1.4　曲面的內(nèi)蘊(yùn)幾何與外在幾何

我們稍后再來(lái)討論與這種拉直細(xì)繩來(lái)構(gòu)作“直線(xiàn)”的方法有關(guān)的數(shù)學(xué)。現(xiàn)在僅展示這種構(gòu)作方法可以很好地應(yīng)用于非球面，例如圖 1-9 所示的曲頸南瓜。

與在球面上一樣，我們?cè)谇i南瓜表面拉直一根細(xì)繩，找到兩點(diǎn)（例如 和 ）之間最短、最直的路徑。如果細(xì)繩可以自由滑動(dòng)，則細(xì)繩的張力可以確保生成的路徑盡可能短。注意：在兩點(diǎn)為 和 的情況下，我們必須想象細(xì)繩是在內(nèi)表面拉直的。

為了用統(tǒng)一的方式處理所有可能的點(diǎn)對(duì)，最好把表面想象成由兩個(gè)薄層組成，細(xì)繩在它們中間。然而這個(gè)想法只在想象的實(shí)驗(yàn)中有用，在實(shí)際情況下辦不到。我們將提供一種實(shí)用的方法來(lái)克服這個(gè)障礙，即使表面的彎曲方向16使得我們無(wú)法在外面用拉直的細(xì)繩緊貼，也可以在實(shí)際物體表面構(gòu)作這些最短、最直的曲線(xiàn)。

16即凹進(jìn)去的方向，例如圖 1-9 中 和 之間以及三角形 的情況?！g者注

曲面上的這些最短路徑相當(dāng)于平面上的直線(xiàn)，它們?cè)诒緯?shū)中起著至關(guān)重要的作用，稱(chēng)為測(cè)地線(xiàn)。使用這個(gè)新詞，我們可以說(shuō)平面上的測(cè)地線(xiàn)是直線(xiàn)，球面上的測(cè)地線(xiàn)是大圓。

但是，即使在球面上，用長(zhǎng)度最小化來(lái)定義“測(cè)地線(xiàn)”也是暫時(shí)的。顯然，對(duì)于任意兩個(gè)非對(duì)徑點(diǎn)，通過(guò)它們的大圓有兩段弧連接著這兩個(gè)點(diǎn)：短弧（這是最短路徑）和長(zhǎng)弧。然而，長(zhǎng)弧和短弧一樣，都是測(cè)地線(xiàn)。球面上的對(duì)徑點(diǎn)就更復(fù)雜了，它們可以由很多條測(cè)地線(xiàn)連接，而且，在更一般的曲面上也會(huì)出現(xiàn)測(cè)地線(xiàn)不唯一的情況。真正正確的說(shuō)法是，任意足夠接近的兩個(gè)點(diǎn)可以由唯一的測(cè)地線(xiàn)段連接，這就是它們之間的最短路徑。

就像平面上的線(xiàn)段可以在兩個(gè)方向上無(wú)限延伸一樣，測(cè)地線(xiàn)也可以在曲面上無(wú)限延伸，而且這種延伸是唯一的。例如，在圖 1-9 中，我們將連接黑點(diǎn)的短劃線(xiàn)表示的測(cè)地線(xiàn)段擴(kuò)展成連接白點(diǎn)的點(diǎn)虛線(xiàn)表示的測(cè)地線(xiàn)段。

因?yàn)殚L(zhǎng)度最小化是測(cè)地線(xiàn)的一個(gè)很微妙的特征，容易出錯(cuò)，所以我們稍后將以平直度為基礎(chǔ)，提供測(cè)地線(xiàn)僅限于局部的另一種特征。

有了前面的這些預(yù)先聲明，現(xiàn)在我們很清楚應(yīng)該如何定義曲面內(nèi)的距離了。例如，在圖 1-9 中，兩個(gè)足夠接近的點(diǎn) 和 之間的距離是連接它們的測(cè)地線(xiàn)段的長(zhǎng)度。

