“我永遠(yuǎn)敬愛你！”原來這封賀信是當(dāng)年曾奚落過他的波多麗女伯爵久病后伏在病榻上寫的。其實(shí)，波多麗并沒有因格尼亞過去的浪蕩生活而歧視他，當(dāng)他得知格林尼亞已痛改前非、發(fā)奮學(xué)習(xí)時(shí)，始終關(guān)心他取得的每一個(gè)成就。

馬克思說：“恥辱就是一種內(nèi)向的憤怒。如果整個(gè)國家真正感到了恥辱，那它就會(huì)像一只蜷伏下來的獅子一樣，準(zhǔn)備向前撲去。”這一至理名言，對(duì)個(gè)人也是適用的。通過格林尼亞受侮辱后崛起的故事，說明有缺點(diǎn)的人，甚至“二流子”，也是可以通過努力為人類作出貢獻(xiàn)的，也是可以得到人民的承認(rèn)和受到尊敬的。這類例子多如牛毛。西班牙一個(gè)名叫桑迪亞哥·拉孟伊卡哈的醫(yī)學(xué)家，小時(shí)好逸惡勞不好好學(xué)習(xí)，沾染不良習(xí)氣，因偷錢被學(xué)校開除，最后與一伙慣盜為伍，浪跡于外，父親被活活氣死。后來他猛然悔悟，發(fā)憤讀書，高中畢業(yè)便名列前茅，入大學(xué)后更加努力，25歲時(shí)便成為母校的首席醫(yī)藥教授，并因創(chuàng)立神經(jīng)細(xì)胞學(xué)說等貢獻(xiàn)而榮獲1906年諾貝爾生理學(xué)和醫(yī)學(xué)獎(jiǎng)。這又是一個(gè)浪子回頭的故事。

對(duì)于有缺點(diǎn)、犯錯(cuò)誤的青少年，人們應(yīng)給予更多的愛，像格林尼亞的老師波韋爾和巴比爾那樣，這就更有利于他們的轉(zhuǎn)化；而不應(yīng)對(duì)他們采取冷漠甚至歧視挖苦、諷刺打擊的態(tài)度，否則會(huì)使他們心灰意冷，難于改弦易轍，走上光明之路。而有劣跡的青少年本人，則應(yīng)及時(shí)調(diào)整自己的心態(tài)，坦然面對(duì)缺點(diǎn)、改正錯(cuò)誤，用自己堅(jiān)持不懈的努力說明自己確已舊貌換新顏，以取得人們的諒解而便于得到關(guān)愛，走向新生；而不應(yīng)自暴自棄，甚至破罐破摔，在錯(cuò)誤的道路上越走越遠(yuǎn)，最終不但會(huì)危害社會(huì)，還會(huì)毀了自己的一生乃至家庭。

退著走路的科學(xué)家

每年12月10日，都有幾位諾貝爾獎(jiǎng)得主要從瑞典國王手中接過諾貝爾金質(zhì)獎(jiǎng)?wù)隆⒆C書和資金，然后按照禮節(jié)，倒退著走路回到自己的座位上來。

倒退著走路這一禮節(jié)并不只限于瑞典，在德國也是這樣。倫琴也遇到過這個(gè)問題。

1895年11月8日，倫琴發(fā)現(xiàn)了X光，在次年公開后，引起了極大的轟動(dòng)。幾個(gè)月中，倫琴收到來自世界各地的講學(xué)邀請(qǐng)。但他要繼續(xù)研究X光，于是只好婉言謝絕邀請(qǐng)并致歉意，但無法拒絕德皇威廉二世的邀請(qǐng)。1896年1月13日傍晚，他到柏林皇宮去為皇帝及大臣作X光的表演。

除了X光的演示和講演外，還同皇帝一起進(jìn)了晚餐，接受了一枚普魯士二級(jí)王冠勛章。離去時(shí)退著走路，一直到走出王宮。倫琴退著走路還算順利，因?yàn)樗虑爸肋@個(gè)規(guī)矩，作了練習(xí)。這一練習(xí)在1901年獲諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)時(shí)又一次派上了用場(chǎng)。

