由“悖論”這一“怪圈”引出“危機(jī)”，探究克服“危機(jī)”完善了三大數(shù)學(xué)流派，摧毀這些流派的幻想出現(xiàn)哥德爾不完備定理，導(dǎo)致至今尚未完結(jié)的探索，這是發(fā)生在數(shù)學(xué)領(lǐng)域里近一個(gè)世紀(jì)的事。那么，這種“怪圈”僅僅在數(shù)學(xué)領(lǐng)域內(nèi)才有嗎？

不是，這種“怪圈”普遍存在，在美術(shù)和音樂及其他領(lǐng)域都存在這種現(xiàn)象。

1979年，美國數(shù)學(xué)家道格拉斯·霍夫斯塔特寫了一本名為《GEB——一條永恒的金帶》的書。書名和內(nèi)容一樣使人好奇，在美國轟動一時(shí)，曾獲普利策大獎(jiǎng)。普利策獎(jiǎng)是赴美匈牙利人普利策（1847～1911）創(chuàng)立的，以這位辦報(bào)人命名的獎(jiǎng)雖然每份只有1000美元獎(jiǎng)金，但卻是新聞界的最高獎(jiǎng)賞。上述書名中的“G”指數(shù)學(xué)家哥德爾（Godel），“E”指畫家默里斯·戈羅奈里維斯·埃舍爾（Escher），“B”則指“音樂之父”巴赫（Bach）。

那為什么霍夫斯塔特會把數(shù)學(xué)家、畫家、音樂家綁在一起而使書名中有“GEB”呢？

該書認(rèn)為，人的思維存在一個(gè)“怪圈”，這個(gè)“怪圈”會使人的思維在前進(jìn)過程中不自覺地回到起點(diǎn)上去。正好我們前面談到的哥德爾不完備定理，這個(gè)定理使我們面臨二擇一的兩難境地：

要么在邏輯思維中可以是不一致的；要么導(dǎo)致另一個(gè)結(jié)果，使我們無法用邏輯去證明所有看來是用邏輯提出的問題，這就是不可判定性。哥德爾不完備定理就是指出了數(shù)學(xué)中的這種“怪圈”。

1961年，埃舍爾畫了一幅版畫，名為《瀑布》。在畫的中部，瀑布傾瀉而下，水花濺起，水再經(jīng)過水槽向下流去，經(jīng)過三個(gè)直角曲折，卻流向瀑布口！這真是不可思議：

水究竟是往上流，還是往下流？可是在畫面上卻表現(xiàn)得明明白白。水也像人的思維一樣，回到了起點(diǎn)。這就是美術(shù)的“怪圈”。

“卡農(nóng)”是英文canon的音譯，是復(fù)調(diào)音樂寫作技法。巴赫曾用卡農(nóng)技法寫成了舉世聞名的主題樂曲《音樂的奉獻(xiàn)》，并把它獻(xiàn)給他當(dāng)時(shí)崇拜的國王——弗里德里希。這首樂曲的奧妙之一在于，它神不知鬼不覺地進(jìn)行變調(diào)，使結(jié)尾最后又平滑地過渡到開頭。這種首尾相接的變調(diào)使聽眾有一種不斷增調(diào)的感覺。在轉(zhuǎn)了幾圈之后，聽眾已感到離開原調(diào)很遠(yuǎn)。但奇妙的是，通過這樣的變調(diào)卻又回到原來的調(diào)上！這就是音樂中“怪圈”的實(shí)例。對此，有人將其稱之為“無限升高的卡農(nóng)”。

此外，英國數(shù)學(xué)家圖靈（1912～1954）在計(jì)算機(jī)理論中指出，即使可以設(shè)想的最有效的計(jì)算機(jī)，也存在著無法彌補(bǔ)的漏洞，這個(gè)與哥德爾不完備定理等價(jià)的理論是人工智能和思維的“怪圈”。

人在漆黑的夜晚、迷蒙的霧中、茫茫的風(fēng)雪中、遮天蔽日的森林中等無法辨別方向的條件下行走，無論起初朝什么方向，其結(jié)果都是不斷地回到原來的出發(fā)點(diǎn)。這是行走時(shí)的一種“怪圈”。美國大幽默家馬克·吐溫在他的《國外旅游記》就記敘了他在旅館的一個(gè)黑暗房間里旅行了整夜的故事。在那天夜里，他在那個(gè)房間里轉(zhuǎn)圈47英里（約75公里），仍然沒有走出房間。雖然這一故事有夸大其辭之嫌，但人在無法辨別方向時(shí)會“轉(zhuǎn)圈”卻是不爭的事實(shí)。

