一、關(guān)系命題

關(guān)系命題是斷定事物對(duì)象之間的關(guān)系的命題。例如：

（1）張三和李四是同學(xué)。

（2）有些人認(rèn)識(shí)那位司機(jī)。

（3）甲和乙是同學(xué)。

關(guān)系命題在結(jié)構(gòu)上由關(guān)系者項(xiàng)、關(guān)系項(xiàng)和量項(xiàng)組成。關(guān)系者項(xiàng)是表示關(guān)系命題中事物對(duì)象的概念，如上例（1）中的“張三”和“李四”；關(guān)系項(xiàng)是表示關(guān)系命題中事物對(duì)象之間的關(guān)系的概念，如上例（2）中的“認(rèn)識(shí)”；量項(xiàng)是表示關(guān)系命題中主項(xiàng)的數(shù)量范圍的概念，如上例（2）中的“有些”。關(guān)系項(xiàng)有二元關(guān)系項(xiàng)、三元關(guān)系項(xiàng)等，因此，關(guān)系命題也可以有二元關(guān)系命題、三元關(guān)系命題等。這里，我們主要討論二元關(guān)系命題。二元關(guān)系有許多性質(zhì)，我們需要掌握的主要是對(duì)稱性和傳遞性。

二、關(guān)系的對(duì)稱性

關(guān)系的對(duì)稱性是指當(dāng)事物對(duì)象a與b具有某種關(guān)系R時(shí)，b與a是否也具有這種關(guān)系R。

1.如果b與a一定有關(guān)系R，則關(guān)系R就是對(duì)稱的。例如，“是同學(xué)”、“是朋友”、“等于”、“相鄰”、“在……附近”、“離……不遠(yuǎn)”、“相對(duì)立”、“相矛盾”等關(guān)系都是對(duì)稱的。

2.如果b與a一定沒(méi)有關(guān)系R，則關(guān)系R就是反對(duì)稱的。例如，“大于”、“小于”、“多于”、“早于”、“侵略”、“戰(zhàn)勝”、“在……之上”、“是……父親”等關(guān)系都是反對(duì)稱的。

3.如果b與a不一定有關(guān)系R，則關(guān)系R就是非對(duì)稱的。例如，“喜歡”、“愛(ài)”、“認(rèn)識(shí)”、“理解”、“信任”、“幫助”、“贊成”等關(guān)系都是非對(duì)稱的。

三、關(guān)系的傳遞性

關(guān)系的傳遞性是指當(dāng)事物對(duì)象a與b具有某種關(guān)系R，并且b與c也具有這種關(guān)系R時(shí)，a與c是否也有這種關(guān)系R。

1.如果a與c一定有這種關(guān)系R，則關(guān)系R就是傳遞的。例如，“大于”、“小于”、“等于”、“早于”、“平行”、“真包含”、“在……以南”等關(guān)系都是傳遞的。

2.如果a與c一定沒(méi)有這種關(guān)系R，則關(guān)系R就是反傳遞的。例如，“比……年長(zhǎng)兩歲”、“是……父親”等關(guān)系都是反傳遞的。

3.如果a與c不一定有這種關(guān)系R，則關(guān)系R就是非傳遞的。例如，“認(rèn)識(shí)”、“喜歡”、“戰(zhàn)勝”、“侵略”、“相鄰”、“離……不遠(yuǎn)”、“幫助”、“愛(ài)”等關(guān)系都是非傳遞的。

四、關(guān)系推理

1.根據(jù)關(guān)系是對(duì)稱的，可以進(jìn)行對(duì)稱關(guān)系推理。例如，甲與乙是同學(xué)/乙與甲是同學(xué)

2.根據(jù)關(guān)系是反對(duì)稱的，可以進(jìn)行反對(duì)稱關(guān)系推理。例如，甲是乙的父親/乙不是甲的父親

3.根據(jù)關(guān)系是傳遞的，可以進(jìn)行傳遞關(guān)系推理。例如，甲比乙的年齡大乙比丙的年齡大/甲比丙的年齡大

4.根據(jù)關(guān)系是反傳遞的，可以進(jìn)行反傳遞關(guān)系推理。例如，甲是乙的父親乙是丙的父親/甲不是丙的父親

案例1.4.1

甲和乙任何一人都比丙、丁高。

如果上述為真，再加上以下哪項(xiàng)，可得出“戊比丁高”的結(jié)論？

A。戊比甲矮

B。乙比甲高

C。乙比甲矮

D。戊比丙高

E。戊比乙高

解析 正確選項(xiàng)是E。由題干可以知道，甲比丙高、甲比丁高、乙比丙高、乙比丁高，如果要推出“戊比丁高”的結(jié)論，需要增加“戊比甲高”或“戊比乙高”作為前提。顯然，選項(xiàng)E“戊比乙高”正好可以與題干中的“乙比丁高”進(jìn)行傳遞關(guān)系推理，從而得出結(jié)論“戊比丁高”。

