■指數型增長的數學原理

取很大一塊布，把它對折一下，這樣它的厚度就增加了一倍。再對折一下，厚度就變成了4倍。再對折，對折四次，現在它的厚度就變成了原來的16倍，大約會有1厘米或0.4英寸厚。

如果你照此再繼續(xù)折疊這塊布29次，即總共折疊33次，你想象一下會變成多厚？不到1英尺？1英尺～10英尺之間？還是10英尺～1英里之間？

當然你不可能把一塊布連續(xù)對折33次。如果你能做到，這卷布的長度一定能從波士頓鋪到法蘭克福，也就是3400英里或約5400公里。

指數型增長，也就是翻倍、翻倍、再翻倍的過程，是非常令人驚奇的，它能如此之快地產生如此巨大的數字。數量的指數型增長很容易愚弄我們，我們大多數人都以為增長是一個線性的過程。一個數量呈“線性”增長是指“在每一個給定的時間段里增加一個固定的數量”。如果一個建筑隊每周鋪設1英里高速路，那么這條路是呈線性增長的。如果一個孩子每年往儲錢罐里放7美元，那么他的儲蓄也是線性增加的。新增的鋪好瀝青的路面的長度不受已經鋪好的路面長度的影響，每年新增的儲蓄量也不受罐里已有多少錢的影響。如果一個變量呈線性增長，那么在給定的一個時間段里它增加的量總是一樣的，它不依賴于該變量已經積累了多少。

當一個數量以其已有的一個比例增加時，它就是呈指數型增長的。一個母細胞群以每10分鐘一個細胞分裂為兩個細胞的速度繁殖時，它就是呈指數型增長的。對每一個細胞來說，10分鐘后它就由一個變成了兩個。再過10分鐘就變成了4個，再過10分鐘就變成了8個，然后16個，等等。母細胞群的數量越多，每段時間產生的新細胞就越多。一個公司如果能每年都成功地使其總銷量以一個固定的百分比增加，那么它也呈指數型增長。當一個變量呈指數型增長時，其每個時間段的增加量都會比上一個時間段有所提高。它依賴于該變量已經積累了多少。

線性增長和指數型增長的最大區(qū)別，我們可以用100美元的兩條不同增值途徑來舉例說明：你可以把錢放在銀行賬戶里來獲得利息，你也可以把錢放在罐子里每年增加一個固定的數目。如果你在銀行里存放100美元，每年可以得到7%的利息，并每年計算復利，讓得到的利息收入也在這個賬戶里累積，那么你投入的錢就會呈指數型增長。每年你的錢在原有的基礎上都會增加一個數額，增加的比例是固定的，每年都是7%，但每年增加的絕對額是不斷提高的。第1年年底的增加額是7美元，第2年的利息是107美元的7%，也就是7.49美元，那么到第3年年初的賬戶總額就是114.49美元。再過一年的利息是8.01美元，總額將增加到122.5美元。到第10年年末，你的賬戶就增加到了196.72美元。

如果你把100美元放在罐子里，每年增加7美元，那么這個錢就呈線性增長。在第1年的年末，罐子里的錢也是107美元，跟放在銀行賬戶里是一樣的。但在第10年年末，罐子里的錢是170美元，比放在銀行賬戶里增值要少，但也不是少得很多。

起初，兩種儲蓄策略看來會產生非常相似的結果，但持續(xù)的指數型積累的指數效應最終變得非常明顯（見圖2-3）。20年以后，罐子里的錢是240美元，而銀行賬戶里的錢卻達到將近400美元。在第30年年末，儲蓄在罐子里的錢呈線性增長將達到310美元，而儲蓄在銀行賬戶的錢，以每年7%的速度增長，將超過761美元。因此，在30年的時間里，每年7%的指數型增長產生了超過線性增長2倍的結果，盡管開始時是同樣多的儲蓄。在第50年年末，銀行賬戶里的錢將比存放在罐子里的錢高出6.5倍，幾乎多出2500美元。

圖2-3 儲蓄的線性增長與指數型增長的比較

注：如果一個人放100美元在罐子里并且每年增加7美元，儲蓄將呈線性增長，如圖中的虛線所示。如果一個人存放100美元在銀行里并以每年7%計息，那么這100美元將呈指數型增長，在10年的時間里會翻一番。