人為什么會轉(zhuǎn)圈呢？這是由于人的左腳走出一步與右腳走出一步的長度不相等的緣故。由于左右腳每步長度不等，所以每走一步便偏離前進(jìn)方向一點(diǎn)點(diǎn)——“差之毫厘”，許多步積累起來，最終便回到原地——“失之千里”了。有人在威尼斯的馬爾克廣場上做了這樣一次試驗(yàn)。把一些人的眼睛蒙上后，把他們送到廣場的一端，叫他們走到對面的教堂去。雖然要走的路僅有175米，但卻沒有一個(gè)人走到寬達(dá)84米的教堂前——都走成了弧線，偏到一邊碰到旁邊的柱子上。挪威生理學(xué)家古德貝克在1896年對類似問題作過專題研究，并搜集了這類例子。其中例子之一是，有3個(gè)旅行者在寬約4公里的山谷中，企圖在黑夜中走出山谷，但走了5次，都回到了原出發(fā)點(diǎn)，最后筋疲力盡，只好坐待天明。

在許多旅游景點(diǎn)，都有一個(gè)“瞎子摸佛”——蒙上雙眼走一段路去摸“佛”字或一座佛像——游戲，但多以失敗告終，也是上述道理。

不僅走路如此，劃船也如此。古德貝克搜集了一個(gè)在濃霧中的小船，在一個(gè)4公里寬的海峽兜圈子的例子——人兩手劃槳時(shí)用力不等使船的行進(jìn)路線偏離，不斷偏離便回原地。

不但人有此“怪圈”，許多生物也是這樣。北極探險(xiǎn)家發(fā)現(xiàn)，愛斯基摩狗拉雪橇?xí)r如不導(dǎo)引，這只狗會在雪地上轉(zhuǎn)圓圈。把狗的眼蒙上放進(jìn)水里，它會在水里轉(zhuǎn)圈。瞎眼的鳥在空中會轉(zhuǎn)圈，被擊傷的野獸會因恐慌而不自覺地沿曲線逃離，蝌蚪、螃蟹、水母、微生物阿米巴等都會沿曲線運(yùn)動。

由此可見，“怪圈”是科學(xué)、藝術(shù)和生物等領(lǐng)域中一個(gè)普遍的現(xiàn)象，怪不得霍夫斯塔特將“怪圈”稱為“一條永恒的金帶”。

從理發(fā)師到“悖論”——“怪圈”，使我們清醒地認(rèn)識人類，認(rèn)識自己，認(rèn)識大自然。

從骰子到原子彈

蒙特卡洛是地中海沿岸歐洲國家摩納哥的一個(gè)城市，它以“賭城”聞名于世。那里云集了來自世界各地的賭徒。賭徒們贏了，可以“紙醉金迷”一番；輸了，可以到那里的一座“自殺橋”投河自盡——生死都可以“風(fēng)流”。

蒙特卡洛方法，是數(shù)學(xué)中的一種方法。那為什么數(shù)學(xué)方法要用這樣一個(gè)“不光彩”的城市來命名呢？骰子和原子彈與它又有什么關(guān)系呢？

數(shù)學(xué)有一門叫概率論的分支，而它的起源則是對賭博的研究。而當(dāng)時(shí)歐洲在賭博時(shí)常用骰子為賭具，于是我們的故事就從15世紀(jì)歐洲用骰子的賭博開始。

意大利數(shù)學(xué)家帕巧利（1445～1514）最早對賭博中的輸贏作了估計(jì)。他于1494年發(fā)表了數(shù)學(xué)專著《算術(shù)、幾何、比和比例摘要》，其中就研究了如下賭博問題。在一次賭博中，兩個(gè)賭徒都各自要贏6次才算贏。但在一個(gè)只贏了5次，另一個(gè)只贏了2次時(shí)比賽就中斷了。問題是：

