5.4　貝爾特拉米 - 龐加萊半平面

我們現在有一個類圓柱形、有邊緣的偽球面共形地圖：。為了創造無限雙曲平面地圖，貝爾特拉米知道他必須去掉上面這兩個形容詞。注意，選擇不同的 ，雖然對幾何參數的定量是不同的，但對幾何性質的定性都是一樣的，所以做如下特定選擇不會有壞處：

如果有人希望從這個特例回到一般情形，只需要在特例（）的公式中插入一個合適的 的冪。例如，面積公式要乘以 。

為了去掉“類圓柱形的”這個形容詞，想象一下，用一個（半徑為 1 的）標準圓柱形油漆滾筒刷墻。在滾筒滾動一圈之后，你在墻上刷了一個寬度為 的帶形區域，滾筒表面的每一個點都被映射到墻上這個帶形區域內的一個特定點。要粉刷整面墻，只需繼續滾動這個油漆滾筒即可！現在，假設我們的油漆滾筒采用偽球面的形式。為了讓它適合平坦的墻面，必須首先利用式 (5.5) 將偽球面拉伸成圓柱面6，然后就可以像之前一樣，繼續滾動油漆滾筒（假設水平滾動）。如果一個質點沿著墻面上的一條水平線移動，那么偽球面上對應的質點就會繞偽球面上的水平圓周（即 常數）轉一圈又一圈。這樣，“類圓柱形的”這個形容詞就被成功移除了。7現在我們有偽球面地圖 。

6式 (5.5) 是從偽球面到平面上（無限長的）矩形的映射，將圓柱面沿母線剪開，展開成平面就是一個矩形。——譯者注

7史迪威（Stillwell, 1996）指出，這可能是在數學里第一次使用這種方法。現在的拓撲學家稱之為萬有覆蓋。

下一個問題，處理偽球面的“邊緣”，同樣可以用共形地圖輕易解決。圖 5-5 的左邊是偽球面上的一個質點沿曳物線母線向下運動的圖像。當然，質點的路線在偽球面邊緣（）上的某一點 處被迫中斷， 對應著直線 上的點 。但在地圖上，點 和其他點一樣，質點可以毫無障礙地向下移動到 的點 處。這時，偽球面上的真實距離 仍由標準化雙曲度量給出：

為什么停在點 呢？答案是，質點永遠不會到達那么遠，因為在偽球面上， 和 距離無限遠！考慮圖 5-5 左邊所示，在直線 上直徑為 的小圓盤 。它在偽球面上的真實大小是 ，最終等于在直線 上 處觀察它的視角［練習］。現在想象 以穩定的速度沿偽球面向下移動，它在地圖中的表觀大小肯定會收縮，使得在點 處觀察它的視角不變。在地圖中，它到達 ，，……，一直向下移動！

假設圓盤 從 走到 用時為一個單位，則在下一個單位時間到達 ，然后到達 ，……，這些點間隔相同的雙曲距離：

因此，從地圖上看運動變慢了，圓盤 在每一個單位時間內只走過了它到 的一半距離。這樣， 永遠到不了 。（這種現象就是“芝諾悖論”，又稱“芝諾的報復”！）

最終，我們擁有如下具體模型。

實軸 上的每一個點到雙曲平面上每一個普通點的距離都是無限遠的，嚴格來說，直線 不是雙曲平面的一部分。直線 上的點稱為理想點（或無窮遠點）。整條直線 稱為天際線（或視界）。

盡管貝爾特拉米在 1868 年（比龐加萊早 14 年）就發現了這張地圖，但它現在被普遍稱為龐加萊半平面。然而，為了恢復歷史平衡，我們固執地把這張地圖稱為貝爾特拉米 - 龐加萊半平面。

我們來更生動地解釋這張地圖的度量公式。圖 5-5 最右邊是一串縱向排列的圓盤，它們用雙曲度量的直徑是相等的，都等于 （即圖 5-4a 中偽球面上的那一串圓盤）。在它的左邊，我們用這樣的圓盤填滿了雙曲平面的其余部分，它們有相等的雙曲直徑 。因此，任何曲線的雙曲長度，即偽球面上曲線的真實長度，最終等于它所截圓盤的數量乘以 。這就清楚地表明，從 到 的最短路徑是截到最少圓盤的路徑，因此其近似的形狀如圖 5-5 所示。

如果你已經按照我們之前的建議制作了自己的偽球面模型，也可以通過在相似高度的兩點之間拉直一條細繩來觀察測地線的形狀。在不能拉直細繩緊貼模型表面的區域（例如沿著曳物線母線），你可以利用第 15 頁方法 (1.7) 介紹的膠帶法來試試，它在任何地方都有效。

我們的下一個任務是確認圖 5-5 所示的有趣事實：幾乎每一條測地線在地圖上的形狀都是一個與天際線成直角的完美半圓周。唯一不是這種形狀的測地線是曳物線母線，它們的形狀是縱向半直線，也可以看作半圓的半徑趨向無窮大的極限情況。