一、疊加原理

這是量子力學的第一性原理，是量子世界與經典世界最根本的區別。

1.核心思想

一個量子系統（如一個電子、光子等）在未被測量時，可以同時處于多個可能狀態的線性組合中。這個組合狀態稱為疊加態。

經典世界：一個開關，要么是“開”（狀態A），要么是“關”（狀態B）。

量子世界：一個開關，在你看它之前，它處于一種“既是開又是關”的疊加狀態。只有當你測量它時，它才會以一定的概率隨機“坍縮”到“開”或“關”的確定狀態。

2.數學表達：波函數

量子系統的狀態用波函數ψ描述。波函數本身沒有直接的物理意義，但其絕對值的平方|ψ|2代表了在某個位置找到該粒子的概率密度。

如果粒子可能處于狀態ψ?和狀態ψ?，那么它的總波函數可以寫成：

ψ= c?ψ?+ c?ψ?

其中 c?和 c?是概率幅，是復數。

c?|2表示測量時發現粒子處于狀態ψ?的概率。

c?|2表示測量時發現粒子處于狀態ψ?的概率。

總概率必須為1，所以|c?|2+|c?|2= 1。

最著名的例子：薛定諤的貓

貓被想象成處于“死”和“活”的疊加態，直到打開箱子進行觀測，波函數坍縮，貓才隨機地變為一個確定的狀態。

二、勢壘（勢壁）

這是一個在量子力學中常用的模型，用來研究粒子在遇到障礙物時的行為。

1.物理圖景

想象一個粒子朝著一個“山丘”運動。這個山丘就是一個勢壘。

在經典力學中：如果粒子的總能量 E小于勢壘的高度 V?，粒子絕對無法翻過山丘，會被100%反彈回來。

在量子力學中：情況截然不同。

2.數學建模

我們通常用一維有限方勢壘來簡化問題：

區域 I (x < 0)：勢能 V = 0。粒子以能量E入射。

區域 II (0≤ x≤ a)：勢能 V = V?（一個常數），且 E < V?。這是勢壘本身。

區域 III (x > a)：勢能 V = 0。

我們需要求解定態薛定諤方程來找出粒子在所有區域的波函數行為。

三、疊加原理與勢壘的解析：量子隧穿效應

當我們將疊加原理應用到粒子撞擊勢壘的場景時，就會得到神奇的量子隧穿效應。

1.波函數的行為

通過求解薛定諤方程，我們發現：

區域 I：波函數包括入射波和反射波（粒子被勢壘反射的部分）。|反射波振幅|2就是反射概率 R。

區域 II：當 E < V?時，波函數不是零，而是一個指數衰減的函數（ψ∝ e^(-κx)）。這意味著粒子波函數穿透進了勢壘內部。

區域 III：由于區域II的波函數在x=a處沒有衰減到零，因此在區域III會有一個透射波。|透射波振幅|2就是隧穿概率 T。

2.量子隧穿

盡管粒子的總能量 E小于勢壘高度 V?，但它在區域III的波函數不為零。這意味著粒子有一定的概率像穿山甲一樣“穿過”或者說“隧穿”這個在經典力學中不可逾越的壁壘，突然出現在另一邊。

隧穿概率 T公式（對于高而寬的勢壘）：

T∝ e^(-2κa)

其中，

κ=√[2m(V?- E)]/?（衰減系數）

m是粒子質量

a是勢壘寬度

?是約化普朗克常數

3.關鍵結論

概率性：隧穿是一個概率事件。對于完全相同的粒子，有些會隧穿過去，有些會被反射回來。這是疊加原理的直接結果——粒子波函數是“被反射”和“被透射”兩種可能性的疊加，測量時隨機坍縮到其中一個結果。

對參數極度敏感：

質量(m)：粒子質量越小，越容易隧穿（電子比質子容易隧穿）。

能量(E)：粒子能量越高，越容易隧穿（E越接近V?，T越大）。

勢壘寬度(a)：勢壘越薄，越容易隧穿。T隨寬度指數衰減，這是為什么宏觀物體看不到隧穿效應——因為概率低到可以忽略。

勢壘高度(V?)：勢壘越高，越難隧穿。

四、實際應用

量子隧穿不是理論游戲，它有極其重要的現實應用：

掃描隧道顯微鏡：利用電子隧穿效應，通過測量隧穿電流，可以在原子尺度上“看見”并操縱物質表面。這是納米技術的基石。

核聚變：太陽之所以能發光，是因為質子之間的核聚變。但根據經典物理，質子間的庫侖斥力勢壘高到它們根本無法靠近。是量子隧穿效應使得質子有機會穿透斥力勢壘，發生聚變，從而點燃了恒星。

半導體電子學：Flash內存、隧道二極管等器件的核心工作原理就是電子隧穿。

放射性衰變：α衰變就是α粒子通過隧穿效應從原子核的勢阱中“逃逸”出來。

總結

疊加原理告訴我們，粒子可以同時存在于“被反射”和“被透射”的疊加態中。

當這種疊加態遇到一個勢壘時，薛定諤方程的解表明，粒子的波函數會指數衰減地穿透勢壘。

這意味著粒子有一個非零的概率直接出現在勢壘的另一側，這就是量子隧穿效應。

隧穿概率對粒子質量、勢壘高度和寬度極度敏感。

這一效應是許多現代技術和自然現象（從STM到太陽發光）的物理基礎。