均應力值（又稱為名義應力）之比，用K表示：

各種典型工況的應力集中系數，可從有關的設計手冊中查得。試驗結果表明，不同性質的材料，對應力的敏感程度不同。桿件截面形狀、尺寸變化越劇烈，應力集中就越嚴重，因此在機械加工上多采用圓角過渡，以降低應力集中的影響。應力集中會降低桿件的承載能力，但相關的問題必須應用彈性理論或實驗方法解決，這已經超出了本書的研究范圍，感興趣的讀者可參閱相關的書籍。

最后順便指出，式（2-2）的推導是根據實驗觀察到的變形特征，提出橫截面上應力分布的假設，然后根據橫截面上內力由應力合成而獲得的。后面將要學習的其他變形問題也都沿用這一推導思路，但其分析要復雜些，一般要根據變形特征，利用幾何學的知識推出應變分布，然后利用應力-應變關系得到應力的分布，再根據應力合成內力獲得應力的計算公式——應力與內力的關系式。

2.3.2 軸向拉壓桿件斜截面上的應力

以上分析了拉壓桿件橫截面上應力，但破壞并不一定全部都沿橫截面發生。為了全面了解桿件任意截面上的受力情況，分析其破壞原因，還需進一步研究斜截面上的應力。

考慮如圖2-13（a）所示的軸向拉伸桿。任意斜截面m-m的方位可用該斜截面的外法線n與桿軸線的夾角α表示，規定α逆時針為正。沿該截面將桿件截開，取左半部分研究其內力，如圖 2-13（b）所示。由靜力平衡關系可得，斜截面上內力的大小等于外力FP，方向沿桿件軸線。

與橫截面上正應力的計算式（2-2）的推導過程類似。根據前面總結的變形特征可知，斜截面上各點應力pα均勻分布，如圖 2-13（b）所示。若桿件橫截面面積為 A，則其斜截面面積Aα=A/cosα，于是斜截面上各點的應力均為

式中，FP/A等于橫截面上的正應力σ，所以有

式（2-5）反映了斜截面上各點應力與橫截面上各點正應力的關系，由該式可知，斜截面上的應力不會超過相應的橫截面上的正應力。

將應力pα沿斜截面的法線和切線方向分解，可得斜截面上的正應力σα和切應力τα分別為

其方向如圖2-13（c）所示。由以上兩式可知：

（1） 過桿件某一點不同截面方位上的應力各不相同，任意斜截面上的正應力σα和切應力τα均是斜截面方位角α的函數，并由式（2-6）和式（2-7）求得。

（2） 當α=0°時，正應力σα取最大值為σmax =σ；同時有τα=0。即橫截面上的正應力取最大值，切應力為零。

（3） 當α=±45°時，切應力達到最大值τmax=σ/2，但該截面上的正應力并不為零，其值為σα=σ/2。若桿件抗剪切能力較弱，隨著外載荷的不斷加大，桿件就可能會發生沿45°斜截面的剪切破壞。

（4） 當α=±90°時，σα=0，τα=0。這表明平行于桿軸線的縱向平面上既不存在正應力，也不存在切應力。