可是，對(duì)其他人來說，就不那么順利了。

倫琴有兩位同胞，一位是大有機(jī)化學(xué)家威爾斯泰特（1872～1942），另一位是大化工專家哈伯（1868～1934）。前者在20世紀(jì)初研究葉綠素a、葉綠素b和黃色素的結(jié)構(gòu)，取得了重大成就——1926年，終于發(fā)現(xiàn)葉綠素a、葉綠素b都是鎂的化合物。后者則在1909年報(bào)道了他用鋨催化劑得到的濃度為6%～8%的氨的成果，成為具有實(shí)用價(jià)值合成氨工藝的轉(zhuǎn)折點(diǎn)。他們作出這些成績(jī)后，也期待著有朝一日皇帝會(huì)像邀請(qǐng)倫琴那樣，邀請(qǐng)他們。于是他們便經(jīng)常練習(xí)倒退著走路。

不順利的是威爾斯泰特。他是一位精致瓷器的愛好者、收藏者。兩人就在威爾斯泰特放有一些昂貴瓷器的房間里練習(xí)倒走。結(jié)果，他們的練習(xí)以一只昂貴的瓷器被打碎而告終。可是，他們始終沒有受到皇帝的邀請(qǐng)。

不過，有趣的是，他們當(dāng)初的練習(xí)最終沒有白費(fèi)。1915年，威爾斯泰特因?qū)χ参锷兀绕涫侨~綠素的化學(xué)結(jié)構(gòu)等的研究，榮獲諾貝爾化學(xué)獎(jiǎng)。哈伯也在1918年因?qū)铣砂钡呢暙I(xiàn)獲同一獎(jiǎng)項(xiàng)。先后獲獎(jiǎng)那天，他們分別從瑞典國王手中接過獎(jiǎng)品，麻利地倒退著走回自己的座位。更為有趣的巧合是：1915年是一戰(zhàn)前最后一屆、1918年是一戰(zhàn)后第一屆頒獎(jiǎng)，這兩屆化學(xué)獎(jiǎng)都分別由德國人獨(dú)享。

π的命運(yùn)

稍有數(shù)學(xué)常識(shí)的人都知道，圓周率π是一個(gè)無限不循環(huán)小數(shù)——無理數(shù)，也是一個(gè)超越數(shù)。

在理論上說，可以把它計(jì)算到小數(shù)點(diǎn)后任意多位，但無法用一個(gè)有限數(shù)來表示它。

可是，歷史上卻不止一次發(fā)生過這樣的事，議會(huì)通過法律的形式，把π值規(guī)定為一個(gè)簡(jiǎn)單分?jǐn)?shù)、有限位的小數(shù)，甚至整數(shù)。

第一次發(fā)生在19世紀(jì)末葉的美國。一位名叫埃德溫·古德曼（Edwin JGooldman）的美國醫(yī)學(xué)博士，為了使印第安納州得到富裕，向該州眾議院介紹了“一個(gè)新的數(shù)學(xué)真理”，由于這個(gè)發(fā)現(xiàn)，這個(gè)州將會(huì)從王國那里得到好處。于是他為此擬出一個(gè)提案。這個(gè)提案的第二部分有下列內(nèi)容：發(fā)現(xiàn)第四個(gè)重要事實(shí)，即直徑與圓周之比等于5/4與4之比。由此可以看出，他的“數(shù)學(xué)真理”是π＝4∶（5/4），即π＝32。由于該州公共教育局長(zhǎng)對(duì)這一提案大力支持，所以該州眾議院于1897年2月5日一致通過了這個(gè)編號(hào)為246號(hào)的提案。接著，將它遞交給參議院的一個(gè)委員會(huì)。如果最終得到參議院的通過，該議案就將被實(shí)施。

似乎是“上帝”不愿“毀滅”人類，每次都在災(zāi)難之時(shí)派來救星。這次也不例外，上帝派來的救星是普爾都（Purdue）大學(xué)的教授瓦爾多（CAWaldo），他在忙別的事情時(shí)，偶然聽到一些人在議論這件事，他覺得很不對(duì)勁，于是決定介入。他在參議院表決前幾分鐘對(duì)此進(jìn)行干預(yù)，致使上述提案被擱置起來。當(dāng)然，此前一些報(bào)紙也對(duì)這一荒唐的事進(jìn)行了冷嘲熱諷，這也是這一提案被擱置起來的原因。

對(duì)上述事件，另有文獻(xiàn)說法不一。例如說，“法律應(yīng)該承認(rèn)π＝4”——而不是前述32。

還說，古德曼稱“順利解決了過去100多年里最優(yōu)秀的人才絞盡腦汁也無法解決的問題”，等等。由此可見，這一奇趣事件已引起許多媒體關(guān)注，以致在多次傳遞時(shí)發(fā)生了的失真。