現(xiàn)在就可以在曲面上定義圓了。如圖 1-9 所示，“以 為圓心，以 為半徑的圓”定義為與定點(diǎn) 的距離為 的所有點(diǎn)的軌跡。我們可以拿一根長(zhǎng)度為 的細(xì)繩，將一端固定在點(diǎn) 上，然后拉緊細(xì)繩，拖著另一端緊貼著曲面轉(zhuǎn)一圈，這樣就得到一個(gè)測(cè)地線(xiàn)圓。與非歐幾何中三角形的內(nèi)角和不等于 一樣，測(cè)地線(xiàn)圓的周長(zhǎng)不再等于 。事實(shí)上，容易證明圖 1-9 中測(cè)地線(xiàn)圓的周長(zhǎng)小于 。

同樣，給定曲面上的三個(gè)點(diǎn)，可以用測(cè)地線(xiàn)將它們連接起來(lái)形成一個(gè)測(cè)地線(xiàn)三角形。圖 1-9 展示了兩個(gè)這樣的三角形： 和 。

? 看看 的三個(gè)內(nèi)角，很明顯它們的和大于 ，所以 ，類(lèi)似于球面幾何中的三角形。

? 的內(nèi)角和則明顯小于 ，所以 。正如我們將要解釋的那樣，這種情形類(lèi)似于雙曲幾何中的三角形。還請(qǐng)注意，如果我們?cè)谇i南瓜表面的這個(gè)鞍形部分上構(gòu)作一個(gè)圓，該圓的周長(zhǎng)會(huì)大于 。

測(cè)地線(xiàn)屬于曲面的內(nèi)蘊(yùn)幾何概念，這是高斯（Gauss, 1827）提出的一種全新的幾何觀點(diǎn)。它指的是生活在地表的微小、類(lèi)似螞蟻、有智慧（但是只能理解二維世界）的生物所知道的幾何結(jié)構(gòu)。正如我們討論過(guò)的，這些生物可以將連接兩個(gè)附近點(diǎn)的測(cè)地線(xiàn)定義為“直線(xiàn)”，即它們的世界（地表）中連接這兩個(gè)點(diǎn)的最短路徑。由此，它們還可以接著定義三角形，等等。以這種方式定義，很明顯，當(dāng)曲面在空間中被彎曲（就像一張紙可以彎曲一樣）成不同的形狀時(shí)，只要曲面內(nèi)的距離沒(méi)有以任何方式被拉伸或扭曲，內(nèi)蘊(yùn)幾何是不會(huì)改變的。對(duì)于生活在曲面內(nèi)那些類(lèi)似螞蟻的智慧生物來(lái)說(shuō)，這樣的變化是完全無(wú)法察覺(jué)的。17

17生活在地球表面的人類(lèi)也是如此。想想為什么古人認(rèn)為大地是平的，為什么會(huì)有“天圓地方”的說(shuō)法。本章最后高斯如何認(rèn)識(shí)空間實(shí)質(zhì)的故事，值得我們思考。——譯者注

在這種彎曲下，外在幾何（曲面在空間中的形狀）肯定會(huì)改變。如圖 1-10 所示，左邊是一張扁平的紙，我們?cè)谏厦娈?huà)一個(gè)三角形 ，它的三個(gè)內(nèi)角分別為 。此時(shí)當(dāng)然有 。顯然，我們可以將這樣一張扁平的紙?jiān)诳臻g中（外在幾何地）彎曲成右邊兩個(gè)曲面中的任意一個(gè)。18然而，從本質(zhì)上講，這些曲面在（外在幾何地）彎曲后，其內(nèi)蘊(yùn)幾何的形狀沒(méi)有發(fā)生任何變化——它們就像煎餅一樣，在彎曲后不會(huì)變大！圖 1-10 中這些曲面上的三角形（也隨著紙被無(wú)拉伸彎曲了）與“智慧螞蟻”用測(cè)地線(xiàn)構(gòu)作的三角形是完全相同的，在右邊的兩種情況下角盈 ，可見(jiàn)這些曲面上的幾何是歐幾里得幾何。

18但請(qǐng)注意，我們必須先修剪矩形的邊緣，才能彎曲成最右邊的形狀。

即使我們?cè)趦?nèi)蘊(yùn)彎曲的曲面上取一小片，使這個(gè)小片上三角形的角盈 ，它也可以在不拉伸或不撕裂的情況下被彎曲，從而改變外在幾何形狀，但保持內(nèi)蘊(yùn)幾何形狀不變。例如，把一個(gè)乒乓球切成兩半，輕輕擠壓其中一個(gè)半球的邊緣，使其扭曲成橢圓形狀（但不是單個(gè)平面上的橢圓）。