案例1.4.2

某學(xué)術(shù)會(huì)議正舉行分組會(huì)議。某一組有八個(gè)人出席。分組會(huì)議主席問(wèn)大家原來(lái)各自認(rèn)識(shí)與否。結(jié)果是全組中僅有一個(gè)人認(rèn)識(shí)小組中的三個(gè)人，有三個(gè)人認(rèn)識(shí)小組中的兩個(gè)人，有四個(gè)人認(rèn)識(shí)小組中的一個(gè)人。

若以上統(tǒng)計(jì)屬實(shí)，則最能得出以下哪項(xiàng)結(jié)論？

A。會(huì)議主席認(rèn)識(shí)小組中的人最多

B。此類學(xué)術(shù)會(huì)議是第一次舉行，大家都是生面孔

C。有些成員所說(shuō)的認(rèn)識(shí)可能僅是電視上或報(bào)告會(huì)上見(jiàn)過(guò)而已

D。雖然會(huì)議成員原來(lái)的熟人不多，但原來(lái)認(rèn)識(shí)的都是至交

E。通過(guò)這次會(huì)議，小組成員都相互認(rèn)識(shí)了，以后見(jiàn)面就能直呼其名了

解析 正確選項(xiàng)是C。“認(rèn)識(shí)”是一種非對(duì)稱性關(guān)系，當(dāng)甲認(rèn)識(shí)乙時(shí)，

乙卻不一定認(rèn)識(shí)甲。題干中表明的認(rèn)識(shí)關(guān)系總共有：1×3 3×2 4×1=13.為單數(shù)，所以，至少有一種認(rèn)識(shí)關(guān)系僅僅是單方面的。

案例1.4.3

在某大學(xué)的某屆校友會(huì)中，有10個(gè)會(huì)員是湖南籍的。畢業(yè)數(shù)年后這10個(gè)同學(xué)歡聚一堂，發(fā)現(xiàn)他們之間沒(méi)有人給3個(gè)以上的同鄉(xiāng)會(huì)員寫(xiě)過(guò)信，給3個(gè)同鄉(xiāng)會(huì)員寫(xiě)過(guò)信的人只有1人，僅給2個(gè)同鄉(xiāng)會(huì)員寫(xiě)過(guò)信的有3人，僅給1個(gè)同鄉(xiāng)會(huì)員寫(xiě)過(guò)信的有6人，有一個(gè)會(huì)員收到了4個(gè)同鄉(xiāng)會(huì)員的來(lái)信。

如果上述斷定為真，以下各項(xiàng)關(guān)于這10個(gè)會(huì)員之間通信的斷定中，哪項(xiàng)一定為真？

Ⅰ，每人都給其他同鄉(xiāng)會(huì)員寫(xiě)過(guò)信

Ⅱ，每人都收到其他同鄉(xiāng)會(huì)員的來(lái)信

Ⅲ，至少有一個(gè)會(huì)員沒(méi)給所收到的每封來(lái)信回信

A。僅僅Ⅰ

B。僅僅Ⅱ

C。僅僅Ⅲ

D。僅僅Ⅰ和Ⅲ

E。Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ

解析 正確選項(xiàng)是D。“寫(xiě)信”是一種非對(duì)稱性關(guān)系，你給別人寫(xiě)信，別人卻不一定給你寫(xiě)信。根據(jù)題干可知，有1人給3個(gè)同鄉(xiāng)會(huì)員寫(xiě)過(guò)信，有3人分別給2個(gè)同鄉(xiāng)會(huì)員寫(xiě)過(guò)信，有6人各自給1個(gè)同鄉(xiāng)會(huì)員寫(xiě)過(guò)信。這樣，共有10人給同鄉(xiāng)會(huì)員寫(xiě)過(guò)信，他們總共寫(xiě)了3 6 6=15封信。所以，選項(xiàng)Ⅰ一定為真。選項(xiàng)Ⅲ也一定是真的，因?yàn)?0個(gè)同鄉(xiāng)會(huì)員總共寫(xiě)了15封信，為單數(shù)，所以，至少有一個(gè)會(huì)員沒(méi)給所收到的每封來(lái)信回信。Ⅱ不一定真，因?yàn)榧偃缬?人收到4封信，又有2人各收到3封信時(shí)，則其他7人就只能收到5封信，這樣，未必每人都能收到來(lái)信。

案例1.4.4

某大學(xué)舉辦圍棋比賽。在進(jìn)行第一輪淘汰賽后，進(jìn)入第二輪的6位棋手實(shí)力相當(dāng)，不過(guò)，還是可以分出高下。在已經(jīng)進(jìn)行的兩輪比賽中，棋手甲戰(zhàn)勝了棋手乙，棋手乙戰(zhàn)勝了棋手丙。明天，棋手甲和丙將進(jìn)行比賽。

請(qǐng)根據(jù)題干，從邏輯上預(yù)測(cè)比賽結(jié)果。

A。棋手甲肯定會(huì)贏

B。棋手丙肯定會(huì)贏

C。兩人將戰(zhàn)成平局

D。棋手甲很可能贏，但也有可能輸

解析 正確選項(xiàng)是D。注意，“戰(zhàn)勝”是一種非傳遞性關(guān)系。