4.6　講一點兒可視化的復分析

即使我們將曲面 選為平面，討論平面到平面的共形映射，這也仍然是一個豐富而深刻的研究領域。需要強調的是，這些共形映射與復數錯綜復雜的糾纏關系是無法避免的，本節只準備進行簡單的介紹。（在這一幕的后面將給出更多具體的例子。）我的第一本書《復分析》中全面介紹了復分析中的精彩結果是如何從這個幾何的基礎性問題中產生的，在此冒昧地向你推薦它。

每個曲面 一定有共形地圖，而且是無窮多種共形地圖！我們首先要指出，為生成滿足度量公式 (4.14)

的共形 坐標系，特定的 曲線和與之正交的 曲線并不需要有什么獨特之處。

真正神奇的是共形映射 本身。給定一個共形映射 ，通過對復平面 上的 坐標網格做旋轉、伸縮和平移，就可以在曲面 上創建無窮多個不同的共形 坐標系，（利用映射 ）得到曲面 上全新的 曲線和與之正交的 曲線。 上這個全新的正交 坐標系與原先的坐標系一樣，也是共形的。

我們引入一些記號來充分解釋這一點。按照復分析中的慣例，可以認為 位于復平面 的一個副本上，它在復函數 下的像 位于復平面 的另一個副本上：

在我們剛剛討論過的例題里，有 ，它由拉伸（實數） 倍、旋轉（角度）、平移（復數） 組成。

將映射 與映射 復合，得到從復平面 到曲面 的新共形映射 。如果 沿著小復數 的方向移動距離 ，則它在第一個映射 的像從 出發，沿著 的方向移動距離 （其中 是 的像），顯然有

于是，距離 被拉伸 倍，所以 。接著，在第二個映射 的作用下（這時映射到曲面 上），距離 被拉伸 倍，其中 是共形度量因子。于是， 在復合映射 下的拉伸因子是這兩個拉伸因子的乘積：

　　　其中

這只勉強觸及了表面，為了解釋原因，我們簡單地引用復分析中的如下基本事實，詳情請參見《復分析》。你一定研究過一些有用的常見實函數，例如 。只要將自變量換成復數 ，每一個這樣的實函數 就能唯一延拓為復函數 。像之前一樣，可以把它想象成從一個復平面 到另一個復平面 的映射。復分析的神奇之處是，所有這些自然出現的映射 自動地都是共形的。

例如，圖 4-6 說明了平方映射

的作用，它將每個復數的模平方，輻角加倍。如你所見，左邊那些小“正方形”12變成右邊的相似“正方形”。當然，這兩組“正方形”只在收縮到一點時才是真正的正方形。同樣，左圖中黑色的 T 形越小，就與被映射到右圖中的 T 形像越相似。

12這個圖形在直角坐標系里不是嚴格的正方形，而是由兩段圓弧和兩條直線段為邊構成的四邊形，所以作者用引號加以區別。作者沒有用表示四邊形的單詞 quadrilateral 或 tetragon，而是用 square，因為這個單詞既有“正方形”的意思，又有“平方”的意思。——譯者注

為了看出這有多神奇，假設隨機寫下兩個實函數 和 （實變量 和 的函數），然后將它們強制合并成單一的復映射 。那么 根本不可能是共形的。我們將會看到，這也意味著導數 不可能存在！

我們重做一次之前的分析，但現在用導數 存在的一般映射 （稱為解析映射）替換線性函數。正如我們剛才指出的，解析映射非常罕見，但還是包括了從數學和物理學中自然產生的所有有用函數。

現在，與式 (4.17) 類似，我們有

主要的區別是，現在伸縮系數 和旋轉角 都依賴于位置 ，而不是在整個復平面 上不變。例如，在圖 4-6 中，我們可以看到網格左上角的白色“正方形”比下面毗連實軸的黑色“正方形”擴大得更多一些，所以 在黑色“正方形”內比在白色“正方形”內小。同樣，這個黑色“正方形”很明顯沒有旋轉，所以這里的 ，但白色“正方形”顯然必須經過旋轉才能得到它的像。

如果 ，由式 (4.18) 可知，每一個從點 出發的微小復箭頭 ，經過同樣的拉伸 和旋轉 ，都能得到從點 出發的像箭頭 。如圖 4-7 所示，從點 出發的兩個 之間的夾角，將與它們的像［從點 出發的兩個 ］之間的夾角相同。由此可知，可微復映射都是自動共形的。

我們知道導數 描述了共形映射的局部性質，并在《復分析》中引入了一些（非標準）術語來刻畫這個性質的幾何意義。我們稱局部拉伸因子 為伸縮，稱局部旋轉角度 為扭轉，稱伸縮和扭轉的組合（將原始圖形轉換為像）為伸扭。綜上，

在討論空間曲面上的共形度量公式之前，我們再次回到 ，演示如何借助圖 4-6 利用幾何方法推導出平方函數的伸扭。

考慮圖 4-6 中有一個頂點為 的白色“正方形”。它經過點 、輻角為 的徑向邊被映射為經過點 、輻角為 的徑向邊，即這條邊在映射作用下扭轉了角度 ，所以

扭轉

為了求出拉伸因子 ，注意白色“正方形”加黑的外邊（它最終等于經過點 、連接兩個白點的那段圓弧）。它對應的圓心角為 ，長度最終等于 。因為平方映射使得輻角加倍，所以這段弧的像（稱為像弧）對應的圓心角為 ，又因為像弧在半徑為 的圓周上，所以這段像弧的長度最終為 。因此，

于是，我們得到結論：

這個結果與實函數的結果 看起來完全一樣，但它包含的意義要多得多。

將這個幾何方法推廣到冪函數 ，不難得到 ［練習］。其他重要映射的伸扭也可以用純幾何的方法推導出來，詳情請參見《復分析》。

現在回到我們的主要關注點：曲面上的共形坐標。我們可以把簡單的線性函數重新放到極其豐富的可微（即共形）映射 里。再次定義從復平面 到曲面 的復合映射 ，新的度量公式為

只要有一個共形映射 ，任選一個解析映射 ，然后變換到 ，就可以構作從曲面 到自身的共形映射。為看清這一點，考慮作用在 上的復合映射

首先， 是從曲面 到復平面 的共形映射；其次， 將 共形映射到 ；最后， 將復平面 共形映射到曲面 。因為這三個映射都保持角度不變，所以復合映射也保持角度不變，從而復合映射 的確是共形的。

在下一節中，我們將遇到一個非常重要的例子，即球面 上的共形映射 。稍后，我們將用這個映射 ，經由映射 (4.20)，將球面 的旋轉變換表示為復函數［由式 (6.10) 給出］。這些旋轉變換不僅是共形的，而且是在球面上（保向）等距的。