5.5　利用光學來求測地線

本節將利用物理學觀點（特別是光學觀點）8來解釋雙曲幾何模型中的測地線為什么在貝爾特拉米 - 龐加萊半平面上是半圓形的。我們的靈感來自于 1662 年發現的費馬原理9

8這種方法似乎并不廣為人知。感謝謝爾蓋 · 塔巴奇尼科夫向我指出：先前是金迪金發表了這個方法（Gindikin, 2007, 第 324 頁）。使用費馬原理來求解極小化問題（即尋找使某些量最小化的路徑）的基本思想可以追溯到 1697 年約翰 · 伯努利對捷線問題（又稱最速降線問題）的解。

9首先，這就是那個著名的皮埃爾 · 德 · 費馬（1601—1665）發現的，他因數論發現（包括費馬大定理）而聞名于世。其次，費曼發現，這個原理有一個完美的量子力學解釋，關于這一點的精辟論述見 Feynman (1985)。［理查德 · 菲利普斯 · 費曼（1918—1988），美籍猶太物理學家，量子領域的開拓者之一，1965 年諾貝爾物理學獎得主。費曼多才多藝（例如破解瑪雅象形文字，他還是優雅的舞蹈者和手鼓演奏者），特別善于用深入淺出的語言表達復雜的原理，用巧妙的類比解釋深刻的物理思想。費曼曾獲得很多獎項和頭銜，他自己特別看重的是 1972 年獲得的奧斯特教育獎章。他的講課錄音被整理成《費曼物理學講義》（Feynman et al., 1963），成為經典。——譯者注］

我們將從牛頓式推理10開始對物理學進行短暫的探索，看看如何通過對費馬原理的幾何分析來解釋當光線從空氣進入水中時為什么會突然彎折（稱為折射）。這解釋了為什么［練習］當你把勺子放入一杯茶時它看起來是彎折的。

10我們意識到，在這里，我們只是重走了一遍費曼走過的路，見 Feynman et al. (1963, 第 1 卷, 26-3 節)，我們為此感到榮幸。費馬先給出解析證明，后來又給出幾何證明，但都不如現在的牛頓式論證優雅。費馬的兩個證明可以在 Mahoney (1994, 第 399-401 頁) 找到。

在圖 5-6 中，一束光線從 點出發，以與鉛垂線夾角為 的方向，在空氣中以速度 傳播，并到達水面上的 點。然后，光線被折射成與鉛垂線夾角為 的方向在水中繼續傳播，速度降低為 ，最后到達水中的 點。早在公元 130 年，托勒密就做過這樣的實驗，并且編制了一張相當精確的角度 和 對照表。但是，托勒密沒有弄清楚這兩個角度之間的精確數學關系，在接下來的幾個世紀里，科學家們也一直沒弄清楚這個關系。

最后，荷蘭數學家維勒布羅德 · 斯涅爾（1580—1626）在 1621 年發現了正確的規律，現在普遍稱為斯涅爾定律11：

11和往常一樣，歷史遠比從名字上看到的情況復雜得多。前面提到過的托馬斯 · 哈里奧特比斯涅爾早近 20 年發現了這個定律，但是，與哈里奧特的絕大部分發現沒有公開一樣，這個定律的發現也沒有公開，他僅寫信告訴了開普勒。然而，這次就連哈里奧特也被打敗了——被打敗了 600 多年！伊斯蘭數學家和物理學家伊本 · 薩爾在公元 984 年發表了這一理論，甚至用它來設計復雜的合成透鏡。

這個 值（稱為折射率）依賴于界面兩邊的物質，對于空氣/水界面，。

為什么光線會在界面處發生彎折，至少在定性上利用費馬原理可以說得清楚。如果光線沿直線從 走到 ，那么它就會浪費寶貴的時間在水中相對緩慢地傳播，而不是在空氣中快速傳播。12定量地說，當時間（關于位置 ）的導數為零時，就會出現使傳播時間最小化所需的彎折量。

12光在空氣中的傳播速度快，在水中的傳播速度慢。從空氣中的 點到水中的 點，走直線在水中的路線比走折線在水中的路線長，于是用時較多。——譯者注

從幾何角度來看，如果 的位置使得光線傳播耗時最小，那么，當 點發生無限小的位移 時，耗時（關于一階的 ）應該不會變化。但是，正如我們在圖 5-6 中看到的，這個位移導致光在空氣中傳播的路線增加了一段，增加的一段長度最終等于 ，因此多耗時 。此外，光在水中傳播的路線縮短了，減少的耗時最終等于 。因為耗時的凈變化為 ，所以這兩個單獨的耗時變化必須相等。因此，消除 后，

這不僅證明了斯涅爾定律 (5.10)，而且做出了一個物理預測，這個預測在直接實驗中得到了證實：折射率是兩種材料中的光速之比，。

如圖 5-7 所示，假設水在一個玻璃杯的底部。光線從空氣中出發，穿過水層，到達杯子底部的玻璃內，會如何彎折呢？假設光線在玻璃內的傳播速度為 ，就有同樣的定律

更一般地，如果我們有一個 層的復合材料，水平鋪設的每一層單質都很薄，光在第 層單質的傳播速度為 ，則光在復合材料中的傳播服從定律：

常數

更進一步，想象光通過一塊非均質材料，其密度在每一個水平面 常數 上都是相同的，并且隨著 連續變化。在高度 處的光速為 ，在高度 處的光線入射角為 （與界面法線的夾角）。那么，廣義斯涅爾定律是

你可能會說：這些都很有趣，但這和證明雙曲平面中的測地線都是半圓周有什么關系？！好吧，現在回頭再看看圖 5-5，假設偽球面上的點 和 對應于雙曲平面 上的點 和 。想象一個質點沿著偽球面上的不同路徑，以恒定不變的速度（比如 ）從 運動到 。質點在偽球面上的這些運行路徑在雙曲平面上也有對應的從 到 的路徑，但質點的速度不均勻：從圖 5-5 可以看到，如果質點在偽球面上以恒定的速度向下移動，雙曲平面上對應像點的移動會減慢。

關鍵在于地圖是共形的，所以速度減慢只取決于質點所在的位置，而與質點的運動方向無關。假設我們以單位速率從 點向四面八方發射出大量的質點，在無窮小時間 后，這些質點在偽球面上會形成一個圓心為 、半徑為 的圓圈。由模型 (5.8) 可知，這個圓圈在雙曲平面上的像是一個圓心為 、半徑為 的圓圈，其中 是的 高度。換句話說，從點 射出的質點速度為 ：離天際線越近，質點速度越慢。

質點在偽球面上從 到 的任意路線上花費的時間當然與在雙曲平面上從 到 的對應路線上花費的時間是相同的。偽球面的測地路徑是兩點之間的最短路線，也是耗時最少的路線，所以，雙曲平面上的測地線也是從 到 的最快路線：雙曲平面上沿測地線的運動當然服從費馬原理，所以雙曲平面上測地線的形狀由廣義斯涅爾定律決定！將 代入式 (5.12)，在圖 5-8 中答案就清晰可見了：

在 11.7.5 節，我們還要給出這個重要事實（基于角動量）的第二個物理解釋。