上述荒唐事還不止一件，有文獻(xiàn)說，一個(gè)國家的議會(huì)企圖以法律的形式將π值定為3。

阿基米德的墓碑

許多名人在辭別人世后，后人為了表彰或紀(jì)念他們，或者遵照這些名人的遺愿，常為他們立下墓碑，碑上刻有銘文，有的還有圖形、公式等。

古希臘阿基米德被稱為“數(shù)學(xué)之神”。他在《論球和圓柱》一書中公布了他的一個(gè)有趣的發(fā)現(xiàn)：一個(gè)內(nèi)切于圓柱的球的體積和表面積，都分別是這個(gè)圓柱的2/3。他對(duì)這個(gè)發(fā)現(xiàn)極為欣賞，以至于希望在他死后的墓碑上刻下這個(gè)圖形。

約公元前265年，羅馬人征服了意大利半島，旋即向地中海其他地區(qū)擴(kuò)張。戰(zhàn)爭(zhēng)的結(jié)果是，公元前146年伽太基帝國滅亡。

在第二次布匿戰(zhàn)爭(zhēng)中，羅馬人于公元前215年進(jìn)攻阿基米德所在的敘拉古城。阿基米德以其天才的智慧和敘拉古人一起頑強(qiáng)地抵抗了三年，強(qiáng)大的羅馬軍團(tuán)付出了慘重的代價(jià)。最后因?yàn)榕淹降某鲑u和彈盡糧絕而兵敗城陷。這時(shí)，阿基米德正在思考一個(gè)數(shù)學(xué)問題，他是那樣全神貫注，以致沒有察覺敵人已來到面前。一個(gè)士兵舉起了屠刀……一代偉人就這樣慘死在暴徒之手。他臨終前還在憤怒地吼道：“不要弄壞我的圖形！”時(shí)間是公元前212年。

阿基米德死后，羅馬將領(lǐng)馬塞拉斯（約元前268～前208）得知了這一消息，他對(duì)這個(gè)難以制服的對(duì)手表示了欽佩和尊敬。不但把殺害阿基米德的那個(gè)士兵作為殺人犯來處決了，而且為阿基米德舉行了隆重的葬禮，并在墓碑上刻下阿基米德要求的那個(gè)圖形，還刻有銘文“再生乃故我”。

真有這個(gè)事嗎？真有這樣的墓碑嗎？當(dāng)時(shí)沒有人見過，許多人認(rèn)為這僅僅是一個(gè)傳說。

光陰似箭，歲月如流。100多年過去。羅馬政治家、雄辯家、哲學(xué)家西塞羅（公元前106～前43）在公元前75年任西西里總督。他還曾作為羅馬帝國的財(cái)稅官去敘拉古收過稅，由于他仰慕阿氏，便在此時(shí)專門去尋找阿氏的墓地。他找了很久，終于在荊棘叢生的雜草中找到了那塊墓碑，見到了那個(gè)圖形。于是他把荒蕪的墓地修葺一新。傳說被證實(shí)。

但是，年深日久，墓地隨歲月的流逝和戰(zhàn)爭(zhēng)的硝煙再次被廢棄。隨著城市的發(fā)展，這個(gè)著名的古跡似乎永遠(yuǎn)消失了。這是一個(gè)巨大的遺憾！

然而，奇跡出現(xiàn)了。在1965年，當(dāng)敘拉古一家新建的飯店挖掘地基時(shí)，鏟土機(jī)碰到了一塊墓碑。人們驚奇地發(fā)現(xiàn)，上面刻著一個(gè)球內(nèi)切于圓柱的圖形。這不是阿基米德的墓碑嗎？人們欣喜若狂。這真是“眾里尋她千百度，那人卻在燈火闌珊處”。

敘拉古人終于為他們這位空前絕后的偉人重建了塋墓：墳前立著那著名的石碑，碑上依然是那個(gè)阿基米德引為得意的圖形和銘文。

理發(fā)師引出的“危機(jī)”

理發(fā)師怎么會(huì)引出“危機(jī)”？GEB是什么？?jī)烧咧g又怎么會(huì)有關(guān)系呢？

相傳在很早以前的一個(gè)村莊里，只有一個(gè)理發(fā)師，他規(guī)定只替而且一定替不給自己理發(fā)的人理發(fā)。這就引出一個(gè)問題：他該不該給自己理發(fā)？或者問：他的頭發(fā)應(yīng)由誰理？