這時(shí)應(yīng)如何分配總的賭金。帕巧利的主張是按5∶2分配。雖然他并沒有正確地解答這一問題，但由此卻引起了人們的思考。

到了16世紀(jì)，另外兩位意大利數(shù)學(xué)家塔爾塔利亞（約1500～1557）和卡爾丹（1501～1576）也研究過類似的賭博問題。卡爾丹還為此寫了一本叫《賭博論》的書。書中算出了擲兩顆或三顆骰子時(shí)，在一切可能的方法中得到某一總點(diǎn)數(shù)的方法數(shù)；并認(rèn)為上述問題的答案不是賭過的次數(shù)之比5∶2，而是應(yīng)考慮剩下的次數(shù)，即總賭金應(yīng)按（1+2+3+4）∶1＝10∶1來分配——可見他的思路是對的，但計(jì)算方法卻不對。

16世紀(jì)末，歐洲許多國家的保險(xiǎn)業(yè)從航海擴(kuò)大到工商業(yè)。由于保險(xiǎn)業(yè)務(wù)的擴(kuò)大和保險(xiǎn)對象都帶有隨機(jī)現(xiàn)象的色彩，所以迫使他們研究這樣一個(gè)問題：既要保證贏利，因此收的保險(xiǎn)金不能太少；又要保證投保人樂意投保，因此收的保險(xiǎn)金又不能太多。這就需要對保險(xiǎn)問題所涉及的隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行研究而創(chuàng)立保險(xiǎn)業(yè)的一般理論。于是，概率論產(chǎn)生的時(shí)機(jī)到了。但問題的難點(diǎn)是，保險(xiǎn)問題所涉及的隨機(jī)現(xiàn)象常常被許多錯(cuò)綜復(fù)雜的因素干擾，因此，人們便從簡單的、容易研究的賭博問題入手，于是“骰子”再次擺到數(shù)學(xué)家們的桌子上。因此，后來有人甚至戲稱概率論為“賭博的科學(xué)”。

1654年7月29日，是概率論史上一個(gè)值得紀(jì)念的日子。這一天，法國數(shù)學(xué)家帕斯卡寫信給另一位法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬研究了賭博問題。由于二人的通信討論，概率這一概念才比較明確。因此，二人是嚴(yán)格意義下的概論的早期創(chuàng)立者。當(dāng)然，創(chuàng)立者還應(yīng)加上荷蘭數(shù)學(xué)家惠更斯，因?yàn)樗?657年發(fā)表了《論賭博中的推理》。在該文中，他建立了概率和期望等重要概念，并得到相應(yīng)的性質(zhì)和計(jì)算方法。

那帕斯卡為什么會給費(fèi)馬寫信呢？原來，他有一個(gè)朋友叫梅雷，是一個(gè)賭徒。梅雷曾與一個(gè)侍衛(wèi)官投骰子賭博，各出30個(gè)金幣，雙方約定如果梅雷先擲出了3次6點(diǎn)，60枚金幣就歸梅雷；侍衛(wèi)官如果先擲出3次4點(diǎn)，60枚金幣就歸侍衛(wèi)官。但意外的事發(fā)生了：正當(dāng)梅雷擲出2次6點(diǎn)，侍衛(wèi)官擲出1次6點(diǎn)時(shí)，侍衛(wèi)官得到通知，必須馬上回去陪國王接見外賓。賭博顯然無法進(jìn)行了，那賭金如何分配呢？梅雷說他應(yīng)分得全部賭金的3/4即45枚金幣，而侍衛(wèi)官則說自己應(yīng)分得全部賭金的1/3即20枚金幣。雙方爭論不休，但誰也說服不了誰。于是梅雷就寫信向帕斯卡求教。帕斯卡對此也很有興趣，他經(jīng)過研究后把這一難題和他的解答一起寄給費(fèi)馬，于是就有了上述通信研究。