指數型增長所帶來的意想不到的結果已經讓人們著迷了幾個世紀。一個波斯傳說講述了這樣的故事。一個聰明的大臣獻給國王一個漂亮的棋盤，他請求國王這樣跟他交換：在棋盤的第1個格子里放一粒大米，在第2個格子里放2粒大米，在第3個格子里放4粒大米，以此類推。國王同意了，命令從他的糧倉里取出大米。棋盤的第4個格子需要放8粒大米，第10個格子需要放512粒大米，第15個格子需要放16384粒大米，而第21個格子里需要給這個大臣放上不止100萬粒大米。到第41個格子，需要放上1萬億（10¹²）粒大米。照這么個放法是無法繼續(xù)到放滿64個格子的，因為所需數量比當時全世界所有的大米還要多！

一個法國謎語給出了指數型增長的另一面：顯示一個呈指數型增長的數量會突然達到一個固定的極限。假設你擁有一個池塘，一天你注意到池塘里長出了一株荷花。你知道這種荷花的大小每天都會增加一倍。你意識到如果任由這種植物生長，它會在30天內完全覆蓋整池塘，會使水中的所有其他生命種類窒息而死。但起初這種荷花看起來很小，所以你決定不必擔心，你將在它覆蓋了一半池塘時再來處理它。你知道你給了自己多少時間來防止你的池塘遭到破壞嗎？

你只給自己留了一天的時間！在第29天這個池塘被覆蓋了一半。第二天，最后一次翻倍之后，這個池塘就被全部遮住了。開始時，看起來推遲到池塘被覆蓋了一半時再采取行動是很合理的。在第21天，這種植物只覆蓋了池塘的0.2%；在第25天，也只覆蓋了池塘3%。但是，再等下去，就只有一天的時間容許你拯救你的池塘。

從這個例子你可以看出，在反應滯后的情況下，指數型增長就會導致過沖。在很長一段時間增長看起來不是那么顯著，也沒什么問題。突然，變化速度變得越來越快，當你最后一兩分鐘還在遲疑的時候，已經沒有時間做出反應了。池塘最后一天發(fā)生的明顯危機并不是由于進展過程中的某些變化引起的，荷花的百分比增長速度在這一個月中都保持絕對穩(wěn)定。然而，這種指數型增長的積累會突然產生出無法控制的問題。

你個人也可以體驗到這種從不明顯到超量的突然變化。設想你在一個月的第1天吃1粒花生，第2天吃2粒，第3天吃4粒，以此類推。起初你只需購買并消費非常少量的食物，但離這個月底還有很多天時，你的銀行賬戶和你的健康都已經受到了嚴重影響。以這種每天翻一倍的速度，你能維持這種呈指數型增長的食物攝取量到多久？在第10天你要消費差不多1磅重的花生，但到這個月的最后一天，這種每增加一天就要成倍增加消費量的政策將迫使你購買并吃掉500噸花生！

其實這種吃花生的試驗不會真正帶來嚴重的危害，因為到某一天你不可能吃下一大堆花生時你就會簡單地選擇退出。在這個例子中，在你感覺到已經吃飽和你采取行動之間沒有明顯的滯后。

表2-1 倍增的時間

一個單純依照指數型增長公式增長的數量會在一個固定的時間段里倍增。真菌繁衍，其倍增的時間是10秒鐘；存在銀行的錢，按7%的年利率，其倍增的時間大約是10年；蓮屬植物和吃花生試驗，其倍增的時間是恰好1天。在百分比增長率和倍增的時間之間存在一個簡單的數量關系，倍增的時間大約等于72除以這個百分比增長率，如表2-1所示。

表2-2 尼日利亞的人口增長

我們可以用尼日利亞的例子來說明持續(xù)倍增的后果。尼日利亞在1950年時的人口大約是3600萬，到2000年其人口為大約1.25億。在20世紀的后50年中，尼日利亞的人口翻了將近2番。據報道2000年其人口增長率是2.5%，那么相應的倍增時間就是72除以2.5，或者說是大約29年。如果未來這種人口增長速度保持不變，尼日利亞的人口數量將按照表2-2給出的路徑增長。

一個2000年出生的尼日利亞孩子進入的是4倍于1950年時的人口。如果這個國家的人口出生率在2000之后保持不變，那么當這個孩子活到87歲時，她將看到人口數量又翻了3番。到21世紀后期，尼日利亞人是2000年時的8倍，是1950年時的28倍。將有10億人生活在尼日利亞！

尼日利亞是一個正遭受饑荒和環(huán)境破壞的國家，顯然其人口不可能再擴張8倍。我們進行表2-2中所示的這種計算的惟一目的，是說明倍增的速度并證明“在一個資源有限的有限星球上指數型增長是永遠不可能長期持續(xù)的”。

那么，為什么這種增長現在正在我們這個世界上進行呢？什么可能讓它停止呢？