要是他給自己理發(fā)，那么他就違反了自己的規(guī)定，因?yàn)榘匆?guī)定，他不應(yīng)該為自己理發(fā)；要是他不給自己理發(fā)，他也違反了自己的規(guī)定，因?yàn)榘匆?guī)定，他一定得給自己不理發(fā)的人理發(fā)，所以他也得給自己理發(fā)。理發(fā)師犯難了：他不論怎么做都“自己打自己的耳光”。

在邏輯學(xué)中，如果承認(rèn)某一命題是真的，但它又是假的；如果承認(rèn)它是假的，但它又是真的。這樣的命題叫“悖論”或“佯謬”。上面這個(gè)故事被稱為“理發(fā)師悖論”。

1901年6月，英國數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家羅素（1872～1970）發(fā)現(xiàn)了后人以他的名字命名的“羅素悖論”，這是集合論中的一個(gè)悖論，所以又叫“集合悖論”。它的基本內(nèi)容是：如果把所有集合分為甲、乙兩類，甲類可以把自身作為自己的元素，乙類不可以把自身作為自己的元素；那么，所有的乙類集合的集合是甲類還是乙類呢？如果說所有的乙類集合的集合屬于甲類，由于甲類可以把自身作為自己的元素，那么乙類集合的集合應(yīng)屬于乙類。如果說所有的乙類集合的集合屬于乙類，那么它顯然可以納入所有的乙類集合的集合之中，這樣它又符合甲類要求而屬于甲類了。由此看來，所有的乙類集合的集合既是甲類又非甲類，既是乙類又非乙類，于是造成了不可克服的邏輯矛盾。1918年，羅素把這個(gè)較為高深的集合論中的悖論通俗地解釋為前述“理發(fā)師悖論”，所以許多文獻(xiàn)把這兩個(gè)悖論相提并論，其本質(zhì)都是，使邏輯陷入一種無法擺脫的“怪圈”。

那么，“理發(fā)師悖論”又怎么會(huì)引發(fā)危機(jī)呢？它的確引出了“危機(jī)”——“第三次數(shù)學(xué)危機(jī)”。集合論中存在著不可克服的邏輯矛盾，從根本上危及整個(gè)數(shù)學(xué)體系的確定性和嚴(yán)格性，這怎么不是“危機(jī)”呢？

不過，這里有一個(gè)很重要的歷史背景，就是，為什么這次危機(jī)不早不晚，正好在20世紀(jì)初即“羅素悖論”提出時(shí)就到來了呢？

它似乎是可以早些到來的，因?yàn)闅v史上的數(shù)學(xué)悖論早已發(fā)現(xiàn)且不計(jì)其數(shù)。例如，古希臘時(shí)代歐布利德或古羅馬哲學(xué)家、政治家西塞羅（公元前106～前43）的“谷堆悖論”，德國哲學(xué)家黑格爾的“禿頭悖論”，意大利伽利略的“自然數(shù)等于完全平方數(shù)悖論”，德國數(shù)學(xué)家施瓦茲（1843～1921）在1880年提出的“施瓦茲悖論”。這些悖論沒有能引起“危機(jī)”的原因在于，數(shù)學(xué)家們對(duì)自己不夠自信，因?yàn)轭愃啤般Ｕ摗边@類問題，在數(shù)學(xué)中比比皆是，不值得一提。沒有引起“危機(jī)”的第二個(gè)原因在于，其中有的悖論已被“克服”，既已克服，便不存在“危機(jī)”。例如古希臘數(shù)學(xué)家芝諾（約公元前496～前429）提出的四個(gè)悖論——其一是眾所周知的古希臘神話中善跑的英雄阿基里斯永遠(yuǎn)追不上烏龜?shù)你Ｕ摚?9世紀(jì)已經(jīng)得到解決；有的則未能引起足夠的注意。因此在20世紀(jì)之前，這一“危機(jī)”沒有到來。