經(jīng)過18～19世紀(jì)數(shù)學(xué)家們的研究，概率論得到了飛速發(fā)展。

到了20世紀(jì)二戰(zhàn)爆發(fā)后，美國在40年代進(jìn)行了原子彈的研制。在這期間，出生在匈牙利的美國數(shù)學(xué)家馮·諾伊曼與另一位美國數(shù)學(xué)家烏拉姆提出了蒙特卡洛方法。當(dāng)時(shí)在美國的洛斯—阿拉莫斯實(shí)驗(yàn)室工作的物理學(xué)家要計(jì)算中子在各個(gè)不同介質(zhì)中游動的距離，研究鏈?zhǔn)椒磻?yīng)。上述二人利用數(shù)值計(jì)算的方法和技巧，在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)了第一個(gè)蒙特卡洛的程序，跟蹤大量的中子，模擬每個(gè)中子游動的“生命”歷史，然后作統(tǒng)計(jì)處理，使中子運(yùn)動的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性得以呈現(xiàn)。

從此，蒙特卡洛方法開始得到廣泛應(yīng)用。數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、國民經(jīng)濟(jì)、科研各學(xué)科和部門，都可以在通常的解析方法或數(shù)值方法難以得到解答時(shí)大顯身手。而這一方法的建立則得益于概率論的發(fā)展，概率論又來自對賭博的研究。所以，以賭城——蒙特卡洛命名便不足為奇了。

紀(jì)念保姆引出的發(fā)明

一臺儀器與心臟病人相連，經(jīng)過儀器的自動描記器，得到心電圖，用來診斷心率、傳導(dǎo)、冠狀動脈硬化的程度。醫(yī)生結(jié)合心電圖與病人癥狀的對應(yīng)關(guān)系，還可識別出諸如心房纖顫等其他類型的心臟疾病。

可是，對它的發(fā)明者和他為何要作出這樣的發(fā)明，卻鮮為人知。它的發(fā)明者是荷蘭科學(xué)家威廉·埃因托芬（1860～1927）。

埃因托芬于1860年5月21日出生在印度尼西亞爪哇島三寶壟的一個(gè)大種植園主之家——那時(shí)印尼是荷蘭的殖民地。他小時(shí)候是由一個(gè)稱為洪媽的中國阿媽帶大的。4歲起，洪媽就帶他到上海僑居了6年，并在上海法量公學(xué)上小學(xué)。喜愛他的洪媽還帶他到廣東新會——洪媽的家鄉(xiāng)住了半個(gè)月。在埃因托芬17歲那年，洪媽不幸因心臟病死于他爪哇家的田莊里，他悲痛不已。

埃因托芬不只是悲痛，而且對這位慈祥、勤勞、仁愛的長者還充滿著深深的敬意。為此，他立志學(xué)醫(yī)，并終生從事對奪去洪媽生命的疾病——心臟病的研究，終于1885年取得醫(yī)生資格。

荷蘭有一座以醫(yī)科聞名于世的權(quán)威學(xué)府——烏特勒克大學(xué)，這里有一位著名荷蘭醫(yī)學(xué)家杜德（1818～1889），他是現(xiàn)代眼鏡片的設(shè)計(jì)者，埃因托芬就向他學(xué)醫(yī)。杜德年邁時(shí)，把自己尚未完成的病理研究資料，全部傳給自己的得意門生埃因托芬，并再三叮囑他說，科學(xué)家對心臟病的研究尚不理想，要他“大膽地往前走”。

人們早已發(fā)現(xiàn)“生物電”，兩位德國科學(xué)家更進(jìn)一步，發(fā)現(xiàn)青蛙的心臟會產(chǎn)生電流。基于這些認(rèn)識，埃因托芬決定研究心臟的電活動。為了實(shí)現(xiàn)這一研究，埃因托芬曾轉(zhuǎn)入物理系苦讀一年，從而掌握了電學(xué)的基本原理。

以扎實(shí)基本功和愛心為前提，埃因托芬經(jīng)過多年研究，終于悟出：心臟每次收縮之前，會先發(fā)生電激動，這會傳至身體表面各部位，造成體表不同部位之間的電壓。將此電壓用儀器描繪成波形，就是正常的心電圖。但當(dāng)人有心臟病時(shí)，這個(gè)波形就不正常，由此即可診斷疾病。