1874年，德國康托在《克列爾雜志》上發(fā)表了《論所有實(shí)代數(shù)數(shù)集合的一個(gè)性質(zhì)》的論文，它標(biāo)志著集合論的誕生。集合論的創(chuàng)立，顛倒了許多前人的想法，與傳統(tǒng)數(shù)學(xué)觀念相沖突，因此一開始就遭到反對(duì)者的指責(zé)。但在1897年第一次國際數(shù)學(xué)家大會(huì)在瑞士蘇黎世召開時(shí)，德國數(shù)學(xué)家赫爾維茨（1859～1919）和法國數(shù)學(xué)家阿達(dá)馬（1865～1963）就充分肯定了康托的理論在分析學(xué)中的重要地位，最終導(dǎo)致集合論被公認(rèn)。此外，“皮亞諾算術(shù)公理系統(tǒng)”的出現(xiàn)，自然數(shù)理論被歸結(jié)為一組不加定義的概念和幾條有關(guān)的公理，算術(shù)理論公理化了。這樣，數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)就放在集合論之上了。

這樣，在19世紀(jì)后半葉，數(shù)學(xué)家們開始陶醉了：數(shù)學(xué)基礎(chǔ)已牢固無比，數(shù)學(xué)的嚴(yán)密性已達(dá)到。不過，幾乎同時(shí)，一些事也使數(shù)學(xué)家們不那么“陶醉”：1897年，意大利數(shù)學(xué)家布拉利·福蒂（1861～1931）提出了以他名字命名的悖論；1899年，康托也提出“最大基數(shù)悖論”和“最大序數(shù)悖論”。這些集合論中的悖論也沒有得到解決，一些人心中也產(chǎn)生了困惑。

然而，這些并沒能阻止人們的自信。1900年在巴黎召開的第二次國際數(shù)學(xué)家大會(huì)上，法國著名數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家龐加萊（1854～1912）就宣稱：“現(xiàn)在，我們能說（數(shù)學(xué)）完全的嚴(yán)格性已經(jīng)到來了。”接著便是前述“羅素悖論”和“第三次數(shù)學(xué)危機(jī)”的出現(xiàn)。

由此可見，“第三次數(shù)學(xué)危機(jī)”是在人們誤以為數(shù)學(xué)基礎(chǔ)已經(jīng)牢固，因而盲目樂觀，但接著就遇到無法克服的“悖論”時(shí)思想準(zhǔn)備不足而必然產(chǎn)生的。

不過，“第三次數(shù)學(xué)危機(jī)”的出現(xiàn)雖然使西方數(shù)學(xué)界、哲學(xué)界、邏輯界產(chǎn)生震驚，但并未使他們方寸大亂。因?yàn)槿藗円呀?jīng)有前兩次“危機(jī)”的歷史“經(jīng)驗(yàn)”。于是他們?yōu)橄@一危機(jī)進(jìn)行了至今仍在繼續(xù)的努力。但在20世紀(jì)前30年是他們投入最多、辯論最激烈的時(shí)期，因而許多重大成果相繼產(chǎn)生。其中成果之一便是三大數(shù)學(xué)流派——邏輯主義、直覺主義、形式主義的誕生。

1931年，奧地利數(shù)學(xué)家哥德爾（1906～1972）發(fā)表了《論“數(shù)學(xué)原理”和有關(guān)體系的形式不可判定命題》的論文，給出了兩個(gè)“不完備定理”，這是“數(shù)學(xué)和邏輯基礎(chǔ)方面?zhèn)ゴ蟮膭潟r(shí)代的貢獻(xiàn)”。哥德爾第一定理推翻了數(shù)學(xué)的所有領(lǐng)域能被完全公理化這一強(qiáng)烈的信念；而第二定理則摧毀了沿著希爾伯特等人設(shè)想過的路線證明數(shù)學(xué)內(nèi)部相容性的全部希望。從此，前述三大數(shù)學(xué)流派為克服“危機(jī)”、尋找可靠數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的努力全部化為泡影！于是，數(shù)學(xué)家們?cè)俅蜗萑肜Щ螅藗冊(cè)诶Щ笾醒刂煌陚涠ɡ磉@一指路明燈進(jìn)入新一輪的思考和探索。

不完備定理表明，任何所謂嚴(yán)密形式體系都不是天衣無縫的，沒有哪個(gè)重要的部門能保證自己沒有內(nèi)在矛盾，人的智慧源泉不能被完全公理化；新的證明原則等待我們?nèi)グl(fā)現(xiàn)或發(fā)明，某些被認(rèn)可的數(shù)學(xué)哲學(xué)應(yīng)重新評(píng)價(jià)，其中有的會(huì)被更新或廢棄。這種認(rèn)識(shí)論上的飛躍為我們開拓了廣闊的視野。