在埃因托芬之前，一位叫沃洛的科學(xué)家就發(fā)明了一種心電圖儀，但描記不靈敏，且要經(jīng)過復(fù)雜的計(jì)算，所以效果不太理想。

埃因托芬成功設(shè)計(jì)了關(guān)鍵部件——指針式微電流計(jì)。這一也被稱為懸線電流計(jì)的裝置用極細(xì)的鍍銀石英絲代替原來的線圈和鏡子，使之更為靈敏。這根石英絲懸于兩個(gè)磁極之間，當(dāng)有微弱電流通過時(shí)，它就要發(fā)生偏轉(zhuǎn)；電流越大偏轉(zhuǎn)幅度也越大。他的具體做法是：把電極置于病人手臂和腿上，利用上述裝置即可探測到心臟向全身泵送血液時(shí)通過心肌的電脈沖。而記錄這些電脈沖的妙法是：讓懸線電流計(jì)在偏轉(zhuǎn)時(shí)擋住一束光，這就在紙上留下一束陰影；再用一條不斷移動的長長的感光紙，便連續(xù)地記錄下心肌活動的這些電脈沖了，這個(gè)圖形就是心電圖——記在感光紙上的圖。

1903年，他終于完善了用以記錄心臟跳動時(shí)心電變化狀況的心電圖儀，使之成為臨床上有實(shí)用價(jià)值的診斷心臟的有力工具。后來，又經(jīng)許多人的改進(jìn)，心電圖儀才成了現(xiàn)在這個(gè)樣子——不但可以在示波屏上及時(shí)顯示出心臟電脈沖的波形及各種參數(shù)，而且可以用電腦在紙上打印出來。

1924年，埃因托芬因發(fā)現(xiàn)心電圖的產(chǎn)生機(jī)制和改進(jìn)、完善心電圖儀，被授予諾貝爾醫(yī)學(xué)和生理學(xué)獎(jiǎng)。當(dāng)他懷著對洪媽的懷念以64歲的高齡去斯德哥爾摩領(lǐng)獎(jiǎng)時(shí)，卻真切地認(rèn)為在醫(yī)學(xué)研究上比他貢獻(xiàn)大的人很多，他覺得受之有愧，顯示出一位科學(xué)家的謙虛美德。

1925年埃因托芬退休后，立即偕妻子、兒女重返印尼，到爪哇為洪媽掃墓。他默默地為洪媽祈禱：愿洪媽在地下平安——他已經(jīng)完成了紀(jì)念洪媽的發(fā)明，為診斷奪去洪媽生命的那種疾病的發(fā)明。

利用生物電診斷疾病，并不僅限于心臟。1929年，伯格爾（PBerger）發(fā)明的腦電圖儀，可以記錄腦電流活動的情況，于是腦電圖就為癲癇病和腦損傷定位等提供了有效的檢查方法。大致同時(shí)，肌電圖儀問世，到20世紀(jì)40年代，肌電圖已能真正用于診斷肌肉損傷了。

我們無法“假設(shè)”要是埃因托芬如果不是充滿對洪媽的愛，是否也會立志學(xué)醫(yī)，或者是否也會作出榮獲諾貝爾獎(jiǎng)的發(fā)明，從而使心臟病患者的今天更加美好。

從狗尿招蠅到胰島素

1889年的一天，德國醫(yī)學(xué)家馮·梅林（1849～1908）和出生在俄國、但長期在德國工作的醫(yī)生兼病理學(xué)家閔可夫斯基（1858～1931）及助手作了一次狗的胰臟切除手術(shù)，其目的是研究胰臟在消化過程中起什么作用。手術(shù)后，一個(gè)助手偶然發(fā)現(xiàn)，流出的狗尿竟引來大群蒼蠅，他將此事告訴了閔可夫斯基。后者沒有放過這個(gè)疑點(diǎn)，對狗尿進(jìn)行了化驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)狗尿中的糖分是招蒼蠅的主要原因。經(jīng)過實(shí)驗(yàn)、研究表明，切斷狗的胰腺，就可使狗患上糖尿病。這樣，就發(fā)現(xiàn)了糖尿病是由于胰臟喪失功能使尿中糖分過多所引起的。這一工作是把胰臟同糖尿病聯(lián)系的開始。這一發(fā)現(xiàn)導(dǎo)致后來用胰島素控制糖尿病的醫(yī)療方法。

但是，他將上述疑點(diǎn)提出時(shí)，立即遭到許多人包括一些專家的冷嘲熱諷：一個(gè)專家竟對司空見慣的狗尿“情有獨(dú)鐘”！但閔可夫斯基對此卻不屑一顧，終于得出上述成果。